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数学基础知识 1 矢量与标量 2 矢量的表示 3 矢量的运算 1 矢量的加法 2 矢量的减法 3 矢量的乘法 矢量的简介 矢量既有大小又有方向 如 位移 速度 加速度 角速度 力矩 电场强度等 1 物理量可分为标量和矢量两种 如 质量 长度 时间 密度 能量 温度等 标量只有大小 2 矢量的表示 几何表示 有方向的线段 解析表示 书写 字母上方用箭头符号标记 或 印刷 用黑体字表示矢量 F r v a 矢量的大小 线段的长度或的模 单位矢量 长度为一个单位的矢量 矢量相等 大小相同 方向相同 平行移动不会改变一个矢量 对一般矢量 其单位矢量可用字母上方的尖符表示 如 如沿x y z轴正方向的单位矢量可表示为 3 矢量的运算 1 矢量的加法 平行四边形法则 三角形法则 B的尾端接到A的箭头顶端 两个矢量的和矢量为A的尾端指向B的顶端的矢量 合成矢量的解析表示 2 矢量的减法 矢量A B等于从B的顶端指向A的顶端 B B A C 交换律 结合律 3 矢量的乘法 与标量相乘 与矢量相乘 标积 点积 矢积 叉积 结果为标量 结果为矢量 矢量的标积 点积 两矢量点积得标量 上式含意 矢量的标积 点积 矢量的点乘表示一个矢量的模乘上另一个矢量在这一矢量上的分量 投影 这一分量 投影 可正可负 若 可能 矢量的标积 点积 交换律 标积计算 分配律 若一个物体在力F作用下移动位移r 则力F所作的功 记为标积形式 则为 标积的应用 矢量的矢积 叉积 是一个矢量 大小 平行四边形面积 矢积的性质 特殊情况 若 则最大 若 则 矢积的应用 洛仑兹力 求 1 2 例1已知 解 1 2 作业 9月12日 1 矢量a的大小为5 0m 方向正东 矢量b的大小为4 0m 方向北偏西35度 求a b及a b的大小及方向 444 4 一 函数的极限 二 函数的导数 三 函数的微分 四 积分 导数与微分运算 一 函数的极限 对任意函数f x 当自变量x无限趋于某一数值x0 记作xx0 时 函数值无限趋于某一确定的数值a 则a称为xx0时函数f x 的极限值 记作 例 即使 x 在x0点没有定义 或 上面关于极限的陈述仍可以是对的 例 二 函数的导数 运动时间 自由落体运动的瞬时速度问题 1 问题的提出 瞬时速度 如何由s t 求v t 平均速度 当以上极限存在时 则此极限称为函数f x 在点x0处的导数 显然 这是一个特殊的极限 函数 导数又可记为 2 导数的定义 自由落体问题中 一 矢量 1 点积 2 叉积 二 导数的定义 导数是一个特殊的极限 关于导数的说明 导数 则是当区间间隔 x 0时的f x 在x0处的变化率 是在以某和为端点的区间上的平均变化率 它的绝对值比你想到的任何一个小的正数还要小 小量乘上有限数仍是小量 在许多物理问题中 需要研究变量的瞬时变化率 如物体的运动速度 加速度 电流强度等 在数学上都可归结为函数的变化率问题 即导数 3 导数的意义 函数在某一点的导数值 表示函数曲线上该点的切线斜率 几何意义 t越小 平均速率越接近瞬时速度 平均速度 导数物理意义 非均匀变化量在某点的变化率 步骤 4 导数的求解 由定义求导数 三步法 1 求函数增量 例1 解 例2 解 例3 解 匀加速直线运动 解 求瞬时速度 例4 常见函数的求导公式 1 2 4 5 3 6 导数的运算法则 加减 积 商 5 导数的常用公式及运算规则 例5 求y xsinx的导数 解 例6 求导数 解 复合函数求导 二阶导数 N阶导数 例7 解 矢量的导数 几点推论 注意 对矢量的求导有两项 一是大小的变化产生的 二是方向的变化产生的 三 函数的微分 在实际应用中 还会遇到与导数密切相关的另一类问题 这就是当自变量有一个微小的增量时 要求计算函数的相应的增量 这一函数的增量称为微分 实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量 问题的提出 的二阶项 可以忽略 相对x0很小 