直线、平面平行的判定和性质.ppt

考纲下载 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单题 第4讲直线 平面平行的判定及其性质 直线和平面平行的判定与性质 1 判定定理 a 2 性质定理 平面和平面平行的判定与性质 1 判定定理 a b a b a b M 1 2 2 性质定理 提示 两平面平行时 一个平面内的任何直线都平行于另一个平面 而分别在两个平行平面内的两条直线 它们可能平行 也可能异面 l a a b 1 下列条件中 能判断两个平面平行的是 A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析 由面面平行的判定定理易知选D项 A B C三项中的两个平面可能相交 如图所示 答案 D 2 如果直线a 平面 则 A 平面 内有且只有一条直线与a平行B 平面 内无数条直线与a平行C 平面 内不存在与a平行的直线D 平面 内的任意直线与a都平行解析 过直线a可作无数个平面与平面 相交 得无数条交线 这些交线都互相平行 答案 B 已知两个不同的平面 和两条不重合的直线m n 有下列四个命题 若m n n 则m 若m n 且m n 则 m n 则m n 若 m 则m 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4解析 有可能m 只有当m与n相交时 才有命题正确 m n还可能是异面直线 正确 故正确答案是A 答案 A 3 过三棱柱ABC A1B1C1任意两条棱的中点作直线 其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条 解析 如图所示 过任意两条棱中点的直线与平面ABB1A1平行的直线有 DE DD1 DE1 D1E1 D1E EE1共6条 答案 6 4 证明线面平行的问题通常转化为证明两条直线平行的问题 通过对数据的计算构造平行四边形 利用三角形的中位线性质是证明两条直线平行的常见方法 2009 山东卷 如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F分别为棱AD AA1 AB的中点 求证 直线EE1 平面FCC1 思维点拨 在平面FCC1中找一条线平行于EE1或证平面ADD1A1 平面FCC1均可 例1 证明 证法一 取A1B1的中点为F1 连结FF1 C1F1 由于FF1 BB1 CC1 所以F1 平面FCC1 因此平面FCC1即为平面C1CFF1 连结A1D F1C 由于A1F1D1C1CD 所以四边形A1DCF1为平行四边形 因此A1D F1C 又EE1 A1D 得EE1 F1C 而EE1 平面FCC1 F1C 平面FCC1 故EE1 平面FCC1 证法二 因为F为AB的中点 CD 2 AB 4 AB CD 所以CDAF 因此四边形AFCD为平行四边形 所以AD FC 又CC1 DD1 FC CC1 C FC 平面FCC1 CC1 平面FCC1 所以平面ADD1A1 平面FCC1 又EE1 平面ADD1A1 所以EE1 平面FCC1 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为正方形ABCD的中点 求证 B1O 平面A1C1D 变式1 证明 分别连结BD和B1D1 则O BD且A1C1 B1D1 O1 BB1綊DD1 BB1D1D是平行四边形 BD綊B1D1 OD綊O1B1 连结O1D 则四边形B1ODO1是平行四边形 B1O DO1 DO1 平面A1C1D B1O 平面A1C1D 且B1O DO1 B1O 平面A1C1D 证明线线平行常用方法 1 利用定义 证明两线共面且无公共点 2 利用公理4 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行 转化思想在立体几何中 贯穿始终 转化的途径是把空间问题转化为平面问题 已知ABCD是平行四边形 点P是平面ABCD外一点 M是PC的中点 在DM上取一点G 过G和AP作平面交平面BDM于GH 求证 AP GH 思维点拨 先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行 然后由线面平行转化为所要证明的线线平行 例2 证明 如图所示 连结AC 交BD于O 连结MO 由ABCD是平行四边形得O是AC的中点 又M是PC的中点 知AP OM AP 平面BMD DM 平面BMD 故PA 平面BMD 由平面PAHG 平面BMD GH 知PA GH 证明面面平行的方法有 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求证 平面A1BD 平面B1D1C 2 若E F分别是AA1 CC1的中点 求证 平面EB1D1 平面FBD 思维点拨 1 证BD 平面B1D1C A1D 平面B1D1C 2 证BD 平面EB1D1 DF 平面EB1D1 例3 证明 1 由B1B綊DD1 得四边形BB1D1D是平行四边形 B1D1 BD 又BD 平面B1D1C