一阶直线倒立摆双闭环PID控制仿真报告.doc

目录摘要2一、 一阶倒立摆系统建模31、对象模型32、 电动机、驱动器及机械传动装置的模型4二、 双闭环PID控制器设计51、 仿真验证62、 内环控制器的设计93、 系统外环控制器设计12三、 仿真实验151、绘图子程序152、仿真结果16四、 结论18摘要本报告旨在借助Matlab仿真软件，设计基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统。在如图0.1所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车的位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。图0.1 一阶倒立摆控制系统分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：图0.2 一阶倒立摆控制系统动态结构图本报告将借助于“Simulink封装技术子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。一、一阶倒立摆系统建模1、对象模型如图1.1所示，设小车的质量为m0，倒立摆均匀杆的质量为m，摆长为2l，摆的偏角为，小车的位移为x，作用在小车上的水平方向的力为F，O1为摆角质心。图1.1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则1） 摆杆绕其中心的转动方程为 （1-1）2） 摆杆重心的水平运动可描述为 （1-2）3） 摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 （1-3）4） 小车水平方向上的运动可描述为 （1-4）由式（1-2）和式（1-4）得 (1-5)由式（1-1）、（式1-2）和式（1-3）得 （1-6）整理式（1-5）和式（1-6），得 （1-7）以上式1-7为一阶倒立摆精确模型。当小车的质量；倒摆振子的质量；倒摆长度；重力加速度取g=10m/s2时得若只考虑在其工作点附近的细微变化，这时可近似认为由此得到简化的近似模型为其等效动态结构图如图1.2所示。图1.2 一阶倒立摆系统动态结构图2、 电动机、驱动器及机械传动装置的模型假设：选用日本松下电工MSMA021型小关良交流伺服电动机，其有关参数如下：驱动电压：U=0100V 额定功率：PN=100W额定转速：n=3000r/min 转动惯量：额定转矩： 最大转矩：电磁时间常数： 机电时间常数：经传动机构变速后输出的拖动力为;与其配套的驱动器为MSDA021A1A，控制电压V。若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦，就可以认为驱动器和机械传动装置均为纯比例环节，并假设这两个环节的增益分别为和。对于交流伺服电动机，其传递函数可近似为由于是小惯性的电动机，其时间常数、相对都很小，这样可以进一步将电动机模型近似等效为一个比例环节。综上所述，电动机、驱动器、机械传动装置三个环节就可以合成为一个比例环节二、双闭环PID控制器设计从图1.2所示的一阶倒立摆系统动态结构图中不难看出，对象传递函数中含有不稳定的零极点，即该系统为一个“自不稳定的非最小相位系统”。由于一阶倒立摆系统位置伺服控制的核心是“在保证摆杆不倒的条件下，使小车位置可控”。因此，依据负反馈闭环控制原理，将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，则摆角作为外环内的一个扰动，能够得到闭环系统的有效抑制（实现其直立不倒的自动控制）。综上所述，设计一阶倒立摆位置伺服控制系统如图2.1所示。剩下的问题就是如何确定控制器（校正装置）和的结构与参数。图2.1 一阶倒立摆位置伺服控制系统动态结构图1、仿真验证（1）、模型封装采用仿真实验的方法在MATLAB的Simulink图形仿真环境下进行模型验证实验，其原理如图2.2所示。其中，上半部分为精确模型仿真图，下半部分为简化模型仿真图。图2.2 模型验证原理图利用Simulink压缩子系统更加便捷的表示为如图2.3所示：图2.3 Simulink压缩子系统其中，又得到的精确模型和简化模型的状态方程，可得到Fcn、Fcn1、Fcn2和Fcn3的函数形式为Fcn：(0.12*u1+0.036*sin(u3)*power(u(2),2)-0.9*sin(u3)*cos(u3)/(0.24-0.09*power(cos(u3),2)Fcn1：(0.3*cos(u3)*u1+0.09*sin(u3)*cos(u3)*power(u2,2)-6*sin(u3)/(0.09*power(cos(u3),2)-0.24)Fcn2：0.8*u1-6*u3Fcn3：40*u3-2.0*u1（2）、实验设计假定使倒立摆在的初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经验知，小车将向前移动，摆杆将倒下。