2抛物线(二次函数)中的直角三角形.doc

抛物线中的直角三角形基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为斜边时（即）：点在以为直径的圆周上。（2）为直角边时，分两类讨论：以为直角时（即）：以为直角时（即）：利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出（或）的斜率；进而求出（或）的解析式；将（或）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。典型例题：例1、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COSBCO。（1）求抛物线的解析式； (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?（2009年成都）例2、如图，抛物线，与轴交于点，且（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线经过点B。（1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。同步训练：1、(淮安)如图所示，在平面直角坐标系中二次函数图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C连结BP并延长交y轴于点D。 (1)写出点P的坐标； (2)连结AP，如果APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将BCD绕点E逆时针方向旋转90，得到一个新三角形设该三角形与ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值2（福建宁德市）、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标 yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1） 3、如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）图14（2）、图14（3）为解答备用图（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形图14（1）图14（2）图14（3）4、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由5（辽宁省营口市）如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O(45)，B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线yax 2bxc过点A1、B1、C1（1）求tan的值；（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由BAyOCxA1B1C1D6（四川省眉山市）如图，已知直线yx1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx 2bxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标yxCBADOEy7（福建省三明市初中毕业班质量检查）如图，抛物线yax 2bx2与x轴的交点是A(3，0)、B(6，0)，与y轴的交点是C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P(x，y)(0 x 6)是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q当取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少？yAOBPxCQ是否存在这样的点P，使OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由8如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 图（1）图（2）例一答案：例三：（1）过点作轴，垂足为，； 又， 3分点的坐标为；（2）抛物线经过点，则得到，解得，所以抛物线的解析式为； （3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，；，可求得点； 若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，同理可证； ，可求得点； 经检验，点与点都在抛物线上 练习2：解：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得，顶点P的为（-2，-5），（2分）点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（x+2）2-5，解得，a=59；（4分）（2）抛物线C2是由抛物线C1绕点B旋转180得到的，P点坐标为（-2，-5）顶点M的坐标为（4，5）设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，又抛物线C2过点B（1，0），代入B点解得：a=-59，故C2的解析式为：y=-59（x-4）2+5（3）抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到，顶点N、P关于点Q成中心对，点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），（9分）作PHx轴于H，作NGx轴于G作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，（10分）PNF=90时，PN2+NF2=PF2，解得m=443，Q点坐标为（ 193，0）当PFN=90时，PF2+NF2=PN2，解得m=103，Q点坐标为（ 23，0）PNNK=10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（ 193，0）或（ 23，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形练习4：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3；（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，当t=32时，EF的最大值为254，点E的坐标为（32，52）；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（32，154），点D的坐标为（1，4）S四边形EBFD=SBEF+SDEF=12254（432）+12254（321）=758；如图：）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3）则有：m22m