2017年北京市海淀区高三二模数学(理)试题及答案.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2017.5本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，或，则 A. B. C. D. 2.二项式的展开式的第二项是 A. B. C.D. 3.已知实数满足则的最小值为 A. B. C. D. 4.圆与曲线的公共点个数为 A4 B3 C2 D.05.已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是A. B. C.是递增数列 D. 存在最小值6.已知是上的奇函数，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A. B. C. D.8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若，则以下结论正确的是A.中至少有一个为正数 B.中至少有一个为负数C.中至多有一个为正数 D.中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在极坐标系中，极点到直线的距离为_. 10.已知复数，则_.11.在中，则_.12.已知函数，则_（填“”或“”）；在区间上存在零点，则正整数_.13.在四边形中，. 若，则=_.14.已知椭圆G：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足. 当变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于轴对称；存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；的最小值为，其中，所有正确命题的序号是_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知函数.（）求的最小正周期和对称轴的方程；（）求在区间上的最小值.16.（本小题满分13分）为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.上图中，已知课程为人文类课程，课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).()在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？()为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元.()设随机变量表示选出的4名同学中选择课程的人数，求随机变量的分布列；()设随机变量表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量的期望.17.（本小题满分14分）如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）线段上是否存在点使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分）已知动点到点和直线l：的距离相等.（）求动点的轨迹E的方程；（）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论19.（本小题满分13分）已知函数.（）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（）当时，求证：存在实数使.20.（本小题满分13分）对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.（）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？（）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；（）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2017.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案CDBDCABA二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）911011. 12. 1314三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（本小题满分13分）解：（）-所以的最小正周期，因为的对称轴方程为，令，得.所以的对称轴方程为.或者：的对称轴方程为和，即和.（）因为，所以，所以，所以当即时，在区间上的最小值为.16.（本小题满分13分）解：()选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)1%=8(人).()()依题意，随机变量可取0，1，2.；故随机变量的分布列为X012pY600065007000p ()法1：依题意，随机变量=2000+1500=6000+500，所以随机变量的数学期望为E()=6000+500E()=6000+500()=6500.()法2：依题意，随机变量可取6000，6500，7000.所以随机变量的分布列如右表，所以随机变量的数学期望为E()=6500.17.（本小题满分14分）解：（）因为，且，所以，所以.因为为正三角形，所以，又由已知可知为平面四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（）由点在平面上的射影为可得平面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知，.平面的法向量，设为平面的一个法向量，则由可得令，则，所以平面的一个法向量，所以二面角的余弦值为.（）由（）可得，因为，所以与不垂直，所以在线段上不存在点使得平面.18.（本小题满分14分）解：（）设动点，由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l：为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为.（）法1：由题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线E有唯一公共点A，所以，即.所以（*）可化简为，所以，令得，因为，所以所以，所以点在以PA为直径的圆上.法2：依题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，所以即所以（*）可化简为，所以.令得，因为，所以，所以点在以PA为直径的圆上.19.（本小题满分13分）解：（），因为曲线在处的切线与直线垂直，所以切线的斜率为2，所以，所以.（）法1：当时，显然有，即存在实数使；当时，由可得，所以在时，所以函数在上递减；时，所以函数在上递增，所以是的极小值.由函数可得，由可得，所以，综上，若，存在实数使.（）法2：当时，显然有，即存在实数使；当时，由可得，所以在时，所以函数在上递减；时，所以函数在上递增.所以是的极小值.设，则,令，得+0-极大值所以当时，所以，综上，若，存在实数使.20.（本小题满分13分）解：（）数列不具有性质；具有性质.（）（不充分性）对于周期数列，是有限集，但是由于，所以不具有性质；（必要性）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即。由性质的含义可得所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即是有