B1D1 平面B1D1C BD 平面B1D1C 同理A1D 平面B1D1C 而A1D BD D 平面A1BD 平面B1D1C 2 由BD B1D1 得BD 平面EB1D1 取BB1中点G 得AE綊B1G 从而B1E AG 又GF綊AD AG DF B1E DF DF 平面EB1D1 又BD DF D 平面EB1D1 平面FBD 如图所示 三棱柱ABC A1B1C1中 D是BC上一点 且A1B 平面AC1D D1是B1C1的中点 求证 平面A1BD1 平面AC1D 变式3 证明 如图所示 连结A1C交AC1于E 四边形A1ACC1是平行四边形 E是A1C的中点 连结ED A1B 平面AC1D 平面A1BC 平面AC1D ED A1B ED E是A1C的中点 D是BC的中点 D1是B1C1的中点 BD1 C1D A1D1 AD 又A1D1 BD1 D1 平面A1BD1 平面AC1D 面面平行的性质定理的应用问题 往往涉及面面平行的判定 线面平行的判定与性质的综合应用 解题时 要准确地找到解题的切入点 灵活地运用相关定理来解决问题 注意三种平行关系之间的相互转化 如图所示 平面 平面 点A C 点B D 点E F分别在线段AB CD上 且AE EB CF FD 1 求证 EF 2 若E F分别是AB CD的中点 AC 4 BD 6 且AC BD所成的角为60 求EF的长 例4 证明 1 当AB CD在同一平面内时 由 平面 平面ABDC AC 平面 平面ABDC BD AC BD AE EB CF FD EF BD 又EF BD EF 当AB与CD异面时 设平面ACD DH 且DH AC 平面ACDH AC AC DH 四边形ACDH是平行四边形 在AH上取一点G 使AG GH CF FD 又 AE EB CF FD GF HD EG BH 又EG GF G 平面EFG 平面 EF 平面EFG EF 综上 EF 2 解 如图所示 连接AD 取AD的中点M 连接ME MF E F分别为AB CD的中点 ME BD MF AC 且ME BD 3 MF AC 2 EMF为AC与BD所成的角 或其补角 EMF 60 或120 在 EFM中由余弦定理得 方法规律 1 直线和平面平行时 注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系 直线和平面平行的性质在应用时 要特别注意 一条直线平行于一个平面 就平行于这个平面的一切直线 的错误结论 2 以求角为背景考查两个平行平面间的性质 也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量 3 线面平行和面面平行的判定和性质 4 要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题 对此需强调两点 第一 辅助线 辅助面不能随意作 要有理论根据 第二 辅助线或辅助面有什么性质 一定要以某一性质定理为依据 决不能凭主观臆断 否则谬误难免 高考真题 2009 福建卷 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 A m 且l1 B m l1且n l2C m 且n D m 且n l2 规范解答 解析 选项A作条件 由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行 不能得到 但 却能得到选项A 故选项A是必要而不充分条件 选项B作条件 此时m n一定是平面 内的两条相交直线 否则 则推出直线l1 l2 与已知矛盾 这就符合两个平面平行的判定定理的推论 一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 则这两个平面平行 故条件是充分的 但是在 时 由于直线m n在平面 内的位置不同 只能得到m n与平面 平行 得不到m l1 n l2的结论 故条件是不必要的 故选项B中的条件是充分而不必要的 选项C作条件 由于m n只是平面 内的两条不同直线 这两条直线可能相互平行 故得不到 的必然结论 这个条件是不充分的 但 却能得到选项C 故选项C是必要而不充分条件 选项D作条件 由n l2可得n 平面 内的直线m n分别与平面 平行 由于m n可能平行 得不到 的必然结论 故这个条件是不充分的 当 时 只能得到m 但得不到n l2 故条件也不是必要的 故选项D中的条件是既不充分也不必要的 答案 B 本题是教材上两个平面平行的判定定理的推论 隐含了一个必然关系 m n为相交直线 而设计出来的 目的是考查考生对两个平面平行关系及充分必要关系的掌握 探究与研究 解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误 问题的根源是作为选择题 在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反 在一般问题的叙述中往往是给出条件P Q后 设问P是Q的什么条件 其解决方法是看P Q Q P能不能成立 确定问题的答案 但在选择题中却把 P是Q的什么条件