结构力学课件 第十四章 结构动力学.ppt

第十四章结构动力学 14 1 概述 1 1动荷载及其分类 一 动荷载的定义 大小 方向和作用点随时间变化 在其作用下 结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载 自重 缓慢变化的荷载 其惯性力与外荷比很小 分析时仍视作静荷载 静荷只与作用位置有关 而动荷是坐标和时间的函数 二 动荷载的分类 1 2结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科 第一类问题 反应分析 结构动力计算 第二类问题 参数 或称系统 识别 第三类问题 荷载识别 当前结构动力学的研究内容为 一 结构动力学的研究内容 第四类问题 控制问题 正问题 反问题 反问题 控制问题 二 结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法 寻找结构固有动力特性 动力荷载和结构反应三者间的相互关系 即结构在动力荷载作用下的反应规律 为结构的动力可靠性 安全 舒适 设计提供依据 1 3结构动力分析中的自由度 一 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数 称作体系的动力自由度数 二 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系 这不仅导致分析困难 而且从工程角度也没必要 常用简化方法有 1 集中质量法将实际结构的质量看成 按一定规则 集中在某些几何点上 除这些点之外物体是无质量的 这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统 2 广义坐标法 广义坐标 基函数 3 有限元法 和静力问题一样 可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合 将无限自由度问题化为有限自由度来解决 二 自由度的确定 广义坐标个数即为自由度个数 结点位移个数即为自由度个数 二 自由度的确定 w 2 w 2 弹性支座不减少动力自由度 为减少动力自由度 梁与刚架不计轴向变形 w 1 5 w 2 自由度数与质点个数无关 但不大于质点个数的2倍 w 2 w 1 二 自由度的确定 8 平面上的一个刚体 w 3 9 弹性地面上的平面刚体 w 3 w 2 w 1 w 13 自由度为1的体系称作单自由度体系 自由度大于1的体系称作多 有限 自由度体系 自由度无限多的体系为无限自由度体系 1 4体系的运动方程 要了解和掌握结构动力反应的规律 必须首先建立描述结构运动的 微分 方程 建立运动方程的方法很多 常用的有虚功法 变分法等 下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的 动静法 运动方程 惯性力 形式上的平衡方程 实质上的运动方程 一 柔度法 柔度系数 柔度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求外力和惯性力引起的位移 3 令该位移等于体系位移 柔度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求外力和惯性力引起的位移 3 令该位移等于体系位移 二 刚度法 刚度系数 刚度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求发生位移y所需之力 3 令该力等于体系外力和惯性力 柔度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求外力和惯性力引起的位移 3 令该位移等于体系位移 三 列运动方程例题 刚度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求发生位移y所需之力 3 令该力等于体系外力和惯性力 例1 例2 柔度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求外力和惯性力引起的位移 3 令该位移等于体系位移 三 列运动方程例题 刚度法步骤 1 在质量上沿位移正向加惯性力 2 求发生位移y所需之力 3 令该力等于体系外力和惯性力 例3 例4 层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架 剪切型刚架 当两层之间发生相对单位水平位移时 两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度 层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架 剪切型刚架 当两层之间发生相对单位水平位移时 两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度 三 列运动方程例题 列运动方程时可不考虑重力影响 例5 p t 引起的动位移 重力引起的位移 质点的总位移为 加速度为 三 列运动方程例题 例6 简记为 位移向量 柔度矩阵 荷载向量 