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第24章圆知识体系复习 学习目标 1 系统熟悉圆的有关概念 2 巩固有关圆的一些性质和定理 3 进一步掌握应用圆的有关知识解决某些数学问题 本章知识结构图 圆的基本性质 圆 圆的对称性 弧 弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系 与圆有关的位置关系 正多边形和圆 有关圆的计算 点和圆的位置关系 切线 直线和圆的位置关系 三角形的外接圆 三角形内切圆 等分圆 圆和圆的位置关系 弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积 学习要求 1 圆是如何定义的 2 同圆或等圆中的弧 弦 圆心角有什么关系 垂直于弦的直径有什么性质 一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系 3 点和圆有怎样的位置关系 直线和圆呢 圆和圆呢 怎样判断这些位置关系呢 4 圆的切线有什么性质 如何判断一条直线是圆的切线 5 正多边形和圆有什么关系 6 如何计算弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 一 圆的基本概念 1 圆的定义 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 2 有关概念 1 弦 直径 圆中最长的弦 2 弧 优弧 劣弧 等弧 3 弦心距 二 圆的基本性质 1 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 圆有无数条对称轴 2 圆是中心对称图形 并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合 即圆具有旋转不变性 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 CD是圆O的直径 CD AB AP BP 3 同圆或等圆中圆心角 弧 弦之间的关系 1 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么它所对的弧相等 所对的弦相等 2 在圆中 如果弧相等 那么它所对的圆心角相等 所对的弦相等 3 在一个圆中 如果弦相等 那么它所对的弧相等 所对的圆心角相等 COD AOB AB CD 1 如图 已知 O的半径OA长为5 弦AB的长8 OC AB于C 则OC的长为 3 AC BC 2 如图 圆O的弦AB 8 DC 2 直径CE AB于D 求半径OC的长 垂径 直径MN AB 垂足为E 交弦CD于点F 3 如图 P为 O的弦BA延长线上一点 PA AB 2 PO 5 求 O的半径 辅助线 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 4 圆周角 定义 顶点在圆周上 两边和圆相交的角 叫做圆周角 性质 1 在同一个圆中 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的所有的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧相等 圆周角的性质 2 ADB与 AEB ACB是同弧所对的圆周角 ADB AEB ACB 性质3 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等于900 直角 性质4 900的圆周角所对的弦是圆的直径 AB是 O的直径 ACB 900 圆周角的性质 15 D 3 6 作圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线 2 如图 AB是 O的直径 BD是 O的弦 延长BD到点C 使DC BD 连接AC交 O与点F 1 AB与AC的大小有什么关系 为什么 2 按角的大小分类 请你判断 ABC属于哪一类三角形 并说明理由 05宜昌 1 在 O中 弦AB所对的圆心角 AOB 100 则弦AB所对的圆周角为 05年上海 500或1300 3 如图在比赛中 甲带球向对方球门PQ进攻 当他带球冲到A点时 同伴乙已经助攻冲到B点 此时甲是直接射门好 还是将球传给乙 让乙射门好 为什么 P Q A B 2 点在圆上 3 点在圆外 1 点在圆内 如果规定点与圆心的距离为d 圆的半径为r 则d与r的大小关系为 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d r d r d r 三 与圆有关的位置关系 7 在Rt ABC中 C 90 BC 3cm AC 4cm D为AB的中点 E为AC的中点 以B为圆心 BC为半径作 B 问 1 A C D E与 B的位置关系如何 2 AB AC与 B的位置关系如何 2 如图 OA是 O的半径 已知AB OA 试探索当 OAB的大小如何变化时点B在圆内 点B在圆上 点B在圆外 A B O 2 直线和圆的位置关系 1 相离 2 相切 3 相交 一条直线与一个圆没有公共点 叫做直线与这个圆相离 一条直线与一个圆只有一个公共点 叫做直线与这个圆相切 一条直线与一个圆有两个公共点 叫做直线与这个圆相交 1 当直线与圆相离时d r 2 当直线与圆相切时d r 3 当直线与圆相交时d r 直线与圆位置关系的识别 d r 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则 切线的识别方法 1 与圆有一个公共点的直线 2 圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 3 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 A l OA是半径 OA l 直线l是 O的切线 切线的性质 1 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 3 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 A l OA l 直线l是 O的切线 切点为A 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角 B A P O PA PB为 O的切线 PA PB APO BPO 1 在Rt ABC中 B 90 A的平分线交BC于D 以D为圆心 DB长为半径作 D 试说明 AC是 D的切线 F 如图 AB在 O的直径 点D在AB的延长线上 且BD OB 点C在 O上 CAB 30 1 CD是 O的切线吗 说明你的理由 2 AC 请给出合理的解释 只要连接OC 而后证明OC垂直CD 2 AB是 O的弦 C是 O外一点 BC是 O的切线 AB交过C点的直径于点D OA CD 试判断 BCD的形状 并说明你的理由 不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形的外接圆与内切圆 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点 等边三角形的外心与内心重合 特别的 内切圆半径与外接圆半径的比是1 2 O D 二 过三点的圆及外接圆 1 过一点的圆有 个2 过两点的圆有 个 这些圆的圆心的都在 上 3 过三点的圆有 个4 如何作过不在同一直线上的三点的圆 或三角形的外接圆 找外心 破镜重圆 到三个村庄距离相等 5 锐角三角形的外心在三角形 