基于MATLAB优化工具箱的优化计算.ppt

第9章基于MATLAB优化工具箱的优化计算 9 1MATLAB优化工具箱 一 常用的优化功能函数求解线性规划问题的主要函数是linprog 求解二次规划问题的主要函数是quadprog 求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd fminunc和fminsearch 求解约束非线性规划问题的主要函数是fgoalattain和fminimax 1 线性规划数学模型 数学模型形式 minfTXs t AX b 线性不等式约束条件 AeqX beq 线性等式约束条件 lb X ub 边界约束条件 常用的简化模型 minfTXs t AX b 线性不等式约束条件 数学模型形式 s t AX b 线性不等式约束条件 AeqX beq 线性等式约束条件 lb X ub 边界约束条件 2 二次规划问题数学模型 二次函数 目标函数 1 数学模型形式 minf X s t AX b 线性不等式约束 AeqX beq 线性等式约束 C X 0 非线性不等式约束条件 Ceq X 0 非线性等式约束 Lb X Ub 边界约束条件 约束条件 3 无约束非线性规划数学模型形式 minf X 例1 求解二维无约束优化问题f x x14 3x12 x22 2x1 2x2 2x12x2 6 的极小值 例2 求解二维无约束优化问题min 例13求在0 x 8中的最小值与最大值 数学模型形式 minf X 函数为f x 非线性函数 s t AX b 线性不等式约束 AeqX beq 线性等式约束 C X 0 非线性不等式约束条件 Ceq X 0 非线性等式约束 Lb X Ub 边界约束条件 约束条件 4 约束线性规划 3 1matlab优化函数 二 一般步骤 建立目标函数文件 针对具体工程问题建立优化设计的数学模型 不等式约束条件表示成g X 0的形式 建立调用优化工具函数的命令文件 文件内容 必须的输入参数 描述标函数表达式等存储 以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中 建立约束函数文件 文件内容 必须的输入参数 约束函数表达式等存储 以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中 将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解 分析优化设计的数学模型 选择适用的优化工具函数文件内容 初始点 设计变量的边界约束条件 运算结果输出等内容存储 以自定义的命令文件名存储于文件夹中 小例 求解二维无约束优化问题min 解 首先编制目标函数functionf li3mubiao fminunc x a 64516 hd pi 180 f a x 1 x 1 tan x 2 hd 2 x 1 sin x 2 hd 注意 保存时 要使保存的文件名与函数名一致再编制主函数x0 25 45 x fminunc fminunc li3mubiao fminunc x0 保存后运行得到优化结果 x 192 995860 0005fminunc 668 5656 9 2线性规划问题 一 线性规划数学模型 1 主要应用对象 1 在有限的资源条件下完成最多的任务 2 如何统筹任务以使用最少资源 2 数学模型形式 minfTXs t AX b 线性不等式约束条件 AeqX beq 线性等式约束条件 lb X ub 边界约束条件 约束条件 决策变量 目标函数 非负数 线性 3 MATLAB中函数调用格式 xopt fopt linprog f A b Aeq beq lb ub x0 options 最优解 最优值 目标函数各维变量系数向量 初始点 可选项 二 例题 生产规划问题 某厂利用a b c三种原料生产A B C三种产品 已知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的利润 以及可利用的数量 试制定适当的生产规划使得该工厂的总利润最大 x1 x2 x3 2x1 4x2 3x3 3x1 4x2 2x3 2x1 x1 x2 3x2 2x3 2x3 3 确定约束条件 X x1 x2 x3 T 4 编制线性规划计算的M文件f 2 4 3 A 3 4 2 2 1 2 1 3 2 b 600 400 800 Aeq beq lb zeros 3 1 xopt fopt linprog f A b Aeq beq lb 二 例题 解 1 确定决策变量 max2x1 4x2 3x3 3x1 4x2 2x3 600 2x1 x2 2x3 400 x1 3x2 2x3 800 设生产A B C三种产品的数量分别是x1 x2 x3 决策变量 根据三种单位产品的利润情况 按照实现总的利润最大化 建立关于决策变量的函数 2 建立目标函数 根据三种资料数量限制 建立三个线性不等式约束条件 5 M文件运行结果 Optimizationterminatedsuccessfully xopt 0 000066 6667166 6667fopt 766 6667 x1 x2 x3 0 xopt fopt linprog f A b Aeq beq lb ub x0 options Linprog函数使用的拓展 求解线性规划 线性规划是一种优化方法 Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解 解 编写M文件小xxgh1 m如下 c 0 4 0 28 0 32 0 72 0 64 0 6 A 0 010 010 010 030 030 03 0 02000 0500 00 02000 050 000 03000 08 b 850 700 100 900 Aeq beq vlb 0 0 0 0 0 0 vub x fval linprog c A b Aeq beq vlb vub 解 编写M文件xxgh2 m如下 c 634 A 010 b 50 Aeq 111 beq 120 vlb 30 0 20 vub x fval linprog c A b Aeq beq vlb vub 9 3二次规划问题 1 研究意义 1 