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变分法建模 1变分法简介2应用 问题一 等周问题 古希腊 1 给定一平面封闭曲线 使得所围的平面图形面积最大 2 延拓到多维时的情形 空间曲面面积的定义 曲面微元向切平面作投影的微元面积 作和 求极限 以3维空间为例z z x y 二 Euclid问题 A B 水平镜面 选择P点 使得AP PB最短 推广的问题 折射 三 捷线问题 John Berluli A B 找一条从A到B的连续曲线 当小球只受重力作用 从A到B的时间最短 等时线 旋轮线 四 最短路问题 B x2 y2 A x1 y1 求连接AB的最短线 y x 1 平面直线 2 球面测地线 变分法简介 变分法基本概念 1 变分设S为一函数集 若对于每一个S中的函数x t 有一个实数J与之对应 则称J是定义在S上的泛函记作J x t S称为容许函数集 最简泛函的形式 被积函数F包括自变量 未知函数及其导数 x1 x2 泛函的极大值可类似定义 x0 t 泛函的极值函数或极值曲线 泛函的变分 如同函数的微分是函数增量的线性主部一样 泛函的变分是泛函增量的线性主部 作为泛函的自变量 函数x t 在x0 t 的增量记作 根据L和r的性质有 极值与变分 5 利用5式可以得到泛函极值与变分的关系 6 泛函极值的必要条件 欧拉方程 固定端点条件下取得极值的必要条件 推广到含有两个或两个以上未知函数的情况 3 横截条件 如果容许函数x t 的一个端点t t2不固定 而是在一条给定的曲线x g t 上变动 讨论泛函J在以上条件下的极值曲线 1 用欧拉方程得出其通解 用一个端点条件确定一个常数 2 其次 另一个定解条件用以下式子确定 称为横截条件 考虑如下两种特殊情况 1 2 定解条件 4 条件极值 24 25 与函数条件极值一样 采用拉氏乘数法 化为无条件极值 化为含有两个函数x t u t 的无条件极值 用欧拉方程有 归结为求下列微分方程组 模型五农作物灭虫药的使用 为了减少虫害给农作物带来的巨大损失 农民们普遍使用农药冲经济学的角度来看 什麽时候使用灭虫药和使用多少药能让损失降到最小 是倍受关注的问题 使用一个数学的模型给出您的解释 一般地 如果用u t 表示时刻t的使用灭虫药的数量 用表示x t 时刻t害虫的数量 用F x t u t t 表示单位时间的总损失 包括被害虫x t 毁坏的农作物及灭虫药的费用 设农作物生长季节周期为T 则总损失可记作 1 又因为害虫数量x t 极其增长率x t 取决于灭虫药的数量u t 所以有 X t f x t u t t 2 于是 1 2 构成一个以u t 为控制函数 x t 为状态函数的泛函极值问题 参见 实变函数与泛函分析 在这里 我们不做一般性的讨论 只就u t 在特殊情况下的模型加以考虑 结合实际情况 农名用药的实际情况是 u t 大体上成如图的形式 t U t u1 u2 及隔一段时间用一次药 用药时间很短 与整个生长季节相比 于是确定u t 就转化为确定 为了进一步简化 在下面的模型中我们假设在整个生长过程中只使用一次品药 它可以推广到多次的情况 二模型假设 1 未使用灭虫药时 害虫的自然增长率为r 由于食物丰富不考虑自身的阻滞作用 害虫的迁移率为常数q 0 表示由外界向所考察地域迁入 害虫的初始数量为 2 在农作物生长季节内 0时才有效 是环景保护条例规定的上限 3 使用单位数量的农药后 害虫减少量与当时数量成正比 比例系数 这符合害虫分布较密的情况 4 农作物被毁坏得数量与当时害虫的数量x t 成正比 比例系数为b 农作物的单价为p 时间较短 不考虑折扣因子 5 使用灭虫药的固定费用为 单位数量灭虫药的费用为 三建立模型 建立模型的目的是确定使用灭虫药的时刻和数量 使整个生长期间的总损失最小 根据假设4 5总损失应为 3 式中表示害虫数量与t u有关 根据假设1 未用灭虫药时 害虫增长满足 4 利用MATHEMATICA解出它 In Out 即 5 根据假设2 3 在时使用数量的药后害虫的残存量满足 6 其中 由 5 式令 时得到 利用MATHEMATICA解出 6 In Out 即 7 当后害虫又按照方程 4 的规律由初值增长 于是根据 5 式可以写出 8 将 6 7 8 代入 3 式积分后可得 9 四模型求解 这实际上是一个求函数极值问题 由高等数学的知识知 这是一个求二元函数极值问题 以 u 自变量 在 9 式两边对u求导 并令它等于零有 10 可利用MATHEMATIC求偏导 因为要求 0 令由 10 时可求出 即 11 10 所以最佳时刻应为 12 11 式的程临界迁移率 令 可得 为简化表达式 记 14 13 则13式可写作 15 又因为 所以最佳用药量应为 16 这样 11 12 14 16 构成了用药佳时刻和数量的表达式 五模型检验 上面所得到的使用灭虫药后的最小损失应该与不使用药时的损失小 这时才决定用药 不使用药的损失是 实际上与无关 参考三式有 17 其中x t 由 5 式给出 由 17 式计算积分可得 18 将 12 14 16 代入 9 式可以算出 经化简后再利用 18 可得 19 若记 20 则可知道仅当条件 W q 0 成立时才有 22 21 于是在时刻使用药量是最佳选择 否则 整个生长期应不使用药 五模型解释 结果分析 在 的表达式 12 中有一个定值 当实际的害虫迁移率 时 既生长季节一开始就用药 这是因为q较小 害虫的自然增长是虫害主要原因 尽早地用药根除害虫更为有利 时外界迁入是虫害的主体 所以要过一段时间用药 并且q越大灭虫时间越晚 另外 从的表达式可知 害虫的初始值越大则越大 增长率r越大则越小 在的表达式 16 中规定了 因为否则由 20 式可知W q 0 按照 21 22 式更本不应用药 16 14 还表明 衡量药效的系数越大 药的价格越大则用药量越小 农作物单价越大 衡量农作物损失的系数越大 害虫的增长率 迁移率 初值越大 则越大 这些都是与常识相符合 六模

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