直角三角形的外心在三角形 钝角三角形的外心在三角形 无数 无数 0或1 内 外 连结着两点的线段的垂直平分线 在斜边的中点上 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形叫做圆的内接三角形 问题1 如何作三角形的外接圆 如何找三角形的外心 问题2 三角形的外心一定在三角形内吗 C 90 ABC是锐角三角形 ABC是钝角三角形 3 如图 是某机械厂的一种零件平面图 1 请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心 要求正确画图 不写做法 保留痕迹 2 若弦AB 80cm AB的中点C到AB的距离是20cm 求该零件所在的半径长 基础题 1 既有外接圆 又内切圆的平行四边形是 2 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 3 O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆 E F切 O于P点 交AB BC于E F 则 BEF的周长是 E F H G 正方形 22cm 2cm 4 如图 O为 ABC的内切圆 切点分别为D E F P是弧FDE上的一点 若 A C 110度 则 FPE 度 C 5 如图 已知 ABC的三边长分别为AB 4cm BC 5cm AC 6cm O是 ABC的内切圆 切点分别是E F G 则AE BF CG 7 如图 M与x轴相交于点A 2 0 B 8 0 与y轴相切于点C 求圆心M的坐标 6 小红家的锅盖坏了 为了配一个锅盖 需要测量锅盖的直径 锅边所形成的圆的直径 而小红家只有一把长20cm的直尺 根本不够长 怎么办呢 小红想了想 采取以下方法 首先把锅平放到墙根 锅边刚好靠到两墙 用直尺紧贴墙面量得MA的长 即可求出锅盖的直径 请你利用图乙 说明她这样做的道理 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 d R r d R r d R r d R r R r d R r 1 如图 O1和 O2内切于点T O2的弦TA TB分别交 O1于C D 连接AB CD求证 AB CD 典型例题 1 如图 O的直径AB 12 以OA为直径的 O1交大圆的弦AC于D 过D点作小圆的切线交OC于点E 交AB于F E O1 O D C B A F 2 猜想DF与OC的位置关系 并说明理由 1 说明D是AC的中点 3 若DF 4 求OF的长 2 如图 正方形ABCD的边长为2 P是线段BC上的一个动点 以AB为直径作圆O 过点P作圆O的切线交AD于点F 切点为E D C B A F P O E 1 求四边形CDFP的周长 2 设BP x AF y 求y关于x的函数解析式 Q 三 正多边形 2 半径 正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径 中心 一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 3 中心角 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角 4 边心距 中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距 O 3正多边形和圆 1 有关概念 2 常用的方法 3 正多边形的作图 E F C D 边心距r 半径R 中心角 O 边 O A B C R d a 1 圆的周长和面积公式 2 弧长的计算公式 3 扇形的面积公式 或 四 圆中的有关计算 周长C 2 r 面积s r2 4 圆柱的展开图 r h S侧 2 rh S全 2 rh 2 r2 5 圆锥的展开图 底面 侧面 a a h r S侧 ra S全 ra r2 1 扇形AOB的半径为12cm AOB 120 求扇形的面积和周长 2 如图 当半径为30cm的转动轮转过120 时 传送带上的物体A平移的距离为 A 3 如图 把Rt ABC的斜边放在直线上 按顺时针方向转动一次 使它转到的位置 若BC 1 A 300 求点A运动到A 位置时 点A经过的路线长 4 如下图 所示的三角形铁皮余料 剪下扇形制成圆锥形玩具 已知 C 90度 AC BC 4cm 使剪下的扇形边缘半径在三角形边上 弧与其他边相切 设计裁剪的方案图 直接写出扇形的半径长 O 5 扇形的面积是它所在圆的面积的 这个扇形的圆心角的度数是 240 6 圆锥的母线为5cm 底面半径为3cm 则圆锥的表面积为 24 cm2 7 已知 在Rt ABC 求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积 分析 以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体 因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积 8 如图 在Rt ABC中 ACB 900 1 分别以AC BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗 2 以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体 3 若AB 5 BC 4 你能求出题 2 中几何体的表面积吗 9 如图 圆锥的底面半径为2cm 母线长为8cm 一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发 沿圆锥侧面爬行一周回到A点 求蚂蚁爬行的最短路线长是多少 B 常见的基本图形及结论 1 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D 则 AC BD 若大圆的弦切小圆于C 则 O AC BC 两圆之间的环形面积 S AB2 2 如图 以 ABC的边AB为直径作 O交边BC的中点D 则 O C B A D O P B A D C 3 如图 已知PA PB切圆O于点A B 过弧AB上任一点E作圆O的切线 交PA PB于点C D 则 1 PCD的周长 2PA 2 COD 900 APB E D F E D F E 4 如图 ABC各边分别切圆O于点D E F 1 DEF 900 A 3 S ABC a b c r 2 BOC 900 A 5 在Rt ABC中 ACB是直角 三边分别是a b c 内切圆半径是r 则 内切圆半径r 6 如图 AB是圆O的直径 AD BC DC均为切线 则 1 DC AD BC 2 DOC 900 O B D C A E 3 已知 AB为 O的直径 P为AB弧的中点 1 若 O 与 O外切于点P 见图甲 AP BP的延长线分别交 O 于点C D 连接CD 则 PCD是 三角形 2 若 O 与 O相交于点P Q 见图乙 连接AQ BQ并延长分别交 O 于点E F 请选择下列两个问题中的一个作答 问题二 判断线段AE与BF的关系 并证明你的结论 问题一 判断 PEF的形状 并证明你的结论 5 已知 O1 O2 相交与A B两点 两圆的半径分别是和 公共弦的长AB 6 求O1O2和 O1AO2 B A O1 O2 D 6 某电机长生产一批直径分别为10cm和20cm的圆形硅钢片 现在有宽度为20cm的硅钢片 现设计了两种裁料方法 1 如图 一 把两种规格的圆钢片分开排料 2 如图 二 把2片小的和1片大的圆钢片间隔起来排料 问题1 上述问题主要反映了有关圆的位置关系是 问题2 比较两种不同的方案 通过计算说明哪一种排