最简单的非线性规划问题 2 求解方法比较成熟 2 数学模型形式 s t AX b 线性不等式约束条件 AeqX beq 线性等式约束条件 lb X ub 边界约束条件 一 二次规划问题数学模型 约束条件 决策变量 目标函数 二次函数 3 MATLAB中函数调用格式 xopt fopt quadprog H C A b Aeq beq lb ub x0 options 最优解 最优值 目标函数的海赛矩阵 初始点 可选项 目标函数的一次项系数向量 结果xopt 2 571 1 143 0 000 fopt 16 4898 二 例题 求解约束优化问题 s t 解 1 将目标函数写成二次函数的形式 其中 xopt fopt quadprog H C A b Aeq beq lb ub x0 options 2 编写求解二次规划的M文件 H 4 2 0 2 4 0 0 0 2 C 0 0 1 A 1 3 2 b 6 Aeq 2 1 1 beq 4 lb zeros 3 1 xopt fopt quadprig H C A b Aeq beq lb 例2minf x1 x2 2x1 6x2 x1 2 2x1 x2 2 x2 2s t x1 x2 2 x1 2x2 2x1 0 x2 01 写成标准形式 s t 2 输入命令 H 2 2 24 c 2 6 A 11 12 b 2 2 Aeq beq VLB 0 0 VUB x z quadprog H c A b Aeq beq VLB VUB 3 运算结果为 x 0 66671 3333z 8 2222 程序 编写M文件mainG m如下 H 1 1 12 f 2 6 A 11 12 b 2 2 Aeq beq lb 0 0 ub X fval exitflag quadprog H f A b Aeq beq lb ub 结果 X 0 66671 3333fval 8 2222exitflag 1 程序 编写M文件mainG m如下 H 2 2 24 f 4 12 A 11 12 21 b 2 2 3 lb zeros 2 1 x fval exitflag quadprog H f A b lb 结果 x 0 66671 3333fval 16 4444exitflag 1 9 4无约束非线性规划问题 无约束非线性规划问题的MATLAB函数有 fminbnd 要求目标函数为连续函数 只求解单变量问题 fminunc 可求解单变量和多变量问题 适用于简单优化问题 可求解复杂优化问题 fminsearch 三个函数 fminbnd fminunc fminsearch 三个都是解无约束非线性规划问题三者有相同点与不同点 1 Fminbnd是解单变量无约束非线性规划问题Fminunc和fminsearch可用于求解单变量或多变量的无约束非线性规划问题 2 fminbnd和fminunc要求目标函数为连续函数 3 fminbnd和fminsearch的优化算法比较简单 适用于比较简单无约束非线性规划问题 函数fminunc的优化算法较复杂 适用于求解比较复杂的优化问题 4 这三个函数只能输出局部最优解 1 使用格式 xopt fopt fminbnd fun x1 x2 options 9 4 1函数fminbnd 设置优化选项参数 迭代搜索区间 目标函数 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解 2 例题 求解一维无约束优化问题f x x3 cosx xlogx ex 在区间 0 1 中的极小值 解 1 编制求解优化问题的M文件 求解一维优化问题fun inline x 3 cos x x log x exp x x 目标函数x1 0 x2 1 搜索区间 xopt fopt fminbnd fun x1 x2 2 编制一维函数图形的M文件 ezplot fun 0 10 title x 3 cosx xlogx e x gridon 9 4 1函数fminbnd 运行结果 xopt 0 5223fopt 0 3974 3 2简单实例例1 函数fminbnd实例 求解一维无约束优化问题f x x 1 x 2 2在区间 0 1 中的极小值 解 编制求解的M文件fun inline x 1 x 2 2 x x1 0 x2 1 xopt fopt fminbnd fun x1 x2 优化的结果 xopt 0 9999fopt 2 0002 1 使用格式 xopt fopt fminsearch fun x0 options 9 4 2函数fminsearch 设置优化选项参数 初始点 目标函数 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解 2 例题 求解二维无约束优化问题f x x14 3x12 x22 2x1 2x2 2x12x2 6 的极小值 解 1 编制求解二维无约束优化问题的M文件 求解二维优化问题fun x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6 x0 0 0 初始点 xopt fopt fminsearch fun x0 2 讨论 将目标函数写成函数文件的形式 目标函数文件search mfunctionf search x f x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6 则命令文件变为 命令文件名称为eg9 4 mx0 0 0 初始点 xopt fopt fminsearch search x0 9 4 2函数fminsearch 运行结果 xopt 1 00002 0000fopt 4 0000 fun x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6 x0 0 0 xopt fopt fminsearch fun x0 优化结果xopt 1 00002 0000fopt 4 0000 讨论 目标文件的表达方式 f x x14 3x12 x22 2x1 2x2 2x12x2 6 1 字符串表示fun x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6 