02第二讲_导数及其应用.doc

第二讲 导数及其应用考纲要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数.会求隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理,了解并会用柯西（Cauchy）中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数的极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单的应用.8.会用导数判断函数图形的凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线.9.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.一、导数与微分问题1 叙述导数、微分的定义与几何意义答 1.导数的定义 函数在点处的导数.函数在点处左导数，函数在点处右导数，函数在点处可导；导数的几何意义：若函数在点处可导，则表示曲线在点（其中）处的切线的斜率，曲线在点处的切线的方程为.2.微分的定义 设，如果，则称函数在点可微，并称为在点的微分.当在点可微时，有.当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上的点的纵坐标的相应增量.3. 函数在点处有极限、连续、可导、可微的关系是有极限 连续 可导 可微例1.函数在点处可导与极限存在有何关系？2.函数在点处可导与极限存在有何关系？问题2 如何求曲线的切线？答 关键是求出切点和斜率.例1.曲线上与直线垂直的切线方程为 .（，04-1）2.设函数由方程所确定，则曲线在点 处的切线方程为 .（，03-2）3.设在连续，且，则曲线在点处的切线方程为 .【】问题3 叙述求导公式与法则.答 1.基本初等函数导数公式（16个） 2.求导法则定理1 （函数的四则运算的求导法则） 设在点可导，则它们的和、差、积、商在点可导，且；，()定理2 （反函数的导数） 若函数在区间内单调可导，且导数，则它的反函数在对应区间内单调可导，且.定理3 （复合导数求导法则） 若在点处可导，在点处可导,则复合函数在点处可导，且.注 使用复合函数求导法则的步骤：将函数读作的基本初等函数；对求导，乘以对的导数.定理4（莱布尼茨公式）.问题5 如何求各类函数的导数（或者微分）答 求导运算是最基本的运算，也是考试中涉及最多的运算，读者必须熟练掌握求导公式、求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则）以及各种函数的一、二阶导数的求法：初等函数（正确使用求导公式与法则）分段函数（分段点必须用定义求导）隐函数（两边求导法、公式法）参数方程确定的函数（利用导数公式：，）抽象函数（正确使用导数记号，注意和的区别）幂指函数（对数求导法）反函数（导数公式：）例 1.，求. ()解 【熟练掌握复合函数求导法则】，故.2.设，则 . 解 ，.3.设，求.解 【用两边求导法】方程两边对求导，得 将代入，得；式两边对求导，得，将代入，得. .4.设由所确定，求.解 【用隐函数求导公式】由确定，.5.设二阶可导，且，求 . 解 【用参数式求导公式】，.6.设与互为反函数，且三阶可导，试用表示.解 【利用反函数求导公式和复合函数求导法则】 ，上式两边对求导，；上式两边再对求导，.7.已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求，.（07-2）解 ，方程两边对求导，得，将代入式，得式两边对求导，得，将代入式，得，故，.问题6 如何求分段函数的导数答 分段函数的导数是重点，也是常考点，读者务必通过例题熟练掌握分段函数的求导方法，切记分段函数分段点必须用定义求导.例1.设，其中在上具有二阶连续导数，且，求并讨论的连续性.解 时，； ，故在连续，又在连续，所以在上连续. 2设在连续，讨论在处的可导性.3设在上有定义，且，且有，问为何值时，在处可导？问题7 哪些情形要用定义求导？答 除了分段函数分段点必须用定义求导外，某些抽象函数也必须用定义求导. 