“换元法”在数学解题中的应用.doc

“换元法”在数学解题中的应用大理学院JOURNALOFDALIUNIVERSHY第1O卷第4期201lff4lVo1.10No.4Apr.2011“换元法”在数学解题中的应用和洪云(丽江师范高等专科学校数理系,云南丽江674100)摘要换元法是中学数学中较为重要也是常见的方法,对局部换元,三角换元,均值换元等进行深入探究是教学中的一个重要环节.巧妙地运用换元法将问题进行转化和化归,使问题的解答更加简洁明了.关键词数学教育;数学思想;数学换元法中图分类号0122.2文献标志码A文章编号16722345(2011)04001704ApplicationofSubstitutionMethodinMathematicalProblemSolvingHEHongyun(DepartmentofMathematicsandPhysics,LijiangTeachersCollege,Lijiang,Yunnan6741O0,China)AbstractSubstitutionmethodisfrequentlyusedtosolvemathematicalproblemsinmiddleschoolteaching.Researchesintopartialsubstitution,triangularsubstitutionandmeansubstitutionareimportantpartsofmathematicsteaching.Byusingsubstitutionmethods,problemscouldbetransformedandsolutionscouldbecomeclear.Keywordsmathematicsteaching;mathematicalthinking;substitutionmethod美国着名数学教育家G.波利亚在怎样解题中说过:”数学教学的目的在于培养学生的思维能力”,”掌握数学就意味着要善于解题”,而”数学解题就是命题的连续变换”.数学思想方法与数学基础知识相比较,处于较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,而数学思想方法则是一种数学意识,属于思维的范畴.对数学问题的认识,处理和解决,学习掌握数学思想方法,是学习数学的根本.数学新课程”标准”中明确指出,学习数学的首要目标是”获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念,数学结论的本质,了解概念,结论等产生的背景,应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习,探究活动,体验数学发现和创造的历程.”数学思想中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,是数学解题的具体手段b.本文将结合实例,对数学基本方法中的”换元法”在数学解题中的地位和作用作一探讨评析.l换元法的概念一般而言,在数学问题中,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质就是”转化与化归”的数学思想,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,获得问题的解决.换元法又称辅助元素法,变量代换法,其特点是通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,把条件与结论联系起来,把陌生的形式转变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证得以简化.换元法可以化高次为低次,化分式为整式,化无理式为有理式,化超越式为代数式,因此在研究方程,不等式,函数,数列,三角,微积分等问题中有着广泛的应用.2换元的基本方法换元的基本方法有:局部换元,三角换元,均值换元等总第88期自然科学大理学院2.1局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,有时候要通过变形才能发现.例如解不等式:4+2一2>10,先变形为设2=(f>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.2.2三角换元应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数Y=+的值域时,易发现O,1,设=sin仪,ol0,qT,厶问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.又如变量X,Y适合条件X+Y=r(r>0)时,则可作三角代换X=rcos0,Y=rsinOf为三角问题.2.3均值换元如遇到X+Y=S形式时,设X=罢+,Y=要一f等等.我们使用换元法时,要遵循有利于运算,有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>O和仪0,”iT.厶3换元法在解决数学问题中的应用例1.实数X,Y满足一5xy+4y=5(式),设=.+Y,求+的值.(93年全国高中数学联赛题)【分析】由S=+Y联想1COS仅+sinol=1,r于是进行三角换元,设zc代人式求lY3sin币.的值.(【解】设zc代人式得:4S一5S.I-4sinsinacosot=5解得:丽10;.一1sin2c1.385sin2ct13.?.器.上上:竖:昼一SS1010105此种解法后面求最大值和最小值,还司由in2:的有界性而求,即解不等式:lIl.这种方法是求函数值域时经常用到的”有界法”.【另解】由S=+Y,设=鱼9+f,Y=軎一r,一軎,害,则=J罢一代人式得:5等一2=5,移项平方整理得lOOt.+39S.一160S+100=0.39S一160S+100<0解得:101_9_o.上+上:立+堡:昼.5ax.510.l0105【评析】此题第一种解法属于”三角换元法”,主要是利用已知条件S=x.+Y与i角公式COS0【+sin=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=X.+Y而按照均值换元的思路,设=要+,Y=要一f,减少了元的个数,问题且容易求解.