2015届高三数学周考试题.doc

2015届高三数学周考试题2(2015-9-16)1若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A4 B4C1 D1解析：由题可知，因为复数是纯虚数，所以a40，2a20，解得a4.答案：A2(2010北京高考)a，b为非零向量，“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分而不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x)abx2(b2a2)xab，若f(x)为一次函数，则ab0且a2b20.答案：B3关于x的函数f(x)sin(x)有以下命题：R，f(x2)f(x)；R，f(x1)f(x)；R，f(x)都不是偶函数；R，使f(x)是奇函数其中假命题的序号是()A BC D解析：对于，当时，显然不成立，故为假；对于，当2时，成立；对于，当时，f(x)为偶函数；对于当时，f(x)为奇函数，故为假，为真答案：A4已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2f(x2)；x1f(x1)；.其中正确结论的序号是()A BC D解析：依题意，设f(x)x，则有()，即()()，所以，于是f(x)x.由于函数f(x)x在定义域0，)内单调递增，所以当x1x2时，必有f(x1)f(x2)，从而有x1f(x1)，所以正确答案：D5(2010辽宁高考)设0，函数ysin(x)2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是()A. B.C. D3解析：法一：函数ysin(x)2的图象向右平移后得到函数ysin(x)2sin(x)2的图象，因为两图象重合，所以sin(x)2sin(x)2，xx2k，kZ.k，kZ.当k1时，的最小值是.法二：本题的实质是已知函数ysin(x)2(0)的最小正周期是，求的值由T，.答案：C6(2010全国卷)ABC中，点D在AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：因为CD平分ACB，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且()，所以ab.答案：B7(2010湖南高考)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120，ca，则()AabBabCabDa与b的大小关系不能确定解析：法一：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，即b2aba20，即()210，1，故ba.法二：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，b，由aab得，ba.答案：A8(2011榆林模拟)在等比数列an中，an0(nN)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2，bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，则当最大时，n的值等于()A8 B9C8或9 D17解析：a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an0，a3a55，又q(0,1)，a3a5，而a3a54，a34，a51，q，a116，an16()n125n，bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0，当n8或9时，最大答案：C9有一山坡，坡角为30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为()A300 m B400 mC200 m D200 m解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面则BC100，BDC30，BAD30，BD200，AB2BD400 米答案：B10已知acosbsinc，acosbsinc(ab0，k，kZ)，则cos2()A. B.C. D.解析：在平面直角坐标系中，设A(cos，sin)，B(cos，sin)，点A(cos，sin)与点B(cos，sin)是直线l：axbyc与单位圆x2y21的两个交点，如图，从而|AB|2(coscos)2(sinsin)222cos()，又单位圆的圆心(0,0)到直线l的距离d，由平面几何知识知|OA|2(|AB|)2d2，即1d2，cos2.答案：A二、填空题：1设f(x)(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_解析：根据积分的运算.f(x)dxx2dxdx1.答案：2(2011郴州模拟)已知函数yf(x)(xR)满足f(x)f(x2)，且x1,1时，f(x)x2，则函数yf(x)与ylog5x的图象的交点个数为_解析：根据f(x)f(x2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，作出函数yf(x)与ylog5x的图象(如图)，可知函数yf(x)与ylog5x的图象的交点个数为4.