质量矩阵 例7 刚度矩阵 例8建立图示体系的运动方程 例9建立图示体系的运动方程 例10图示体系为质量均匀分布的刚性平板 试建立运动方程 总质量为m 转动惯量为j 设水平位移为x竖向位移为y转角为 2 单自由度体系的振动分析 2 1不计阻尼自由振动 自由振动 由初位移 初速度引起的 在振动中无动荷载作用的振动 分析自由振动的目的 确定体系的动力特性 频率 周期 一 运动方程及其解 阻尼 耗散能量的作用 m 令 二阶线性齐次常微分方程 其通解为 由初始条件 可得 令 其中 二 振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动 自振周期 自振园频率 自振频率 三 自振频率和周期的计算 1 计算方法 1 利用计算公式 2 利用机械能守恒 3 利用振动规律 位移与惯性力同频同步 幅值方程 三 自振频率和周期的计算 2 算例 例一 求图示体系的自振频率和周期 解 例二 求图示体系的自振频率和周期 解 例三 质点重w 求体系的频率和周期 解 例四 求图示体系的自振频率和周期 解 1 能量法 2 列幅值方程 a 2 2简谐荷载作用下的受迫振动 不计阻尼 一 运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程 受迫振动 动荷载引起的振动 p 荷载幅值 荷载频率 运动方程 或 通解 其中 设 代入方程 可得 通解为 二 纯受迫振动分析 荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 动力系数 稳态振幅 频比 共振 增函数 减函数 为避开共振一般应大于1 25或小于0 75 共振区 若要使振幅降低 应采取何种措施 通过改变频比可增加或减小振幅 应使频比减小 增加结构自频 增加刚度 减小质量 应使频比增大 减小结构自频 减小刚度 增大质量 例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图 已知 三 动位移 动内力幅值计算 计算步骤 1 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移 内力 2 计算动力系数 3 将得到的位移 内力乘以动力系数即得动位移幅值 动内力幅值 解 例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知 解 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移 动荷载不作用于质点时的计算 令 仍是位移动力系数 是内力动力系数吗 运动方程 稳态解 振幅 列幅值方程求内力幅值 解 例 求图示体系振幅 动弯矩幅值图 已知 动弯矩幅值图 解 例 求图示体系右端的质点振幅 o 一 阻尼与阻尼力 阻尼 使振动衰减的作用 阻尼产生原因 材料的内摩擦 连接点 支承面等处的外摩擦及介质阻力等 c 阻尼系数 2 3阻尼对振动的影响 阻尼力 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比 方向与速度相反 二 计阻尼自由振动 1 运动方程及其解 令 运动方程 设 特征方程 根为 令 方程的通解为 由初始条件 不振动 临界阻尼系数 阻尼比 不振动 小阻尼情况 临界阻尼情况 超阻尼情况 2 振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼 振动是衰减的 对数衰减率 利用此式 通过实验可确定体系的阻尼比 上式也可写成 例 对图示体系作自由振动试验 用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm 用力16 4kn 将绳突然切断 开始作自由振动 经4周期 用时2秒 振幅降为1cm 求 1 阻尼比2 刚度系数3 无阻尼周期4 重量5 阻尼系数 6 若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少 解 1 阻尼比 2 刚度系数 3 无阻尼周期 4 重量 5 阻尼系数 6 若质量增加800kg 体系的周期和阻尼比为多少 三 计阻尼简谐荷载受迫振动 1 运动方程及其解 设 或 通解 初位移 初速度引起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自振频率振动的分量 称为伴随自由振动 纯受迫振动 2 阻尼对振幅的影响 在平稳阶段 随增大而减小 阻尼在共振区内影响显著 在共振区外可不计阻尼 的最大值并不发生在 位移滞后于荷载 3 动内力 动位移计算 除动力系数计算式不同外 其它过程与无阻尼类似 例 图示为块式基础 机器与基础的质量为 地基竖向刚度为 竖向振动时的阻尼比为机器转速为n 800r min 其偏心质量引起的离心力为p 30kn 求竖向振动时的振幅 解 将荷载看成是连续作用的一系列冲量 求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移 2 4一般动荷载作用时的受迫振动分析 一 瞬时冲量的反应 1 t 0时作用瞬时冲量 2 