此外，求某些初等函数在一点处的导数，用定义求导较为简单.例1.设，则 . 【100!】2.设恒成立，则 . 【】3.设在有定义，且，有，求. 【】解 ，又，故.问题8 如何求函数的阶导数？答 求阶导数的方法有归纳法 依次求出，等，观察其规律，写出；分解法 将函数分解为某些简单函数之和；用莱布尼茨公式求乘积的阶导数；用泰勒公式求.例1.设，求.【】2.设，求.【】问题9 如何判别函数的单调性？答 根据函数单调性判别法知，函数单调区间的分界点是其导函数的零点（称为函数的驻点）或者导数不存在的点.判别函数单调性的步骤是：求出函数的驻点和不可导点；用这些点将函数的定义域分成若干小区间；确定各小区间上导数的符号（列表）；判别函数在各小区间上的单调性.例1.证明在上单调增加.2.设在上二次可导且，,证明在上单调减少.问题10 如何求函数的极值？答 根据极值的必要条件知，函数的极值只能在驻点和不可导点取得.求极值的步骤是：求出函数的驻点和不可导点；用这些点将函数的定义域分成若干小区间；确定各小区间上导数的符号（列表）；用第一充分条件判别函数在这些点是是否取得极值，是极大值还是极小值.注 对于驻点，也可以用第二充分条件判别.例1.满足，,则在处（ ）.（A）有极大值 （B）有极小值 （C）在某邻域内递增 （D）在某邻域内递减 (A)2.设由方程确定，求的极值点.（极小点）3.已知函数对一切满足，且，证明 是的极小值.问题11 如何判别曲线的凸凹性和拐点？答 根据凸凹性判别法和拐点定义知，曲线凸凹部分的分界点（拐点）只能是二阶导数为零或者不存在的点.判别函数的凸凹性和拐点的步骤是：求出函数二阶导数为零或者不存在的点；用这些点将函数的定义域分成若干小区间；确定各小区间上二阶导数的符号（列表）；判别函数在各小区间上的凸凹性及这些点是否拐点.例1.求的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.2.设有三阶连续导数，且，问是否极值点？是否拐点？证明你的结论.【结论 设有阶连续导数，且，则当为奇数时，不是极值点，是拐点；当为偶数时，是极值点，不是拐点】问题12 如何求函数的最值？答 求函数的最值是重点，务必熟练掌握求最值的方法.分两种情形：若在上连续，则求出函数在驻点，不可导点、端点处的函数值，其中最大（小）的为最大（小）值.若在区间内可导且只有惟一极值，则极小值就是最小值，极大值就是最大值.注 实际问题根据题意判别.例1.在抛物线上的第一象限部分求一点，过点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解 设切点为，切线方程为，三角形面积，故当时，三角形面积最小，点为.2.作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小？ 解 圆锥的体积，其中为圆锥的底半径，又，令，得，又，故当时，此圆锥体积最小.问题13 如何求曲线的曲率？答 根据曲线的曲率公式，关键是求函数的一、二阶导数.问题14 叙述微分中值定理.答 微分中值定理是微积分理论的重要组成部分，它们建立了函数与导数的联系，从而可以用导数研究函数. 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，叙述如下：定理1（罗尔定理）如满足：（1）在上连续，（2）在内可导，（3），则至少存在一点，使得.定理2（拉格朗日中值定理） 设在上连续，在内可导，则至少存在一点，使.定理3（柯西中值定理） 设在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使.例1.设在上连续，在内可导，证明：，使.【提示：对用拉格朗日中值定理】2. 设在上连续，在内可导，且，证明：，使得.3.设在上连续，在内可导，且，证明：，使. 4.设在上连续，在内可导，且，证明：，使得，其中为正整数.问题15 如何证明（讨论）关于方程的根（函数的零点）问题？答 函数的零点（方程的根）是重点，也是常考点，务必通过例题熟练掌握证明（讨论）函数零点问题的方法.1.零点的存在性证明，即证明存在一点满足一个等式（用零点定理或者罗尔定理）基本思路：将等式中的改为，得到方程；验证是否满足零点定理条件；若满足，则结论成立，否则将方程改为；求出辅助函数（积分）；验证Rolle定理条件，从而得出结论.