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吉林化工学院理学院毕业论文开题报告矩阵分解的研究及应用The Research and Application of Matrix Decomposition学生学号： 09810201 学生姓名： 于兆新 专业班级：信息与计算科学0902指导教师： 郑志宏 职 称： 教 授 起止日期：2012.12.52013.6.9 吉 林 化 工 学 院Jilin Institute of Chemical Technology吉林化工学院理学院毕业论文开题报告1课题来源及选题的目的和意义课题的来源：假拟课题。 选题的目的及意义：矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性如矩阵的秩、特征值、奇异值等。另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值对矩阵分解的研究与应用研究和学习能够充分的提高我的逻辑思维能力，我在大学期间学的就是你数学相关的专业，感觉自己四年的学习自身能力得到了很大的提高，这种思维能力的锻炼对以后的进修和工作都有很大的帮助。2本课题所涉及的内容国内外研究现状综述为高效率地处理存放于矩阵中的数据信息，一般采取将矩阵进行分解的方法。分解后，不但可将用于描述问题的原始矩阵的维数大大消减，同时也可以对原始矩阵中存放的大量数据进行压缩和概括。非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization，NMF) 是目前国际上新的矩阵分解方法，并已初步成功地应用于一些领域中较系统的NMF理论由DDLee和HSSeung在Nature上提出并同时用于人脸识别，这引起了科学界的广泛关注。近十年来，有关NMF方面的算法和应用等理论研究也在激烈的展开。常用的传统矩阵分解方法有：主成分分析(PCA)、独立成分分析(ICA)、矢量量化(VQ)、奇异值分解(SVD)等，其共同点是允许分解后结果出现负值，从计算角度看这是正确的，但就应用角度看负值是没有实际意义的，比如：文档统计中文字数目不可能为负，地球化学和遥感数据中的负数难以解释等。而非负矩阵分解通过添加“矩阵中所有元素均为非负数”的限制条件，保证了分解结果的可解释性，同时，它还具有实现简便和占用存储空间小的优点 ，从而更加贴近应用领域。目前它已广泛应用于诸多领域，如：图像处理、生物医学、文本聚类和语音信号处理等。3本课题有待解决的主要关键技术问题 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积或者一些矩阵之和, 矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。寻求矩阵各种意义下的分解形式, 是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。主要需解决的问题有：1）如何明显地反映出原矩阵的某些特征；2）对分解方法的深入研究；3）正确对有效的数值计算方法和理论进行分析；4）需要解决数值代数和最优化问题。4课题研究的内容和实施方案关于矩阵分解的形式在很多文献里面已经提到，但对于这个问题的分析各不相同。本文从特征值分解，秩分解，QR分解，和分解这四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。矩阵经过分解后，可将用于描述问题的原始矩阵的维数大大消减，从而化简矩阵的计算，所以可以实施在很多领域中如文档统计中文字数目不可能为负，地球化学和遥感数据中的负数难以解释等。1. 特征值分解定义1 任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中为矩阵的特征值，称形如这样的分解叫做矩阵的特征值分解。2. 矩阵的秩分解定义2 任一矩阵都存在可逆矩阵、，使得，其中为矩阵的秩，称形如这样的分解为矩阵的秩分解。3. QR 分解定义3 设为阶实可逆矩阵，则可分解为，其中为正交矩阵，为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵.称形如这样的分解为矩阵的QR分解。4. 和分解定义4 任一阶矩阵都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。5完成本课题的工作计划及进度安排：设计总共16周。具体安排如下：0103周：按毕业（设计）论文任务书的要求，学习有关理论知识；0407周：查阅资料，收集数据，制定研究方案，提交开题报告，翻译科技文献；0809周：完成论文结构框架，撰写文献综述和论文；1011周：提交中期报告；1215周：撰写毕业设计论文；16周：修改论文，准备答辩。6参考文献 1 史荣昌,魏丰.矩阵分析M.北京理工大学出版社,2010.6. 2 刘丁酋. 矩阵分析M. 武昌: 武汉大学出版社,2003. 8. 3 廖安平,刘建州.矩阵论M.长沙: 湖南大学出版社,2005.7. 4 张凯院,徐仲.矩阵论同步学习辅导M.西安:西北工业大学出版社,2002.10 5 关红钧,苏艳华.关于n 阶矩阵的三角分解J.沈阳航空工业学院学报,18:4(2001),38-40. 6 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解J.西南民族学院学报,20:4(2001),418-421. 7 张贤达. 矩阵分析及应用M. 北京: 清华大学出版社, 2004. 8 刘慧, 袁文燕, 姜冬青. 矩阵论及应用M.北京: 化学工业出版社, 2003. 10 吴强. 基于矩阵初等变换的矩阵分解法J.数学理论与应用, 20:4(2000), 105-107 11 曲茹,王淑华.正交矩阵的正交分解J.高师理科学刊,2001,21(2):19-22. 12 史秀英.对称矩阵的分解及其应用J.内蒙古大学报(自然科学(汉文)版),1999,28(4):1-2. 13 Fuzhen zhang, Matrix Theory, Springer,1999. 14 Horn R A, Johnson C R. 1989. Matrix Analysis(矩阵分析),杨奇.天津：天津大学出版社 15 D J Field What is the goal of sensory coding？4(1994). 16 M Heiler. C Schnorr Learning sparse representations by non-negative matrix factorization Matrix factorization and sequential cone programming7 (2006).7指导教师审阅意见指导教师（签字）： 年 月 日8系主任或指导小组意见系主任或指导小组组长（签字）： 年 月 日说明：1. 本报告前6项内容