基本初等函数知识点及练习.doc

【指数与指数函数】一、指数（一）整数指数幂1整数指数幂概念： ； 规定： 2整数指数幂的运算性质：（1） ，（2） ；（3） ；（4） （二）根式1根式的概念（的次方根的概念）：一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根即： 若 ，则叫做的次方根例如：27的3次方根 ，的3次方根 ，32的5次方根 ，的5次方根 说明：（1）若是奇数，则的次方根记作；若，则，若，则；（2）若是偶数，且，则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；例如：8的平方根 ；16的4次方根 （3）若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根； （4）， ；（5）式子叫根式，叫 ，叫 2的次方根的性质（1）一般地，若是奇数，则 ；若是偶数，则 （2） （注意必须使有意义）（二）分数指数幂1分数指数幂：规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是 ； （2）正数的负分数指数幂的意义是 ； （3）0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用；说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；例如：， 【练习巩固】1求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 2已知， 化简：3计算： 4求值：5 用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）6计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）；（2）；7计算下列各式：（1）；（2）二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 2指数函数在底数及的图象特征及函数性质：图象特征函数性质图象的伸展： 图象的对称性： 图象的位置：图象过定点： 自左向右看，图象逐渐 自左向右看，图象逐渐 在第一象限内的图象纵坐标都 在第一象限内的图象纵坐标都 在第二象限内的图象纵坐标都 在第二象限内的图象纵坐标都 图象上升趋势是越来越 图象下降趋势是越来越 函数值开始增长 ，到了某一值后增长速度 函数值开始减小 ，到了某一值后减小速度 总结：指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象性质（1）定义域： （2）值 域： （3）过点 ，即时， （4）在上是 函数，当时， ；当时， （4）在上是 函数，当时， ；当时， 掌握指数函数在底数不同时的图象变化规律当时， 的图象向上越接近轴，向下越接近轴当时， 的图象向上越接近轴，向下越接近轴【练习巩固】一、指数函数的定义问题例：若，则_练1已知指数函数图像经过点，则_练2设函数（且），则（ ）A B C D练3已知是指数函数，且，则 二、指数函数的图像问题例1：若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A B C D例2：画函数的图像练1方程的实根的个数为_练2直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是_ 练3若，则下列不等式中成立的是（ ） 练4函数的图象恒过定点_练5函数的图像必经过点_练6设都是不等于的正数， 在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是（ ）A BC D三、求解有关指数不等式、方程例：已知，则的取值范围是_练1设，解关于的不等式 练2解方程 练3若方程有正数解，则实数的取值范围是 练4设，使不等式成立的的集合是 四、定义域与值域问题例：求下列函数的定义域、值域（1）； （2）； （3）； （4）练1当时，的值域为_练2已知函数的定义域为，则函数的定义域为_练3设集合，则是（ ）A、 B、 C、 D、有限集练4求下列函数的定义域与值域（1） ；（2） ；（3）练5已知，求函数的值域五、最值问题例：函数在区间上有最大值14，则的值是_练1已知，求的最小值与最大值练2已知，求函数的最大值和最小值练3设，求函数的最大值和最小值六、比较大小问题例：设，则（ ）A B C D练1若，则实数的取值范围是（ ）A B C D练2下列三个实数的大小关系正确的是（ ）A BC D练3比较下列各组数的大小：（1）若，比较与； （2）若，比较与；（3）若，比较与； （4）若，且，比较与；（5）若，且，比较与七、单调性问题例：讨论函数的单调性练1函数的单调增区间为_练2函数的单调递增区间为 练3函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D练4函数的单调增区间为（ ）A B C D练5函数在上（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值练6求函数的定义域，值域和单调区间 练7求函数的单调区间八、函数的奇偶性问题例：当时，证明函数 是奇函数练1如果函数在区间上是偶函数，则_练2若函数是奇函数，则_练3若函数的最大值为，且是偶函数，则 _ 练4设是实数，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数及此时的值域 练5已知（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求证：【对数与对数函数】一、对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（其中：是 ，是 ，是 ）两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数；常用对数：（2）自然对数：以无理数为底的对数的对数 自然对数：（其中）；对数式与指数式的互化： 2对数的性质：（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：_； （3）底数的对数是1：_；（4）对数恒等式：_； （5）_3对数的运算法则： ； ； ； 4对数换底公式：_； 5由换底公式推出一些常用的结论：（1），； （2）；（3）； （4）二、对数函数1对数函数的概念：函数且叫做对数函数其中是自变量，函数的定义域是2对数函数在底数及的图象特征及函数性质：图象特征函数性质图象的位置：函数图象都在轴右侧图象对称性：图象关于原点和轴不对称图象的伸展：向轴正负方向无限延伸图象过定点为：函数图象都过定点自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0总结：指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象性质（1）定义域： （2）值 域： （3）过点 ，即时， （4）在上是 函数，当时， ；当时， （4）在上是 函数，当时， ；当时， 注：对数函数与（且）的图像关于轴对称例：如图中曲线分别表示，的图象，的关系是（ ）A BC D三、反函数1定义：设式子表示是的函数，定义域为，值域为，从式子中解出，得到式子，如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是的函数（是自变量），这样的函数，叫做的反函数 ，记作，即，一般习惯上对调中的字母，把它改写成（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；即函数要有反函数由它必须为单调函数（2）原函数的定义域、值域分别是反函数的 、 （3）与的图象关于 对称 （4）若在原函数的图像上，则 在其反函数的图像上 即：2求反函数的一般步骤 （1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由的解析式求出；（3）将对换，得反函数的一般表达式，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成4掌握下列一些结论（1）单调函数一一对应有反函数（2）周期函数不存在反函数（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数（4）证明的图象关于直线对称，只需证的反函数和相同【练习巩固】一、对数运算1已知，求(用表示)2 3计算：（1）； （2）；（3）； （4）二、大小比较1比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大3比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较1三个数，的大小顺序是（ ）2比较下列三数的大小：（1），；（2），；（3），三、对数函数的定义域、值域1函数的定义域是 