函数模型与应用.ppt

第二讲函数模型及其应用 重点难点重点 1 能用已有基本函数的知识解决函数建模问题 2 几种常见的函数模型 1 一次函数 2 二次函数 3 分式函数 4 指数函数 5 对数函数 6 分段函数难点 如何选择模拟函数 建立函数关系式 知识归纳1 求解函数应用问题的思路和方法 2 函数建模的基本流程 误区警示求解函数应用题时 关键环节是审题 审题时一要弄清问题的实际背景 注意隐含条件 二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言 用数学表达式加以表示 三是弄清给出什么条件 解决什么问题 通过何种数学模型加以解决 四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算 并对运算结果作出实际解释 例1 某商人购货 进价已按原价a扣去25 他希望对货物订一新价 以便按新价让利20 销售后仍可获得售价25 的纯利 则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是 分析 欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式 关键是要弄清原价 进价 新价之间的关系 解析 设新价为b 则售价为b 1 20 因为原价为a 所以进价为a 1 25 根据题意 得b 1 20 a 1 25 b 1 20 25 化简得b a y b 20 x a 20 x 故 y x x N 答 所求的x与y之间的函数关系是y x x N 学校请了30名木工 要制作200把椅子和100张课桌 已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7 问30名工人应当如何分组 一组制课桌 另一组制椅子 能最快完成全部任务 分析 弄清题意 建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系 转化为求函数的最值问题 解析 设x名工人制课桌 30 x 名工人制椅子 一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子 所以制作100张课桌所需时间为P x 制作200把椅子所需时间为Q x 完成全部任务所需的时间为P x 与Q x 的最大值F x 为求得F x 的最小值 需满足P x Q x 即 解得x 12 5 考虑到x表示人数 所以x N P 12 P 13 Q 12 F 13 所以用13名工人制作课桌 17名工人制作椅子完成任务最快 例2 某市现有从事第二产业人员100万人 平均每人每年创造产值a万元 a为正常数 现在决定从中分流出x万人去加强第三产业 分流后 继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x 0 x 100 而分流出的从事第三产业的人员 平均每人每年可创造产值1 2a万元 在保证第二产业的产值不减少的情况下 分流出多少人 才能使该市第二 三产业的总产值增加最多 解析 设分流出x万人 为保证第二产业的产值不减少 必须满足 100 x a 1 2x 100a 因为a 0 x 0 可解得0 x 50 设该市第二 三产业的总产值增加f x 则f x 100 x a 1 2x 1 2ax 100a 0 02a x 55 2 60 5a x 0 50 且f x 在 0 50 上单调递增 当x 50时 f x max 60a 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下 分流出50万人 才能使该市第二 三产业的总产值增加最多 有甲 乙两种商品 经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p和q 万元 它们与投入的资金x 万元 的关系有经验公式 p x q 今有3万元资金投入经营甲 乙两种商品 为了获得最大利润 对甲 乙两种商品的资金投入分别是多少时能获得最大利润 分析 总利润是经营甲 乙两种商品所获利润的和 即S p q 总投入资金3万元 若投入甲x万元 则投入乙应为3 x万元 解析 设投资甲商品x万元 则投资乙商品 3 x 万 点评 经营甲 乙两种商品所获利润p q与投入资金有关 它们是投入资金数的函数 而不是常量 甲 乙两种商品共投入资金3万元 投入甲x万元 则投入乙为3 x万元 从而利润p x万元 q 万元 而不是q 万元 这是最容易出错的地方 x与是 二次关系 据此可设 t 得到关于t的二次函数 但换元后要注意新元变化范围 例3 依法纳税是每个公民应尽的义务 国家征收个人工资 薪金所得税是分段计算的 总收入不超过1000元的免征个人工资 薪金所得税 超过1000元部分需征税 设全月纳税所得额为x x 全月总收入 1000元 税率见下表 1 若应纳税额为f x 试用分段函数表示1 3级纳税额f x 的计算公式 2 李某2007年4月份工资收入为4200元 试计算这个人4月份应缴纳个人所得税多少元 3 王某2007年6月份缴纳了166元个人所得税 问这个人6月份的工资是多少元 分析 仔细读题 解释 工资 薪金所得额 纳税所得额 的含义及税率表中级别是如何划分的 正确理解 部分 二字的基础上 准确列出第二 三级中的f x 是解决本题的关键 解析 1 由题意知第一级 即当0 x 500元时 应纳税f x x 5 0 05x元 第二级 即当500 x 2000元时 