10.1 对弧长的曲线积分.pdfVIP

第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 第一节对弧长的曲线积分第一节对弧长的曲线积分 理解对弧长的曲线积分的概念 知道对弧长的曲线积分性质 掌握对弧长的曲线积分计算法 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 一 对弧长的曲线积分的概念与性质一 对弧长的曲线积分的概念与性质 实例实例 求线密度为求线密度为 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ii L 1 1 分割分割 011 nn AMMMMB iii s 取取 iiii Ms 3 3 求和求和 1 n iii i Ms 4 4 取极限取极限 0 1 lim n iii i Ms n M x y 的曲线的曲线ABAB 的质量的质量m m 2 2 求近似值求近似值 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ii L 1 n iii i fs L f x y L设设 是平面内分段光滑曲线 是平面内分段光滑曲线 在在 上有界 上有界 L 0121 nn AMM MMMB L用用 上的点上的点 将将 nii s 分成分成 部分 设第部分 设第 段的长度为段的长度为 ii i又又 是第是第 段曲线上任意一点 作乘积段曲线上任意一点 作乘积 iii fs 并求和并求和 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 若当各小弧段长度的最大值若当各小弧段长度的最大值 0 时 和式的极限存时 和式的极限存 f x y L在 称极限值为在 称极限值为 在在 上对弧长的曲线积分 上对弧长的曲线积分 第一类曲线积分 定义定义 0 1 lim n iii L i f x y dsfs 记作记作 L f x y ds 即即 曲线形构件的质量曲线形构件的质量 L dsyxM 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 lim 1 0 n i iii L sfdsyxf 被积函数被积函数 积分弧段积分弧段 积分和式积分和式 3 推广推广 曲线积分为曲线积分为 上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 zyxf lim 1 0 i n i iii sfdszyxf 存在条件 存在条件 L f xyL f x y ds 当在光滑曲线弧上连续时当在光滑曲线弧上连续时 对弧长的曲线积分存在对弧长的曲线积分存在 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 4 性质性质 f x y L L f x y ds 注注 函数函数 在闭曲线在闭曲线 上曲线积分记为上曲线积分记为 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 f x y L定理定理1 设设 在曲线在曲线 上连续 上连续 L xt yt 22 0 tt 且且 则则 t 22 L f x y dsftttt dt 二 对弧长曲线积分的计算及应用二 对弧长曲线积分的计算及应用 其中其中 对应对应L L的端点的端点A A B B的参数 这里的参数 这里 22 dstt dt 是是L L的弧微分 的弧微分 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 注注 1 1 积分上下限是端点处对应参数 且下限小于积分上下限是端点处对应参数 且下限小于 上限 上限 2 2 化第一类曲线积分为定积分的方法是代入法 化第一类曲线积分为定积分的方法是代入法 这与重积分化累次积分的方法不同 这与重积分化累次积分的方法不同 特殊情形特殊情形 1 2 dxxyxyxfdsyxf b aL 2 2 若若 L L 则则 1 L yy xaxb 若 则则 22 cos sin L f x y dsfd 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 推广推广 xx tyy tzz ta tb 3 dycyxL 1 2 dyyyyfdsyxf d cL 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 解解 dttbtatbtaI 22 2 0 cos sin sincos dttbtattab 2222 2 0 cossincossin 3 22 ba babaab cos sin xat L ybt 例例1 1 求求 其中其中 第一象限第一象限 L Ixyds 22222222 2 22 0 3 2222 22 0 22 1 sin sin 2 1 sin 3 abtb d abtb ab abtb ab 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 解解 dy y yI 2 2 2 2 1 0 解解 2 1 222 kaka xy4 2 2 222 0 cos sinIakak d Ixyzds cos sin xayazk 02 例例3 求求 其中 其中 的一段的一段 L yds 2 4L yx 1 2 1 2 例例2 求求 其中其中 从从 到到 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 解解 由对称性由对称性 知知 222 dszdsydsx dszyxI 3 1 222 故故 ds a 3 2 3 2 3 a 2 球面大圆周长球面大圆周长 dsa 2222 0 xyza xyz 例例4 4 求求 其中其中 为圆周为圆周 2 Ix ds 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 L dsyxM 1 2 L dsLyxf 弧长弧长 时时当当 几何与几何与物理应用物理应用 22 L y L x dsxIdsyI L L L L ds dsy y ds dsx x 3 曲线弧对 曲线弧对x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 4 曲线的重心为 曲线的重心为 1 1 若若 x y 表示表示线线密度密度 则则质量质量 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 例例5 5 设有一半圆弧设有一半圆弧L L 0 222 yRyx 其上均匀分布着质量其上均匀分布着质量 求它的质心求它的质心 解解 由对称性知由对称性知 0 x L L ds yds y cos sin 0 xRt yRtt 22 Rdtdtyxds 22 sin 2 0 2 R R R ds tdtR ds yds y LL L 故质心为故质心为 2 0 R 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 2 sin2 2sin x y 2sin 0 解解1 L的极坐标方程为的极坐标方程为 从而从而L的参数方程为的参数方程为 故故 0 2222 L 2 sin 24sin8xy dsd 于是于是 22 2dsxy dd 22 L xy ds 22 2xyy 例例6 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中L是曲线是曲线 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 2 L的参数方程为的参数方程为 cos 02 1 sin x y 于是于是 22 dsxy dd 故故 2 2222 L0 cos sin1 8xy dsd 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 在第一象限内所围区域的边界 在第一象限内所围区域的边界 0yx y 222 xya 例例7 计算计算 其中其中L是由是由 22 xy L eds 解解 22222222 xyxyxyxy LOAABOB edsedsedseds OA y 0 0 xa 这时这时 ds dx 从而 从而 1 0 1 a xa Ie dxe AB 0 4 adsad 而而 4 2 0 4 aa Ie adea 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 OB y x 2 02 2 xadsdx 从而 从而 2 2 2 3 0 21 a xa Iedxe 于是于是 22 4 aa Ieae 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 2 L dsx yx zyx1 222 例例8 求求 其中其中L是圆周是圆周 解解 L的参数方程为的参数方程为 11 cos cos sin 02 22 xyz 于是于是 222 00 11 coscos 222 L x dsdd 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第 十 章 第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 杨建新杨建新 例例9 求均匀摆线的一段弧求均匀摆线的一段弧L sin 0 1 cos xa tt t yat 的质心 的质心 解解 设密度为设密度为1 则其质量为 则其质量为 2222 0 1 cos sin4 L Mdsatatdta 22222 0 16 sin 1 cos sin 3 L xdsa ttatatdta 22222 0 16 1 cos 1 cos sin 3 L ydsatatatdta 第一节