既简化了计算又有很好的近似值 在计算函数增量时 当自变量增量很小时 自变量增量的高阶项一般可以忽略 这样得到的函数增量是其精确值的较好近似 这是微分的一个很重要的应用 若函数f x 在x处有导数f x 则 微分的定义 dy称为函数f x 在点x处的微分 dx称为自变量的微分 即导数等于函数的微分与自变量的微分之商 所以导数又称微商 计算函数的导数 乘以自变量的微分 微分的求法 基本初等函数的微分公式 函数的微分法则 与导数的相同 例2 解 例1 解 函数的变化率问题 导数 函数的增量问题 微分 求导数与微分的方法 叫做微分法 微分在近似计算中的应用 这里不是严格意义的无穷小 但仍然较小 这个式子可方便地计算一个函数在某点x0附近的近似值 例3 为使摆长为20cm的单摆振动周期增大0 05s 则摆长应增加多少 g 981cm s2 解 即 摆长应调整为22 23cm 例4一个半径为1厘米的球 为了提高表面的光洁度 需要镀上一层铜 铜层厚度为0 01厘米 估计每只球需要用铜多少克 铜的密度为8 9g cm3 解 每只球需用铜约 以下是常用的近似公式 x 很小时 x为弧度 x为弧度 四 积分 问题的提出 定积分 不定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的计算 不定积分的计算 如何求图形中的面积 数方格 如何求 x0 x 区间内曲线下的面积 问题的提出 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 求曲边梯形的面积 四个小矩形 九个小矩形 显然 小矩形越多 小矩形上边界带来的近似越小 得到的总面积越接近曲边梯形的精确面积 如何减小这个差别 曲边梯形总面积的近似值为 上面方法的一般化 将区间 a b 分n等份 每一个小区间宽度为 区间 xi xi 1 对应的小矩形高取为 其面积为 所得到的矩形求和面积即为曲边梯形的精确面积 当分割无限加细 即小区间的宽度时 1 分割 变速直线运动中由速度求路程 上述思路完全适用变速直线运动中由速度求路程问题 2 求和 路程的精确值 3 取极限 问题 共性 它们求的都是在某个区间上的总量 总面积或总路程 解决方法 通过无限分割的方法 把总量归结为求一种特定和式的极限 以上两个例子 一个是几何问题 求的是曲边梯形的面积 一个是物理问题 求的是变速直线运动的物体在一定时间内所走过的路程 积分下限 积分的定义 这种给出积分上 下限的积分称为定积分 不给出积分上 下限的积分称为不定积分 积分上线 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 定积分的几何意义 定积分的计算 如果函数f x 在 a b 区间是连续的 且如果在 a b 区间内 则称为的原函数 即 求一个函数的定积分关键是要找出其原函数 原函数在积分区间的增量即为其定积分值 如 所以 积分是微分的无限求和 它是微分的逆运算 2 积分的性质 解 原函数式 例1求 解面积 0 x AB dx 解 例4弹簧从原有长度被拉长a 求拉力做功 解 第二次作业 9月14日 4 一 导数 常用公式 解析 当区间间隔 x 0时的f x 在x0处的变化率 物理 非均匀变化量在某点的变化率 几何 函数在某一点的导数值 表示函数曲线上该点的切线斜率 运算法则 复合函数求导 N阶导数 矢量的导数 微分公式 微分法则 二 微分 解决函数的增量问题微分在近似计算中的应用微分公式及微分法则与求导相似 例2 解 例1 解 三 积分 通过无限分割的方法 把总量归结为求一种特定和式的极限几何意义 曲边梯形的面积 有正 负 1 定积分 如果函数f x 在 a b 区间是连续的 且 2 积分的性质 不定积分的计算 不定积分是不定出上 下限的积分 2 C是常数 可由积分上 下限或初始条件确定 1 求不定积分 只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数C即可 如则 常见积分公式 a 1 k C const 矢量积