注 利用罗尔定理证明零点问题，难点是构造辅助函数. 请记住下面的常用结论：若方程为，则令；若方程为，则令；若方程为，则令；若方程为，且连续，则令.2.惟一性证明基本思路 先证明存在性，再证明单调性或者先证明存在性，再利用反证法.3.零点个数的讨论基本思路 先求单调区间，再用零点定理.例1.设在上连续，在内可导，且，.证明：方程在内有且仅有一个实根.证 【惟一性问题，用零点定理和反证法】令，则在上连续，且，由零点定理知，方程即在内有一个实根.若方程在内有两个不同的实根，即，则由拉格朗日中值定理知，在，之间存在一点，使得，与矛盾，故方程在内有且仅有一个实根.2.设在上有连续导数，且,求证在内有且仅有一个实根.（03-3）【惟一性问题，用零点定理和单调性】3.设为上有三阶导数，且，又，证明在内至少存在一点使得.【存在性问题，三次使用罗尔定理】4.若，证明方程在内至少有一个实根.【存在性问题，用罗尔定理，令】.5.设在上连续，在内可导，且，证明：，使.【存在性问题，用罗尔定理，令】6.设在上连续,在内可导，且,证明,使.【存在性问题，用罗尔定理，关键是由条件,及介值定理找出罗尔定理的第三个条件.】7.设，在上二阶可导，且,，证明：在内，；，使.证 【用反证法】若存在，使得，则由罗尔定理知，存在，使得，从而在区间上满足罗尔定理条件，故存在，使得，与矛盾，因此在内，.【存在性问题，即要证，】令，则在上可导，且，由罗尔定理知，使得，即.8.设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.【存在性问题，用罗尔定理，令，关键是找出在三点函数值相等】9.设在上有二阶导数，且，证明：和，使，.证 【关键是证明，使，从而有】不失一般性，设，则，由极限的保号性知，存在，当时，取，则.类似可证有，使得.由零点定理知，存在，使得.由罗尔定理知，存在和，使得，又在上可导，由罗尔定理知，存在，使得.10.讨论方程有几个实根.【零点个数问题，令，求单调区间并用零点定理】.11.讨论曲线与的交点个数.解 【零点个数问题，讨论方程根的个数】令，令，当时，递减，只有惟一零点，故只有惟一驻点，在，上单调，又，当，即时，方程无实根，当，即时，方程有惟一实根，当，即时，方程有两个实根.故当时，两条曲线无交点，当时，两条曲线有一个交点，当时，两条曲线有两个交点.12.在区间内，方程有几个实根？证 【零点个数问题】令，此函数为偶函数且时，故只要讨论在内有几个实根.时，在上连续，且，故在内有且仅有一个实根，所以，在区间内，方程有两个实根.问题16 如何证明不等式？答 证明不等式是常常考题型之一，务必通过例题熟练掌握证明不等式的方法. 证明不等式的方法有用中值定理利用将函数不等式转化为导数不等式.用单调性若在上递增，则对， .用最值若在上有最大值和最小值，则对.用凸性若在上是凹的，则曲线任一点的切线位于曲线下方，任意两点的连线（弦）位于曲线上方.用泰勒公式（见题型11）用积分不等式设，则.推论 .用估值不等式.设，则.为了利用导数证明不等式，常常将常量不等式转化为变量不等式，这是证明不等式的重要方法，必须熟练掌握.例1.设，证明：. （04-1-2）证 【将常量不等式转化为变量不等式】令，当时，递减，递增，即.2.设，证明：；. （98-2）证 【用单调性】令，则在上连续，且，当时，递减，递减，即.【用单调性】令，则由知，当时，递减，令，又，故.3.设，证明：.证 【将常量不等式转化为变量不等式】只要证明 时，即.令，则，当时，单调减少，故时，即，亦即.4.设不恒为常数的函数在上连续，在内可导，且，证明：，使.5.，证明：对任何，有.6.试证：当时，. 问题17 泰勒公式有哪些应用？答 泰勒公式建立了函数与导数、高阶导数的联系，因而可以用导数及高阶导数研究函数. 凡是涉及高阶导数的问题，常用泰勒公式. 关于泰勒公式的内容，简述如下： 泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一，有其中（在与之间）.注 此公式称为在处的阶泰勒公式；时，称为麦克劳林公式；时,就是拉格朗日公式；称为拉格朗日型余项，如果在内有界，则，称为佩亚诺(Pe