时刻作用瞬时冲量 2 4一般动荷载作用时的受迫振动分析 二 动荷载的位移反应 杜哈美积分 计阻尼时 若t 0时体系有初位移 初速度 例 求突加荷载作用下的位移 开始时静止 不计阻尼 解 动力系数为2 3 多自由度体系的振动分析 3 1自由振动分析 自由振动分析的目的是确定体系的动力特性 可不计阻尼 一 运动方程及其解 或 运动方程 设方程的特解为 代入方程 得 频率方程 解频率方程得的两个根 将频率代入振型方程 特解1 特解2 通解 二 频率与振型 体系按特解振动时有如下特点 1 各质点同频同步 2 任意时刻 各质点位移的比值保持不变 定义 体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型 几点说明 1 按振型作自由振动时 各质点的速度的比值也为常数 且与位移比值相同 2 发生按振型的自由振动是有条件的 3 振型与频率是体系本身固有的属性 与外界因素无关 4 n自由度体系有n个频率和n个振型 频率方程 解频率方程得的n 从小到大排列 依次称作第一频率 第二频率 第一频率称作基本频率 其它为高阶频率 将频率代入振型方程 得n个振型 n个振型是线性无关的 5 若已知柔度矩阵时 6 求振型 频率可列幅值方程 振型方程 频率方程 按振型振动时 振型可看作是体系按振型振动时 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移 三 求频率 振型例题 例一 求图示体系的频率 振型 解 令 第一振型 第二振型 对称体系的振型分成两组 一组为对称振型 一组为反对称振型 按对称振型振动 按反对称振型振动 第二振型 解 例二 求图示体系的频率 振型 已知 练 l 2 l 2 c q m n mp mi mp 例3 求图示体系的频率 振型 解 令 3 2简谐荷载作用下的受迫振动分析 运动方程 设特解为 解方程 得 其中 3 2简谐荷载作用下的受迫振动分析 1 在平稳阶段 作简谐振动 振动频率与荷载同 2 当时 3 当时 3 2简谐荷载作用下的受迫振动分析 4 当或时 n自由度体系有n个共振区 3 2简谐荷载作用下的受迫振动分析 5 求稳态振幅可列幅值方程 惯性力幅值 3 2简谐荷载作用下的受迫振动分析 6 内力幅值的计算 例 求图示体系的稳态振幅 动弯矩幅值图 已知 解 不存在统一的动力系数 利用对称性可简化计算 对称荷载 反对称荷载 作业解答 165页7 1 a 165页7 1 b 165页7 1 c 165页7 1 e 3 3振型分解法 一 振型正交性 i振型 i振型上的惯性力 j振型 i振型上的惯性力在j振型上作的虚功 j振型上的惯性力在i振型上作的虚功 由虚功互等定理 振型对质量的正交性的物理意义 i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0 振型对刚度的正交性 振型对刚度的正交性的物理意义 i振型上的弹性力在j振型上作的虚功等于0 振型正交性的应用 1 检验求解出的振型的正确性 例 试验证振型的正确性 2 对耦联运动微分方程组作解耦运算等等 例 已知图示体系的第一振型 试求第二振型 解 例 已知图示体系在动荷载作用下的振幅为 解 试从其中去掉第一振型分量 二 振型分解法 不计阻尼 运动方程 设 j振型广义质量 j振型广义刚度 j振型广义荷载 折算体系 计算步骤 1 求振型 频率 2 求广义质量 广义荷载 3 求组合系数 4 按下式求位移 例一 求图示体系的稳态振幅 解 从结果看 低阶振型贡献大 一般不需要用全部振型叠加 用前几个低阶振型叠加即可 例二 求图示体系在突加荷载作用下的位移反应 解 三 振型分解法 计阻尼 阻尼力 阻尼矩阵 当质点j有单位速度 其余质点速度为0时 质点i上的阻尼力 若下式成立 则将称作正交阻尼矩阵 称作振型j的广义阻尼系数 运动方程 设 设 令 第j振型阻尼比 由试验确定 计算步骤 1 求振型 频率 2 求广义质量 广义荷载 4 求组合系数 5 按下式求位移 3 确定振型阻尼比 正交阻尼矩阵的构成 比例阻尼 rayleigh阻尼 已知两个阻尼比 例 求图示体系的正交阻尼矩阵和阻尼比 已知 解 4 频率 振型的实用计算方法 4 1能量法 瑞利法 能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法 设体系按i振型作自由振动 t时刻的位移为 速度为 动能为 势能为 最大动能为 最大势能为 由能量守恒 有 选满足位移边界条件的 形状与振型相近的向量代入上式求频率的近似值 通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值 例 用能量法计算图示体系的基频 解 1 取自重引起的位移 精确解 2 取直线 3 取常数 精确解 4 2迭代法 对于给定的方阵 满足上式的向量和数值称作的特征向量和特征值 合称为特征对 有限自由度体系求频率 振型 属于矩阵特征值问题 标准特征值问题 广义特征值问题 柔度法建立的振型方程 令 动力矩阵 标准特征值问题 刚度法建立的振型方程 广义特征值问题 一 迭代法求基频和基本振型 1 作法 若是真的振型 则下式成立 即与成比例 若不成比例 不是振型 迭代