其中500元纳税500 5 25元 其余的 x 500 元应纳税 x 500 10 元 故此时f x x 500 10 25 0 1x 25元 第三级 即当2000 x 5000元时 其中500元纳税500 5 25元 1500元纳税1500 10 150元 其余的 x 2000 元应纳税 x 2000 15 元 共纳税f x x 2000 15 150 25 0 15x 125元 所以1 3级纳税额f x 的计算公式是f x 2 此人2007年4月份纳税所得额x 4200 1000 3200元 因为3200 2000 5000 所以应选用第三个解析式f 3200 0 15 3200 125 355元 3 因为500 x 2000时 25 0 1x 25 175 而166 25 175 所以0 1x 25 166 x 1910 x 1000 2910 答 李某2007年4月份应纳税355元 王某2007年6月份工资为2910元 例4 某工厂产值连续三年持续增长 这三年增长率分别为x1 x2 x3 求年平均增长率P 分析 解决本题要理解两个问题 什么是年增长率 什么叫年平均增长率 年增长率是 三年的年平均增长率不是 解析 设去年的产值为a 则今年开始的第三年的产值为a 1 P 3 依题意 今年 第一年 产值为a 1 x1 第二年产值为a 1 x1 1 x2 第三年产值为a 1 x1 1 x2 1 x3 所以a 1 P 3 a 1 x1 1 x2 1 x3 P 1 例5 07 福建 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年利润L最大 并求出L的最大值Q a 解析 1 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为L x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 L x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 08 江苏 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形ABCD的两个顶点A B及CD的中点P处 已知AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形ABCD的区域上 含边界 且与A B等距离的一点O处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道AO BO OP 设排污管道的总长为ykm 1 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将y表示成 的函数关系式 设OP x km 将y表示成x的函数关系式 2 请你选用 1 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 2 选用 1 中的函数关系y 10tan 来确定符合要求的污水处理厂的位置 一 选择题1 文 计算机成本不断降低 若每隔3年计算机价格降低 现在价格为8100元的计算机 则9年后的价格可降为 A 2400元B 900元C 300元D 3600元 答案 A 解析 九年后价格为8100 2400 选A 理 某商品降价20 由于原材料价格的上涨 欲恢复原价 则需提价 A 10 B 15 C 20 D 25 答案 D 解析 设原价为a 提价率为x 则a 1 20 1 x a 解得a 25 2 文 国家规定个人稿费纳税办法为 不超过800元的不纳税 超过800元不超过4000元的按超过800元的14 纳税 超过4000元的按全稿费的11 纳税 某人出了一本书 共纳税420元 这个人的稿费为 A 3600元B 3800元C 4000元D 4200元 答案 B 解析 设稿费为x则x 4000 由已知得 x 800 14 420 解得x 3800 理 某商品进货规则是 不超过50件 按每件b元 若超过50件 按每件 b 30 元 现进货不超过50件花了a元 若在此基础上再多进11件 则花费仍为a元 设进货价都是每件整元 则a等于 A 1980B 3690C 6600D 7200 答案 C 解析 设原进货x件花去a元 则后来进货 x 11 件也花费a元 故xb x 11 b 30 11 b 30 30 x x是11的整数倍 而x50 39 x 50 x 44 b 150 a xb 6600 二 填空题3 某药品零售价2008年比2007年上涨25 现要求2009年比2007年只上涨10 则2009年比2008年应降价 答案 12 解析 设07年价格为a 则08年价格为1 25a 09年价格为1 1a 设降价率为x 则1 25a 1 x 1 1a解得x 12 4 建造一个容积为8m3 深为2m的长方体无盖水池 如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元 那么水池的最低总造价 元 答案 1760 解析 设水池长为a 宽为b则2ab 8 ab 4总造价y 120ab 2 a b 2 80 120ab 320 a b 480 320 a b 480 640 1760 成立时a b 2 水池最低造价为1760元 三 解答题5 文 某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需要维护费50元 1 当每辆车的月租金定为3600元