2函数的定义域是，则函数的定义域是 3函数的定义域是，则实数的取值范围是 4求下列函数的定义域、值域：(1)； (2)； (3)； (4)四、对数函数的性质1，当时，函数的最大值比最小值大3，则实数 2函数的图像关于（ ）A轴对称 B轴对称 C原点对称 D直线对称3函数在时的值域为 4设为奇函数，且当时，(1)求当时，的解析式；(2)解不等式5根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数6函数恒过定点_五、反函数1求下列函数的反函数：（1）；（2），；（3）；（4）2求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像（1）；（2）3已知函数，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域4已知函数，（1）求它的反函数；（2）求使的实数的值 5设点既在函数的图像上，又在它的反函数图像上，（1）求；（2）证明：在其定义域内是减函数【幂函数】1幂函数的定义： 2幂函数的图象函 数图象定义域值 域奇偶性单调性过定点3幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 （2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 （3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴（4）奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数；若为奇数为偶数时，则是偶函数；若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数（5）图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方；当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方【练习巩固】一、幂函数定义：1在函数中，幂函数的个数为（ ） A0 B1 C2 D32下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A B C D二、幂函数的图像性质： 1幂函数的图象都经过点（ ） A B C D 2若幂函数在上是增函数，则（ ） A B C D不能确定3幂函数的定义域为（ ） A B C D4下列函数中既是偶函数又是上是增函数的是（ ） A B C D5函数在区间上的最大值是（ ） A B C D6函数的图象是（ ）A B C D7下列命题中正确的是（ ）A当时函数的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过和点C若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D幂函数的图象不可能出现在第四象限8若，那么下列不等式成立的是（ ）A B C D9若幂函数在上是减函数，则（ ） A B C D不能确定10若点在幂函数的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ）A B D11使成立的的取值范围是（ ） A且 B C D12当时，函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是（ ）A B C D13若四个幂函数， 在同一坐标系中的图象如右图，则、的大小关系是（ ）A B C D14函数的图象只可能是（ ） ABCD13题15函数和图象满足（ ）A关于原点对称 B关于轴对称 C关于轴对称 D关于直线对称16函数，满足（ ）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数 C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数17函数的单调递减区间是（ ）A B C D18如图19所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（ ）ABCD19对于幂函数，若，则，大小关系是（ ）A BC D无法确定20函数的定义域为_21幂函数的图象过点，则的解析式是_，的解析式是_22是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 23若，则的取值范围是_24设，如果是正比例函数，则_，如果是反比例函数，则_，如果是幂函数，则_25若幂函数在上是增函数，_26函数的对称中心是_，在区间上是_函数（填“增”或“减”）27比较下列各组中两个值大小（1）与；（2）与28下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（A） （B） （C） （D） （E） （F）29已知函数，求为何值时，是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数30已知幂函数（）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求的值，并写出相应的函数31已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，试确的解析式32求证：函数在上为奇函数且为增函数33利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）；（2）【综合练习一】1已知集合，则集合中元素个数是（ ） A3 B4 C5 D62如图所示，是全集，、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A BC D3函数是单调函数时，的取值范围（ ）A B C D 4如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值5函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ）A B C D6函数在实数集上是增函数，则（ ）A B C D 7定义在上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）A BC D8三个数的大小关系为（ ）A BC D9函数的定义域是（ ）A B C D10与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为（ ）A B C D11已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）A B C D12设函数的图象过点，其反函数的图像过点，则（ ）A6 B5 C4 D313函数的定义域是_；值域是_14已知全集，则_15函数在上为奇函数，且，则当， 16函数恒过定点 17若，则 18已知函数，则的值为 19若函数是偶函数，则的递减区间是_20函数，当时是增函数，当时是减函数，则_21（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域22已知，（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值； 23已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合【综合练习二】1设集合，由以下列对应中不能构成A到B的映射的是（ ）A B C D2下列四个函数:（1）；（2）；（3）；（4），其中定义域与值域相同的是（ ）A（1）（2） B（1）（2）（3） C（2）（3） D（2）（3）（4）3已知函数，若，则的值为（ ）A10 B 10 C 14 D无法确定4设函数，则的值为（ ）A B C、中较小的数 D、中较大的数5已知矩形的周长为1，它的面积与矩形的长之间的函数关系中，定义域为（ ）A B C D 6已知函数y=x2-2x+3在0，a(a0)上最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是（ ）A0a1 B0a2 Ca2 D 0a27已知函数是R上的偶函数，且在（-，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（ ）Aa2 Ba-2或a2 Ca-2D-2a28已知奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有，则一定有（ ）A B C D9已知函数的定义域为A，函数y=f(f(x)的定义域为B，则（ ）A B C D10已知函数y=f(x)在R上为奇函数，且当x0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在时的解析式是（ ）