下面利用仿真实验来验证正确数学模型的这一“必要性质”。（3）、编制绘图子程序load xy.matt=signals(1,:);f=signals(2,:);x=signals(3,:);q=signals(4,:);xx=signals(5,:);qq=signals(6,:);figure(1)hf=line(t,f(:);grid on;xlabel (Time(s)ylabel (Force(N)axis(0 1 0 0.12)axet=axes(Position,get(gca,Position),.XAxisLocation,bottom,.YAxisLocation,right,Color,None,.XColor,k,YColor,k);ht=line(t,x,color,r,parent,axet);ht=line(t,xx,color,r,parent,axet);ylabel(Evolution of the x position (m)axis(0 1 0 0.1)title(Response x and xin meter to a f(t) pulse of 0.1 N)gtext(leftarrow f(t),gtext(x(t)rightarrow),gtext(leftarrow x(t)figure(2)hf=line(t,f(:);grid on;xlabel (Time(s)xlabel (Time)ylabel (Force in N)axis(0 1 0 0.12)axet=axes(Position,get(gca,Position),.XAxisLocation,bottom,.YAxisLocation,right,Color,None,.XColor,k,YColor,k);ht=line(t,q,color,r,parent,axet);ht=line(t,qq,color,r,parent,axet);ylabel(Angle evolution (red)axis(0 1 -0.3 0)title(Response theta(t) and theta(t) in rad to a f(t) pulse of 0.1N)gtext(leftarrow f(t),gtext(theta(t) rightarrow),gtext(leftarrow theta(t)1、 仿真实验执行该程序的结果如图2.4 所示。从中可见，在0.1N的冲击力作用下，摆杆倒下（由零逐步增大），小车位置逐渐增加，这一结果符合前述的实验设计，故可以在一定程度上确认该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。有事，由图中也可看出，近似模型在0.8s以前与精确模型非常接近，因此，也可以认为近似，模型在一定条件下可以表述原系统模型的性质。图2.4 模型验证仿真结果2、内环控制器的设计（1）、控制器结构的选择考虑到对象为一个非线性的自不稳定系统，故拟采用反馈校正，这是因为其具有如下特点：1) 削弱系统中非线性特性等不希望特性的影响2) 降低系统对参数变化的敏感性3) 抑制扰动4) 减小系统的时间常数所以，我们对系统内环采用反馈校正进行控制。图2.5为采用反馈校正控制内环框图。其中，为私服伺服电动机与减速机构的等效模型（已知），经过比较，采用PD结构的反馈控制器可使系统结构简单，使原先不稳定的系统稳定，所以，选定反馈校正装置的结构为PD结构的控制器。图2.5反馈校正控制的系统内环框图综上有，同时为了加强对干扰量的抑制能力，在前向通道上加上一个比例环节,从而有系统内环动态结构如图2.6所示。图2.6 系统内环动态结构框图（2）、控制器参数的整定首先暂定比例环节的增益,又已知。