8第二章2.1-2.5.ppt

第二章恒定电场 导电媒质中的恒定电场 通常称恒定电流场 各种形式的电流密度及其相应的元电流段维持恒定电场所需的电源及有关的功率损耗导电媒质中恒定电场 电源外 的基本方程 积分形式 微分形式 拉普拉斯方程静电比拟 电导与接地电阻的计算 跨步电压及危险区 2 1电流与电流密度一 电流单位时间内通过某截面的电荷量为电流强度 简称电流 I是通量 并不反映电流在每一点的流动情况 电磁场理论中 需要了解在不同场点的面积元上 单位时间内通过的电荷量及其方向 因而引入电流密度的概念 二 电流密度1 电流面密度J电荷在体积中运动形成体积电流 它可看为密度为 的体电荷 以速度v运动而形成的 因此 电流面密度 2 电流线密度矢量K如果电荷在一层很薄的 厚度可忽略不计的导体上流动 可看为密度为 的面电荷 以速度v运动形成的 因此 电流线密度K v 3 线电流如果电荷在横截面可忽略不计的导线上流动 就是常说的 线电流 它可看为密度为 的线电荷 以速度v沿导线运动形成的 因此 线电流由于电荷只能顺或逆导线运动 因此线电流是个标量 元电流段 dqv原电荷dq以速度v运动1 体分布 JdV dV v 2 面分布 KdS dS v 3 线分布 Idl v dl dl v 电流密度与电流的关系 交变电场的集肤效应 即高频情况下 电流趋於表面分布 可用电流线密度表示 媒质的磁化 其表面产生磁化电流可用电流线密度表示 如图示 图2 1 3电流线密度及其通量 工程意义 图2 1 4媒质的磁化电流 在导电媒质中的恒定电流称为传导电流 在非导体区中的电流如真空中的电子或离子运动形成的电流称为运流电流 三 根据金属电子论及有关试验 在各项同性的导电媒质中 电流密度与电场强度之间的关系为 欧姆定律的微分形式 欧姆定律的微分形式 为电导率 单位 西门子 米 r为电阻率单位 欧姆 米 恒定电流场与恒定电场相互依存 电流J与电场E方向一致 电路理论中的欧姆定律由它积分而得 即U RI 四 在dt时间内 电场力对每一电子所做功移动体积元dV内的所有电子电场力做功 N为单位体积价电子个数 v为它们平均速度 这些能量由于电子与电子及其他质点的碰撞而转换成热能 可得功率密度 焦耳定律的微分形式 焦耳定律的微分形式 电路中的焦耳定律 可由它的积分而得 即 W 焦耳定律的积分形式 焦耳定律的微分形式 W m 根据导体的性质 导电媒质中有恒定电流必须维持一恒定电场由电荷引起对观察者有相对运动 虽电荷宏观运动 但它们的分布却不随时间变化保持恒定 五 产生恒定电场的条件维持恒定电场 必须由电源提供能量 电源将其他形式的能量 机械能 化学能等 转换成电能 电源内部存在一种可将正负电荷分离开来的局外力fe 和由其产生的等效电场 局外场强 Ee fe qEe的方向由电源负极指向正极 电源电动势局外场强Ee维持电源两极上的电荷一定 电源正负电极两端电压一定 在电源以外的库仑电场E由两极上的电荷确定 在电源内部 合成场强为E Ee 电源电动势与有无外电路无关 它是表示电源本身的特征量 恒定电场是在恒定电流的情况下 有分布不随时间变化但作恒定流动的电荷所引起的电场 1 导体内的恒定电场 本章重点2 导体周围介质的恒定电场 六 恒定电场的分类 由于导体周围介质的恒定电场是分布不随时间变化的导体电荷引起的 因此也是守恒场 其求解方法与静电场是相同的 所以本章不在讨论 只讨论导电媒质中的恒定电场的情况 2 2导电媒质中恒定电场的基本方程一 电流的连续性方程电流连续是电荷守恒定律的要求 任一封闭曲面S流出的传导电流 等于自由电荷的减少率 要保证导体媒质的电场恒定 任一封闭曲面不能有电荷的增减 否则导致电场的变化传导电流的连续性方程 设积分路线经过电源 电源内部合场强 设积分路线不经过电源 积分路径上只有库仑场强 二 电场强度的环路积分 三 恒定电流场的基本方程 在恒定电场中 恒定电场是一个无源场 电流线是连续的 既无始端又无终端 故 电荷守恒定律 1 J的散度 散度定理 2 E的旋度 恒定电场是无旋场 所取积分路径不经过电源 则 斯托克斯定理 得 在电源以外的区域 恒定电流场的基本方程为 微分形式 积分形式 两场量关系 媒质各向同性 在电源以外导电媒质中的恒定电场是无旋场无源场表示恒定电场中电流线是连续的 既无始端又无终端 恒定电场是无源无旋场 四 恒定电场的拉普拉斯方程无旋场表明可用标量电位 来描述 依然成立 若导电媒质均匀 恒定电场的拉普拉斯方程 2 3 4分界面的衔接条件 