调用 xopt fopt fminsearch fun x0 2 内联函数表示fun inline x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6 x 调用 xopt fopt fminsearch fun x0 3 函数句柄 表示fun x x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6调用 xopt fopt fminsearch fun x0 4 M文件表示 目标函数比较复杂时需要用M文件进行表示 functionf fun x f x 1 4 3 x 1 2 x 2 2 2 x 2 2 x 1 2 x 2 6调用 xopt fopt fminsearch fun x0 或 xopt fopt fminsearch fun x0 1 使用格式 x fval exitflag output grad hessian fminunc fun x0 options P1 P2 9 4 3函数fminunc 设置优化选项参数 初始点 调用目标函数的函数文件名 目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解 附加参数 matlab解多元函数无约束优化问题 fminsearch是用单纯形法寻优 fminunc的算法见以下几点说明 使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解 3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法 由options中参数LineSearchType控制 LineSearchType quadcubic 缺省值 混合的二次和三次多项式插值 LineSearchType cubicpoly 三次多项式插值 说明 1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法 由options中的参数LargeScale控制 LargeScale on 默认值 使用大型算法LargeScale off 默认值 使用中型算法 2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了3种算法 由options中的参数HessUpdate控制 HessUpdate bfgs 默认值 拟牛顿法的BFGS公式 HessUpdate dfp 拟牛顿法的DFP公式 HessUpdate steepdesc 最速下降法 例1minf x 4x12 2x22 4x1x2 2x2 1 ex1 1 编写M 文件fun m functionf fun x f exp x 1 4 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 2 2 x 2 1 2 输入M文件wliti m如下 x0 1 1 x fminunc fun x0 y fun x 3 运行结果 x 0 5000 1 0000y 1 3029e 10 用fminsearch函数求解 输入命令 f 100 x 2 x 1 2 2 1 x 1 2 x fval exitflag output fminsearch f 1 22 运行结果 x 1 00001 0000fval 1 9151e 010exitflag 1output iterations 108funcCount 202algorithm Nelder Meadsimplexdirectsearch 4 用fminunc函数 1 建立M 文件fun2 mfunctionf fun2 x f 100 x 2 x 1 2 2 1 x 1 2 2 简单计算 x fval exitflag output fminunc fun2 1 22 3 比较各种算法主程序compare m 基本假设 1 价格与销量成线性关系 2 成本与产量成负指数关系 模型建立 若根据大量的统计数据 求出系数b1 100 a11 1 a12 0 1 b2 280 a21 0 2 a22 2 r1 30 1 0 015 c1 20 r2 100 2 0 02 c2 30 则问题转化为无约束优化问题 求甲 乙两个牌号的产量x1 x2 使总利润z最大 为简化模型 先忽略成本 并令a12 0 a21 0 问题转化为求 z1 b1 a11x1 x1 b2 a22x2 x2的极值 显然其解为x1 b1 2a11 50 x2 b2 2a22 70 我们把它作为原问题的初始值 总利润为 z x1 x2 p1 q1 x1 p2 q2 x2 模型求解 1 建立M 文件fun m functionf fun x y1 100 x 1 0 1 x 2 30 exp 0 015 x 1 20 x 1 y2 280 0 2 x 1 2 x 2 100 exp 0 02 x 2 30 x 2 f y1 y2 2 输入命令 x0 50 70 x fminunc fun x0 z fun x 3 计算结果 x 23 9025 62 4977 z 6 4135e 003即甲的产量为23 9025 乙的产量为62 4977 最大利润为6413 5 9 5约束非线性规划问题 1 数学模型形式 minf X s t AX b 线性不等式约束 AeqX beq 线性等式约束 C X 0 非线性不等式约束条件 Ceq X 0 非线性等式约束 Lb X Ub 边界约束条件 约束条件 2 使用格式 x fval exitflag output grad hessian fmincon fun x0 A b Aeq beq Lb Ub Nlc options P1 P2 设置优化选项参数 初始点 调用目标函数的函数文件名 目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解 附加参数 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵 线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵 