§1.1 微积分的基础-集合、实数和极限.ppt

高等数学课程简介一 什么是高等数学 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的一门科学 大致说来分为初等数学和高等数学两部分 初等数学 研究对象为常量 以静止观点研究问题 主要包括代数学和几何学 常量数学 有限数学 高等数学 研究对象为变量 运动和辩证法进入了数学 内容比较丰富 其中重要的一个分支为微积分学 变量数学 无限数学 初等数学到高等数学的标志十七世纪初 1637年 法国数学家笛卡尔 Descartes 把变量引入了数学 创立了坐标的概念 并创建了解析几何学 笛卡尔关于解析几何学的基本思想 1 点 数 2 曲线 方程数学中的转折点 笛卡尔的变数有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了而它们也就立刻产生 恩格斯 二 数学史简介从纵向划分 数学分为 1 初等数学阶段十七世纪以前的数学称为初等数学阶段 特点 数是常数 形是孤立的 规则的几何形体 而且数和形往往是相互独立的 分为初等代数和初等几何 统称为初等数学 2 近代数学阶段1637年至19世纪末的数学 称为高等数学阶段或初等 古典 微积分阶段 其核心内容为微积分 1 解析几何学建立1637年 法国数学家笛卡尔建立解析几何学 研究的数是变数 形是不规则的几何形体 而且数和形紧密联系了 2 微积分的创立由于17世纪工业革命的直接推动 英国科学家牛顿 Newton 和德国科学家莱布尼兹 Leibniz 各自独立地创立了微积分 此后 形成了内容丰富的高等代数 高等几何与数学分析三大分支 它们统称为高等数学 也称为初等微积分 研究对象是函数 主要的工具是极限 虽然微积分是由牛顿和莱布尼兹创立 并成功地将它应用于天文 力学与物理 几何中 但他们并没有建立函数极限的严格定义 从而给人一种高深莫测 把握不定的感觉 有时也不能自圆其说 经过许多数学家近两个世纪的努力 19世纪末 20世纪初康托尔 Cantor 的集合论的建立 才有了函数的集合论定义 在实数理论的基础上才建立了严格的极限理论 3 现代数学阶段1874年以后的数学 称为现代数学阶段 1 集合论的创立1874年 德国数学家Cantor创立集合论 为微积分奠定了坚实的基础 2 形成了内容丰富的以抽象代数 拓扑学 泛函分析为三大基础的现代数学阶段 三 本课程的基本思想方法1 基本方法微小局部 以匀代非匀 将问题转化为常量 求得近似值 以极限为工具得精确值 2 基本问题 1 变化率 微分学 2 变化率的逆问题 如面积 积分学 微积分就是先用极限理论建立函数的导数和积分概念 进而研究导数和积分的求法 性质和应用的数学学科 简单的说 微积分就是用极限理论研究变量的数学 四 微积分研究的对象和工具1 研究对象 函数 初等函数 连续函数 2 研究工具 极限3 主要内容 导数和积分的求法 性质和应用 五 本课程的特点1 概念抽象 复杂 2 逻辑推理严谨 3 表达形式抽象 复杂 4 理论体系强 六 学习本课程的应注意的几点1 领会数学思想方法透过抽象的表达形式 深刻理解基本概念和理论的内涵与本质以及它们之间的联系 正确领会一些重要数学思想方法 2 培养数学能力注重抽象思维和逻辑推理能力的培养 明确做习题的目的 不能仅满足做习题 逐步培养综合应用数学知识解决实际问题的能力 3 几点要求 1 课前预习 分析重点难点 认真听课 按时完成作业 做好笔记 及时复习 培育素质与能力 2 平时成绩占20 40 每周二上课之前交作业 3 多看参考书 第一章微积分学的基础和研究对象 1微积分的基础 集合 实数和极限2微积分的研究对象 函数 1 1微积分的基础 集合 实数和极限 1 1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 1 2极限 实数 集合在微积分中的作用 1 3实数系的建立及邻域概念 1 1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 牛顿称变量为 流量 流量的微小量改变为 瞬 即无穷小量 流量的变化率为 流数 举例说明牛顿的流数法 例 求的导数将的该变量记为 则的改变量为求比值有舍弃含因数的项 得到流数 从上面的求导过程可以看出牛顿流数法充满着逻辑混乱 所谓的无穷小量概念不清楚 它既是个非零增量 但被它乘的那些项又被看做没有 这与逻辑学相违背 正为此 不少学者对微积分的可靠想产生了怀疑 数学界 哲学界 宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论 被数学史学界称为是第二次数学危机 所谓数学危机 是指在一定的数学理论系统内无法解决的重大数学矛盾 这就迫使数学家不得不探寻微积分的理论基础 1 2极限 实数 集合在微积分中的作用 极限是微积分的基础 1 法国数学家柯西建立了极限理论 明确定义以零为极限的变量为无穷小量 2 德国数学家魏尔斯特拉斯给出了纯粹数学运算的严格极限理论 解决了微积分的逻辑基础问题 消除了第二次数学危机 2 实数是极限的理论基础 则实数是微积分的基础 3 自然数是实数的基础 则自然数成了微积分的基础 4 自然数可以用集合来表示 则集合是整个数学大厦的基石 由上可知 极限 实数 集合是微积分的理论基础 数集分类 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 数集间的关系 N Z Z Q Q R 1 3实数系的建立及邻域概念 1 实数系的演变及性质 x0 x0 x0 数轴上与点x0距离小于 0 的全体实数的集合称为点x0的 邻域 2 邻域概念 记作U x0 x0称为邻域的中心 称为邻域的半径 用集合表示 x x x0 用区间表示 x0 x0 x x0 x0 x0 如果点x