2018年 各省市导数试题汇编 (理科).doc

【1】（2018年全国1卷理）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.【解析】（1）当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于， 所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.【2】（2018全国二卷理）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【解析】（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，【3】（2018年全国3卷理）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）=0当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意当a0时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h（x）单调递减，令h（0）=0，解得a=当1x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又h（0）=0，当1x0时，h（x）0，即f（x）0，当x0时，h（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0是f（x）的极大值点，符合题意；若a0，则h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0在（0，+）上有唯一一个零点，设为x0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若a，则h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0在（1，0）上有唯一一个零点，设为x1，当x1x0时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意综上，a=【4】（2018北京理）设函数（）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（）若在处取得极小值，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（）因为，所以由题设知，即 ，解得此时所以的值为（）由（）得若，则当时，；当时，所以在处取得极小值若，则当时，所以所以不是的极小值点综上可知，的取值范围是【5】（2018年天津理）已知函数，其中.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.【解析】（I）由已知，有.令，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线.曲线在点处的切线要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得和重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线.【6】（2018年浙江）已知函数（）若在处导数相等，证明：（）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点【答案】（）略 （）略【解析】（）函数的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）0+24ln2所以在上单调递增，故，即（）令，则，所以，存在使所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点由得设，则，其中 由（）可知，又，故，所以，即函数在上单调递减，因此方程至多个实根综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点【7】 （2018年江苏卷）记分别为函数的导函数.若存在，满足且,则称为函数与的一个“点”.1.证明:函数与不存在“点”.2.若函数与存在“点”，求实数的值.3.已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由.【解析】1. ，若存在，则有，矛盾，因此不存在.2. 根据题意有且有，根据得，代入得；3. ，根据题意有，根据有，转化为，转化为存在零点，又，恒存在零点大于0小于1，对任意均存在，使得存在“点”.【8】（2018年江苏卷）设是首项为,公差为的等差数列，是首项,公比为的等比数列.1.设，若对均成立,求的取值范围.2.若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围(用表示).【答案】1.由题意得对任意均成立，故