和”均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量,Y时,可以设=a+b,Y=ab,这称为”和差换元法”,换元后有可能简化代数式.本题设=a+易,Y=ab,代人式整理得3a+l3.=5,求得0,昙,所以S:(一b)(+易)=2(以+b)=10+2O2器,弩,再求+的值.例2.AABC的=三个内角A,B,C满足:A+C=2B,+一,枷s的值.(96年全国高考理科试卷)【分析】由已知”A+C:2B”和”三角形内角和等于l80.的性质,可得含品;由”A+C:120.进行均值换元,则设舍,再代入可.【另解】由A+C:2B,得A+C=120.,B=60.所以+一_2,设=一+m,丽1COS=一一m,ACOSL/所以cosA:L一一,cosC-一,两式分一2+77z一2一别相加,相减得:c.sA+cosC一2scoss:堕一2c.sAc.C:一2sinin:.Ar一mTm2-2gl:sin一,一,代入?z+z:1SlI1COS整理得:一3m一一十一拦埋1哥:一16,z一12:0,解出m2:6,代人eo:生:222.【评析】本题两种解法由”A+C=120.,“1+1=一242”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练.例3.设a>O,求f(x):2a(sinx+COSX)一sinx?COSX一2a.的最大值和最小值.【解】设sinx+COSX=t,贝0t一,f,f,由(sinx+COSX)=1+2sinx?COSX得:sinx?COSX:19t.一1一.?.):g(f)=一(卜2.)+(),t一,如图1:=一时,取最小值:一2口22日一当2口时,t=,取最大值:一2a+2n一.2当0<2a时,f:2以,取最大值:.Y27;T图l函数的最大值最小值厂()的最小值为一222一,最大值为【评析】此题属于局部换元法,设sinx+COSX=t后,抓住sinx+COSY与sinx?COSX的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围(t一2,2)与sinx+COSX对应,否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与COSX的和,差,积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为.厂(sinxCOSX,sinxcosx),可用这样设元的方法,转化为二次函数或一次函数.例4.设对于所有实数X,不等式一34一一一OCII一一S34一一OC一14八I12一2J_<0.u12一总第88期自然科学大理学院log+gzgz>.恒成立,求a的取值范围.(87年全国高考理科试卷)【分析】不等式中l.g.,1.g.,l.gz三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法.【解】设l.g.2a_【,=log=3+-og.=3g:3l0g.一2,代入后原不等式简化为(3一f)+2tx一2t>O,它对一切实数恒成立,所以:t4>fO+8郑一)<0,解得t<<03或>6.?.f<0即<00<<l,解得0<n<1.十l【评析】应用局部换元法,起到了化繁为简,化难为易的作用.为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中l.g,log22_(2,l.g三项之问的联系.一般地,解指数与对数的不等式,方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元.例5.已知sin0:cos,且cosO+sin20:37Y37Y10(式),求墨Y的值.【解】设_=sinO=足,则sin:,c0s=ks,且sin.+COS=k.(.+),.)=l,代入式得:k2f+k2.2=I0=10,解得:=3或:或【另解】由号:=tan,将等式两边同时除以coseO,再表示成含tan的式子:l+tan0:(1+tan)=10=10tan2,1.tan2=,3(+).则3t一lOt+3=0.t=3或,解得互=或霉.【评析】第一种解法由_sin87=而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为一32=,不难发现进行结果为VCOStan,再进行换元和变形.一般的,解高次方程时,可使用换元法使方程次数降低.例6.实数,)满足丁(x-if+去=l,若+vk>O恒成立,求k的范围.【分析】由已知条件丁(x-If+去=1,可以发现它与a+b.=1有相似之处,于是实施三角换元.【解】由丁(x-1#+设丁,2”r1=cos,=si即:cc:=一l+1+34cossinO代人不等式+).一>0得:3c0s+4sin一k>O,耳口k<3cos+4sin=5sin(+)所以,<一5时不等式恒成立.【评析】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参j角不等式恒成立的问题,再转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围.一般地,在遇到与圆,椭圆,双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆,椭圆,双曲线等有关问题时,经常使用”三角换元法”.另:本题的另一种解题思路:如图2:在平面直角坐标系,不等式似+by+c>O(n>0)所表示的区域为直线ax+by+C=oN分平面成两部分(下转第29页).I3=一贝+ll一即没总第88期李俊华基于Web文本挖掘的高校教师个人主页系统研究与开发第1O卷科研合作与学术交流,展示科研成果的技术支撑平台,同时也能够为高校提供一个宣传本校教师队伍,吸引广大考生,评价教师教学与研究生培养质量,监督本校教师学术活动状况的技术服务平台,但如何构建一个性能稳定,用户使用便捷的高校教师个人主页系统仍需进一步探究.参考文献1钟艳花,余伟红,余永权.Web文本挖掘系统及其关键技术研究J计算机工程与应用,2003,34(17):167169.2唐菁,沈记全,杨炳儒.基于Web的文本挖掘系统的研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