无定义时以空矩阵符号 代替 说明 fmincon求多变量有约束非线性函数的最小值 该函数常用于有约束非线性优化问题 x fmincon fun x0 A b 给定初值x0 求解fun函数的最小值点x fun函数的约束条件为A x b x0可以是标量 向量或矩阵 x fmincon fun x0 A b Aeq beq 最小化fun函数 约束条件为A x b和Aeq x beq 若没有不等式存在 则设置A b x fmincon fun x0 A b Aeq beq lb ub 定义设计变量x的下界lb和上界ub 使得lb x ub 若无等式存在 则令Aeq beq x fmincon fun x0 A b Aeq beq lb ub nonlcon 在上面的基础上 在nonlcon参数中提供非线性不等式c x 或等式ceq x fmincon函数要求c x 0且ceq x 0 当无边界存在时 令lb 和 或 ub nonlcon参数该参数计算非线性不等式约束c x 0和非线性等式约束ceq x 0 nonlcon参数是一个包含函数名的字符串 该函数可以是M文件 内部文件或MEX文件 它要求输入一个向量x 返回两个变量 解x处的非线性不等式向量c和非线性等式向量ceq 例如 若nonlcon mycon 则M文件mycon m具有下面的形式 function c ceq mycon x c 计算x处的非线性不等式ceq 计算x处的非线性等式 两个约束条件都是线性的 在Matlab中实现 x0 10 10 10 A 1 2 2 122 b 0 72 x fval fmincon x 1 x 2 x 3 x0 A b x 24 000012 000012 0000fval 3456线性不等式约束条件的值 A x bans 720 x 5 00005 00005 0000fval 125 0000exitflag 1output iterations 7funcCount 38stepsize 1algorithm medium scale SQP Quasi Newton line search firstorderopt cgiterations 问题的解为x 1 x 2 x 3 5 0000m 最大体积为125 0000m3 exitflag 1 表示过程成功收敛于解x处 output输出变量显示了收敛过程中的迭代次数 目标函数计算次数 步长 算法等信息 x 0 65890 8682fval 6 6131问题的解为x 1 0 6589 x 2 0 8682 最小值为 6 6131 解 约束条件是线性约束 在Matlab中实现 x0 0 A 1 b 2 x fval fmincon 1 3 x 1 3 x0 A b x 2fval 0 3333 9 6多目标优化问题 9 6 1函数fgoalattain minvs t fi X wiv goalii 1 2 tAX b 线性不等式约束 AeqX beq 线性等式约束 C X 0 非线性不等式约束条件 Ceq X 0 非线性等式约束 Lb X Ub 边界约束条件 一 多目标优化问题数学模型 标量变量 各分目标函数 分目标函数的权重 各分目标函数的目标值 二 优化函数使用格式 x fval exitflag output grad hessian fgoalattain fun x0 goal w A b Aeq beq Lb Ub Nlc options P1 P2 设置优化选项参数 各分目标权重 各分目标期望值 目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解 附加参数 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵 线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵 无定义时以空矩阵符号 代替 9 6 1函数fgoalattain 初始点 目标函数文件名 格式 x fgoalattain fun x0 goal weight x fgoalattain fun x0 goal weight A b x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub nonlcon x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub nonlcon options x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub nonlcon options P1 P2 x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub nonlcon 说明 fgoalattain求解多目标达到问题 x fgoalattain fun x0 goal weight 试图通过变化x来使目标函数fun达到goal指定的目标 初值为x0 weight参数指定权重 x fgoalattain fun x0 goal weight A b 求解目标达到问题 约束条件为线性不等式A x b x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq 求解目标达到问题 除提供上面的线性不等式外 还提供线性等式Aeq x beq 当没有不等式存在时 设置A 和b x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub 为设计变量x定义下界lb和上界ub集合 这样始终有lb x ub x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub nonlcon 将目标达到问题归结为nonlcon参数定义的非线性不等式c x 或非线性等式ceq x fgoalattain优化的约束条件为c x 0和ceq x 0 若不存在边界 设置lb 和 或 ub x fgoalattain fun x0 goal weight A b Aeq beq lb ub nonlcon options 用opti