这样可以求出内环的传递函数为由于对系统内环的特性并无特殊的指标要求，因此对于这一典型的二阶系统，采取典型参数整定方法，即以保证内环系统具有“快捷跟随性能特性”（使阻尼比=0.7，闭环增益K=1即可）为条件来确定反馈控制器的参数和，这样就有由上式得系统内环的闭环传递函数为（3） 、系统内环的动态跟随性能指标1)、理论分析 系统内环跟随性能指标如下：2）、仿真实验 根据的道德内环系统的闭环传递函数，搭建Simulink如下图2.7所示图2.7 搭建的Simulink仿真图编写绘图子程序如下：load simu.matt=signals(1,:);x=signals(2,:);hf=line(t,x(:);figure(1)axis(0 2 0 1.2)grid onxlabel(Time(s)ylabel(The response of the step signal(%)title(Respones)得到的仿真图形如图2.8所示。从仿真图中可以很清楚的得知，其响应时间和超调量与理论分析的值相符合。图2.8 单位阶跃信号作用下的响应曲线3、系统外环控制器设计外环系统前向通道的传递函数为可见，系统开环传递函数为一个高阶（四阶）且带有不稳定零点的“非最小相位系统”，为了便于设计，需要先对它进行一些必要的简化处理（否则，不便利用经典控制理论与方法对其进行设计）。1、 系统外环模型的降阶对于一个高阶系统，当高次项的系数小到一定程度时，该环节对系统的影响可忽略不计。这样可以降低系统的阶次，以使系统得到简化。（1）对内环等效闭环传递函数的近似处理 由上可知，系统内环闭环传递函数为若可以将高次项忽略，则可以得到近似的一阶传递函数为近似条件可以由频率特性导出，即所以，近似条件是，即。（2） 对象模型的近似处理 我们知道对于，如果可以将分子中的高次项忽略，则环节可近似为二阶环节，即。同理，近似条件是，即。经过以上的处理后，系统开环传递函数被简化为近似条件为。2、 控制器设计图2.9给出了系统外环前向通道上传递函数的等效过程，鉴于一阶倒立摆位置伺服控制系统对抗扰性能与跟随性能的要求，可以将外环的系统设置成典型的型的结构形式。同时系统还应满足前面各环节的近似条件，即系统外环的截止角频率。图2.9 模型简化过程为了满足以上对系统的设计要求，为PD的形式。设加入的调节器为，同时，为使系统有较好的跟随性能，采用单位反馈来构成外环反馈通道，如图2.10所示。此时系统的开环传递函数为图2.10 闭环系统结构图为保证系统剪切频率，取，则由“典型型”系统最佳参数（中频宽）知：，则，取，则由系统开环传递函数；再有“典型型”系统Bode图知：，则有。综上所述，球外环调节器的两个参数：，这样可以得到完整的系统仿真结构如图2.11所示。图 2.11 系统仿真结构图三、仿真实验综上所述，精确模型的封装子系统构成的Simulink仿真系统结构图如图3.1所示。图3.1 Simulink仿真框图1、绘图子程序load PID.matt=signals (1,:);q=signals (2,:);x=signals (3,:);figure(1)hf=line(t,q(:);grid onxlabel (Time(s)ylabel(Angle evolution (rad)axis(0 10 -0.3 1.2)axet=axes(Position,get(gca,Position),. XAxisLocation,bottom,. YAxisLocation,right,Color,None,. XColor,k,YColor,k);ht=line(t,x,color,r,parent,axet);ylabel(Evolution of the x position (m)axis(0 10 -0.3 1.2)title(theta(t) and x(t) Response to a step input)gtext(leftarrow x(t),gtext(theta(t) uparrow)2、仿真结果下图3.2为仿真结果图，从中可见，双闭环PID控制方案是有效的。图3.2 系统仿真结果图为检验控制系统的鲁棒性能，可通过改变部分参数来检验，具体如下：Fcn：(0.132*u1+0.0436*sin(u3)*power(u(2),2)-1.090*sin(u3)*cos(u3)/(0.2772-0.109*power(cos(u3),2)Fcn1：(0.33*cos(u3)*u1+0.109*sin(u3)*cos(u3)*power(u2,2)-6.93*sin(u3)/(0.109*power(cos(u3),2)-0.2772)其仿真结果如图3.3所示：图3.3 变参数是系统的仿真结果从图中可见，控制系统仍能有效实现其稳定性，系统控制有效。为了进一步验证控制系统的鲁棒性，可通过改变倒立摆的摆杆质量（图3.4）和长度（图3.5）多做几组实验。 图3.4 改变摆杆质量图3.5 改变摆杆长度由此可见，所涉及的