说明分界面上电场强度的切向分量是连续的 电流密度法向分量是连续的 折射定律为 图2 3 1电流线的折射 分界面上的衔接条件 例2 3 1两种特殊情况分界面上的电场分布 它表明 只要 电流线垂直于良导体表面穿出 良导体表面近似为等位面 b 媒质1是导体 媒质2是理想介质情况 表明1导体表面是一条电流线 表明2导体与理想介质分界面上必有恒定 动态平衡下的 面电荷分布 表明3电场切向分量不为零 导体非等位体 导体表面非等位面 若 理想导体 导体内部电场为零 电流分布在导体表面 导体不损耗能量 导体周围介质中的电场 图2 3 2导体与理想介质分界面 图2 3 3载流导体表面的电场 2 3 5恒定电场的边值问题 分界面衔接条件 很多恒定电场问题的解决 都可以归结为一定条件下 求出拉普拉斯方程的解答 边值问题 恒定电场中是否存在泊松方程 2 4导电媒质恒定电场与静电场的比拟一 静电比拟将没有电荷分布区域内的静电场与电源以外导电媒质的恒定电场比较可看出 表征两类场性质的基本方程有相似的形式 如果J和D分别在导电媒质和介质中处于相同的边界条件 则均匀导电媒质内的恒定电场与均匀介质内的静电场有相同的场图 即J和D的分布一致 所以 在一定的条件下 可将一种场的计算结果推广到另一种场 这种方法称为静电比拟 两种场的电极形状 尺寸与相对位置相同 相拟 相应电极的电压相同 2 4 2静电比拟的条件 若两种场中媒质分布片均匀 只要分界面具有相似的几何形状 且满足条件时 则这两种场在分界面处折射情况仍然一样 相拟关系仍成立 1 静电场便于计算 用静电比拟方法计算恒定电场 2 4 3静电比拟的应用 图2 4 1静电场与恒定电流场的镜像法比拟 2 5电导与接地电阻 一 电导的计算电导流经导体的电流与导体电压之比 通常可采用三种方法来计算电导 1 假设电极间流过电流I 然后按I J E U G的步骤求得电导 或者 假设电极间电压U 然后按U E J I G的步骤求得电导 这种方法仅适用于场分布具有对称性的情况 2 求解恒定电场的边值问题 得到电位函数 在按 E J I G的步骤计算电导 某些情况下也可以解拉普拉斯方程来求电导 3 当恒定电场与静电场具有相同的边界条件时 利用静电比拟 若已求得静电场中两导体间的电容 则可由关系求出两电极间的电导G 例2 1求内导体半径为 外导体半径为的同轴电缆的绝缘电阻 解 设电缆的长度L远大于截面半径 并设漏电流为I 则两电极间任意点M的漏电流密度为电场强度为 内外两导体间电压 图2 5 同轴电缆横截面 从而得绝缘电导相应的绝缘电阻 又称漏电阻 例题2 2求图2 9所示导体的电导 已给定 解 本例宜从解拉普拉斯方程入手 取圆柱坐标使电位函数与r及z无关 这样 拉普拉斯方程可简化为 积分之 得 将给定的边界条件代入 可以求得从而得电位 电场强度电流密度电流最后得电导 二 接地电阻的计算为了接地将金属导体埋入地内 而将设备需要接地的部分与该导体连接 这种埋在地内的导体或导体系统称为接地体 接地的分类 接地电阻 指电流在大地中流动时所遇到的电阻 包括 接地体本身电阻接地导线的电阻接地体与大地之间的接触电阻大地的电阻由于在远离接地体处 电流流过的面积大而电流密度很小 只有在接地体附近电流流过的面积最小 所以接地电阻主要集中在接地体附近 主要指大地的电阻 因此前三部分电阻比大地电阻要小的多在计算时 可以认为电流从接地体流至无穷远处 把接地体视作电极 无穷远处作为零点位点 这样先求出地中电流的分布 然再求出电场的分布 接地电阻为式中 U为接地体相对零点位的电压 I为经接地体流入大地的电流 1 深埋球形接地器 解 深埋接地器可不考虑地面影响 其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似 图2 5 3深埋球形接地器 解法一直接用电流场的计算方法 解法二静电比拟法 2 非深埋的球形接地器 解 考虑地面的影响 可用镜像法处理 图2 5 5非深埋的球形接地器 实际电导 接地器接地电阻 3 浅埋半球形接地器 解 考虑地面的影响用镜像法处理 此时由静电比拟 图2 5 6浅埋半球形接地器 图2 5 7半球形接地器的危险区 本章小结 1 电流密度 元电流段 电流密度与电流的关系 对于传导电流与电场强度的关系为 2 功率损耗体密度因此要在导电媒质中维持一恒定电流 必须与电源相联 电源的特性可用它的局外场强Ee表示3 恒定电场 电源外 基本方程拉普拉斯方程 4 两种不同的媒质分