答案：43若函数f(x)sinxcosx，xR，又f(x1)2，f(x2)0，且|x1x2|的最小值为，则正数的值为_解析：因为f(x)2sin(x)，所以f(x1)2sin(x1)2，f(x2)2sin(x2)0，所以x12k，x2k，即x12k，x2k，其中kZ，所以|x1x2|2k(k)|k|，kZ，所以k0或1时，|k|有最小值，所以，所以.答案：4若关于x的方程xk0在x(0,1时没有实数根，则k的取值范围是_解析：分离参数得kx，因为其在(0,1上单调递减，故x在(0,1上的最小值是0，故只要k0，a1)与函数ylogaax(a0，a1)的定义域相同；(2)若函数ysin(2x)的图象关于y轴对称，则；(3)函数y(x1)2与y2x1在区间0，)上都是增函数；(4)已知函数ylog2xlogx21，x(0,1)，则该函数的最大值为1.解析：本题考查命题真假的判断由于ylogaaxx，其定义域为R，与yax的定义域相同，故(1)为真命题；若函数ysin(2x)的图象关于y轴对称，则应有k(kZ)，不一定总有，故(2)为假命题；函数y(x1)2在区间0，)上不是增函数，所以(3)为假命题；由于x(0,1)，所以log2x0，logx22或a2或a22、如图，以Ox为始边作角与(01时，0.当0a1时，方程x22xa0两根为x1，且011，0x1或x1.综上：当a1时，函数的定义域为x|x0；当0a1时，函数的定义域为x|0x1或x1(2)当1a0lg(x2)0x21ax23x.设h(x)x23x(x2)，h(x)(x)2h(x)maxh(2)2.故当a2时，原命题成立5已知数列an中，a11，且anan12n3n2(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小；(3)令cn(nN*)，数列的前n项和为Tn.求证：对任意nN*，都有Tn2.解：(1)由题anan12n3n2知，23n2，由累加法，当n2时，22323223n2代入a11，得n2时，13n1又a11，故ann3n1(nN*)(2)nN*时，bn.法一：当n1时，S2111；当n2时，S2212；当n3时，S2313.猜想当n3时，S2nn.下面用数学归纳法证明：当n3时，由上可知S233成立假设nk(k3)时，上式成立，即1k.当nk1时，左边1kkk1，所以当nk1时成立由可知当n3，nN*时，S2nn.综上所述：当n1时，S211；当n2时，S222；当n3(nN*)时，S2nn.法二：S2n1记函数f(n)S2nn(1)n所以f(n1)(1)(n1)则f(n1)f(n)()110，所以f(n1)f(n)由于f(1)S211(1)10，此时S211；f(2)S222(1)20，此时S222；f(3)S233(1)30，此时S233；由于，f(n1)f(n)，故n3时，f(n)f(3)0，此时S2nn.综上所述：当n1,2时，S2nn；当n3(nN*)时，S2nn.(3)证明cn3n当n2时，.所以当n2时Tn()()()22.且T12故对nN*，Tn2得证20.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）.（1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|=2|，求直线l的斜率.解 （1）设所求椭圆方程是=1（ab0）.由已知，得c=m，=，a=2m，b=m.故所求的椭圆方程是：=1.（2）设Q（xQ，yQ），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km），当=2时，由于F（-m，0），M（0，km），（xQ-0，yQ-km）=2（-m-xQ，0-yQ）xQ=-，yQ=.又点Q在椭圆上，所以=1.解得k=2.当=-2时，xQ=-2m，yQ=-km.于是+=1,解得k=0.故直线l的斜率是0，2. 6(2010福建高考)(1)已知函数f(x)x3x，其图象记为曲线C.()求函数f(x)的单调区间；()证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1)处的切线交于另一点P2(x2，f(x2)，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3)，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；(2)对于一般的三次函数g(x)ax3bx2cxd(a0)，请给出类似于(1)()的正确命题，并予以证明解：(1)()由f(x)x3x得f(x)3x213(x)(x)当x(，)和(，)时，f(x)0；当x(，)时，f(x)0.因此，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)()曲线C在点P1处的切线方程为y(3x1)(xx1)xx1，即y(3x1)x2x.由得x3x(3x1)x2x，即(xx1)2(x2x1)0，解得xx1或x2x1，故x22x1.进而有S1|2x1x1(x33xx2x)dx|(x4xx22xx)2x1x1|x.用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x32x2和S2x.又x22x10，所以S2x0，因此有.(2)记函数g(x)ax3bx2cxd(a0)的图象为曲线C，类似于(1)()的正确命题为