2011概率统计数学建模.doc

概率统计模型1 概率论模型一、概率的基本知识1、离散型随机变量的概率分布（随机变量）概率性质：（1）几个常见的重要分布i. 两点分布（贝努里分布或0-1分布）注：两点分布的分布列就是 X 0 1 P p 1-p 不论题目有什么区别,只有两种可能,要么是这种结果要么是那种结果,通俗点,要么成功要么失败 而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的,。ii. 二项分布注：如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重 二项分布公式复试验中发生K次的概率是 P(=K)= C(n,k) * pk * (1-p)(n-k), 其中 C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)iii. 普阿松分布（泊松分布）排队论中常见。注：若随机变量 X 只取非负整数值，取k（k=0,1,2）值的概率为 （2）期望与方差（3）几个常见的重要分布的期望与方差两点分布（贝努里分布或0-1分布）：，二项分布：，普阿松分布（泊松分布）： 2、连续型随机变量的分布函数与概率密度分布函数：，为随机变量密度函数，满足（1）几个常见的重要分布i. 均匀分布：ii指数分布：iii正态分布：（2）期望与方差（3）几个常见的重要分布的期望与方差均匀分布：，二项分布：，普阿松分布（泊松分布）： ，（4）实际问题中注意：密度函数（分布函数）的摸拟二、概率论模型实例1报童问题一个报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。已知每100份报纸全部卖出可获利7元。若当天卖不掉，第二天削价可全部卖出，但这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的报纸数是一个随机变量，概率分布如表，问报童每天订购多少报纸最佳？售出报纸数（百份）012345概率0.050.10.250.350.150.1解：设每天订购百份报纸，卖出报纸数为百份，则每天的收益函数为：利润的期望分别求出，的利润期望：；所以订3百份报纸最佳。注：也可求损失最小的期望来决定订购计划。2决策方案问题某土木工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，工程可确保在30内按期完工，但根据天气预报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气而不影响工程，有50%的可能遇到小风暴而使工程推迟15天，另有10%的可能遇到大风暴而使工程推迟20天对于可能的情况，考虑两种方案：(1) 紧急加班，确保工程在15天内完成，实施此方案将增加工资支出18000元(2) 先维持原定的施工进度，到15天后根据实际出现的天气情况再作对策。若遇到阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。若遇到小风暴，则有下述两个备选方案：(A)维持正常进度，支付工程延期损失费20000元，(B)采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24000元；有30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12000元；若遇大风暴，则仍有两个方案可供选择：(A) 维持正常进度施工，支付工程延期损失费50000元，(B)采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用54000元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用46000元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费和应急费用38000元。试用决策树方法选择最佳决策方案解：（1）画决策树（略）在黑板上画（2）计算一级机会点E、F的损失费用的期望（元）（元）（3）在一级决策点C、D上作比较，C点应急损失比抽空施工小，故C点应选择应急措施，损失19800元；同理：在D点应选择抽空施工，损失50000元。（4）计算第二级机会点B的损失费期望：（元）（5）第二级决策点A上作比较，正常进度为最佳选择。最后决策为：开始以正常速度施工，15天后再据天气情况进一步：若出现阴雨天，正常进度，若出项小风暴则采取应急措施；若出现大风暴则抽空施工。3排队论模型排队论也称随即服务系统，生活中排队论模型比比皆是，如到商场购物，轮船进港，病人就医候诊，机器等待维修等，其共同特征：（a）有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等，简称为“顾客”。（b）有为顾客服务的人和物，如医生，飞机跑道等，简称为“服务员”。服务员和顾客构成一个服务系统。（c）顾客随机地一个一个（或一批一批）的来到服务系统，每一位顾客需要服务的不一定确定，从而造成某阶段顾客排队等待，而有时服务员空闲无事。排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究单位时间里服务系统能服务的顾客的平均数，顾客排队平均等待时间，排队顾客的平均人数等数量规律。（1）基本概念与符号服务系统由下列几部分构成：输入过程：即顾客到服务台的概率分布排队规则：即顾客排队等待规律服务机构规则：（2）几个常用的数量指标及记号：队长：指系统中的顾客数，他的期望记为 排队等待的顾客数的期望记为 系统中的顾客数=等待的顾客数与正被服务的顾客数之和。逗留时间：指顾客进入服务系统到服务完毕的全部时间，其期望记为 而等待服务的时间的期望记为 逗留时间=服务时间与等待服务时间之和。忙期：指从顾客到达空闲的服务系统起到服务机构再次空闲的这段时间，即连续工作的时段。几个常见的排队系统模型 1、标准的单通道等待的排队问题标准型指：顾客源无限，单个来，相互独立，单位时间到达人数服从参数为的泊松分布，单队排队，队长无限，先到先服务，服务时间服从参数为的指数分布。可推导（很多书有介绍）：服务强度：无顾客的概率：系统中有n个顾客的概率为：逗留时间服从参数为的指数分布，则从而，；， 2、标准的多通道等待的排队问题多通道指多个服务台，其特征与单通道完全相同：只是服务台该为多个，设m个，服务效率相同，相互独立，顾客源无限，单位时间到达人数服从参数为的泊松分布，m队排队，队长无限，先到先服务，服务时间服从参数为的指数分布。就是把服务强度提高了：无顾客的概率： 系统中有n个顾客的概率为：，；例1 病人候诊问题某单位医院的一个科室有一位医生值班，经过长期观察，每小时平均有4位病人，医生每小时平均可诊5个病人，病人的到来服从泊松分布，医生的诊病时间服从指数分布，试分析该科室的工作状况。如果满足99%以上的病人有座，此科室至少应设多少个座位？如果该单位每天24h上班，病人看病1h因耽误工作，单位要损失30元，这样单位平均每天损失多少元？如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊6个病人，单位每天可减少损失多少元？可减少多少个座位？解：由题知：，由于，所以排队系统稳态概率：，该科室平均有病人人数为（单位时间（小时）的病人数）该科室排队候诊病人的平均数为（单位时间（小时）的病人数）看病平均用时：（小时）排队等待看病的平均时间为：（小时）为满足99%以上的病人有座位等待看病，假设应有m个座位，则，即所以，从而如果该科室24小时上班，则每天平均有病人（人），看病花费总时间为（小时），因此病人看病平均每天损失（元）如果医生每小时可诊6个病人，即，则，所以这时该科室平均有病人人数为（单位时间（小时）的病人数）该科室平均有病人人数为（单位时间（小时）的病人数）看病平均用时：（小时）排队等待看病的平均时间为：（小时）每天24小时内平均有病人（人），看病花费总时间为（小时），因此病人看病平均每天损失（元），从而减少损失（元）此时满足99%以上的病人有座位等待看病，则座位数比原来减少11个座位。例2 某火车站售票处有三个窗口，乘客的到达服从泊松分布，平均每分钟0.9人到达，服务时间服从指数分布，平均每分钟可服务0.4人，现排队向窗口购票，情分析该服务系统。解：据题知：，则即空