数学建模选修课论文.doc

桥梁的稳定性分析目录一、摘要二、关键字三、问题重述四、问题分析五、相关假设六、相关符号的含义七、模型的建立与求解 ()从长度方向上考虑 ()从宽度方向考虑 ()小结八、具体数据的计算九、模型优缺点分析十、附录十一、参考文献一、摘要本文分析的是无桥墩的水平桥模型，本文大胆将无桥墩的水平桥模型简化为简支梁形式，通过计算水平桥的最大弯矩、最大应力、最大挠度，对桥进行两类分析：一类是通过最大应力小于许用应力的1.05倍来限制车辆的最大重量；另一种是通过常规的车辆的最大重量来设计桥的许用应力。本文主要是理论分析，但同时也有实例计算，本文同时还对模型进行了优缺点的分析。二、关键字弯矩 挠度 许用应力 刚度 三、问题重述在建筑和机械设备中，经常看到用横梁来支撑物体或搬运物体。请就水平桥或机械臂，建立受力的数学模型，分析其稳定性。四、问题分析水平桥要稳定，首先应满足刚度条件，即水平桥的变形量应满足国家规定值，否则桥达不到稳定的条件，在满足刚度条件的情况下，还应满足强度条件，即最大应力不能大于许用应力的1.05倍，如果最大应力大于许用应力的1.05倍，水平桥可能发生破坏，根据这条规则，可以来限制车重，也可以用可能的最大车重来设计桥的许用应力；本文中主要运用材料力学、结构力学的相关知识来分析无桥墩的水平桥的情况。五、 相关假设1. 假设桥中材料是各向同性的。2. 假设桥上的伸缩缝对桥的受力是不影响的。3. 假设车辆在桥上行驶时等价于一个移动的集中荷载作用在水平桥上。4. 假设桥上车辆的重量是相等的，且长度也是相同的。5. 假设每条车道上在横向上只能通过一辆车。六、 相关符号的含义 桥的总长 桥的宽度 桥的高度 桥的许用应力 桥的最大应力 桥中某截面的弯矩 桥的密度 桥度某处的挠度 车辆之间行驶的最小距离 车辆的重量 车辆的长度 水平桥上的车道数 每条车道上车辆数的最大值 水平桥上的最大弯矩 弯曲截面系数 惯性矩七、 模型的建立与求解 水平桥每条车道上车辆数的最大值 =()从长度方向上考虑(1) 求在单位荷载=作用下中点的弯矩的影响线设任一时刻，单位移动荷载距A点CAB为 。当 时，C截面处的弯矩： 当 时，C截面处的弯矩： 所以，C截面处弯矩的影响线如图所示M的影响线ACB (2) 找最不利位置(i) 单考虑移动荷载作用下有结构力学知识知：如果移动荷载是一组集中荷载，则最不利位置时，必须有一个集中荷载作用在影响线的顶点。所以，当达到最不利位置时，车辆成以C处为对称轴的对称分布，且C处有车辆，此时，水平桥上的最大弯矩：当为奇数时，当为偶数时，BA(ii) 单考自重作用下CC点处的弯矩为： 综合（i）（ii）得：C点处的弯矩为：当n为奇数时，当n为偶数时，（3）求中点C处的挠度（i）单考虑移动荷载作用下 CA5A3OAA1A2A4A6xO点为A5、A4之间的某点，设OA5为x当n=1或2时，截面O处的弯矩为： （C1C2为可确定的常数）当时，当n为奇数时，O截面处的弯矩 当n为偶数时O截面处的弯矩为：（ii）考虑单自重作用下BA 所以：当n为奇数时， 当n为偶数时, (4)分析桥的稳定性(i)根据最大弯矩设计桥当n为奇数时，最大应力 所以，许用应力 刚度当n为偶数时，最大应力 所以，许用应力刚度 (iii) 根据许用应力和来限制车重当n为奇数时，当n为偶数时，()从宽度方向考虑显然，车道数a为偶数BA与从长度方向考虑一样b(1)中点D的弯矩的影响线如图D(2)求最大弯矩在宽度方向的最大弯矩(3) 由于长度Lb，所以，宽度方向中点处的挠度小于长度方向中点处的挠度，所以，不必考虑宽度方向的挠度。(4) 根据最大弯矩设计许用应力最大应力： (5) 根据许用应力限制车重 .小结a) 根据最大弯矩设计许用应力在根据最大弯矩设计许用应力时，应先在满足刚度条件下进行的即：当n为奇数时 ，当n为偶数时， 八、具体数值计算符号数值10m3m3540Mpa0.5m符号数值1.530KN22000/m320Gpa9.81m/s2() 从长度方向考虑(1) 求最大弯矩算得最大弯矩是(2) 求中点C处的挠度A、 B支座处的支座反力 求距A点x处的挠度当时， 当m时， 当时， 当 时， 当时， 当时， 由条件： 在没考虑自重的情况下， 在自重情况下，C点的挠度： C点的挠度： 刚度 符合刚度条件。（3）分析桥的稳定性（i）根据最大弯矩设计桥最大应力 许用应力25.14（ii）根据许用应力限制车重 （）从长度方向上考虑（1）求最大弯矩算的最大弯矩3.55（2）根据最大弯矩设计桥最大应力 （3）根据许用应力限制车重 （）总结（1） 根据最大弯矩设计桥（2） 根据许用应力限制车重 在满足刚度条件的前提下， =九、模型优缺点分析 优点：（1） 本文将水平桥简化为简支梁的形式，方法用的是材料力学、结构力学的常用方法，比较简单、直观。（2） 建模的方法和思想对其它类似的问题也适用，当遇到类似的问题时，仅需改变模型中的某些参数就可做类似讨论。缺点：（1） 模型中没有考虑水平桥的人行道，同时也没有考虑车辆与桥的总重量对支座的影响，这使得计算结果有一定的误差。（2） 由于假设条件比较严格，因而具体数据计算时用到的某些数据很难得到，从而使得模型可能得到一些不大理想的结果。十、附录（1）用C程序计算长度方向的最大弯矩。#include stdio.hmain()int i;float g=9.81,t,M, L=10,G=30000,p=2000,H=0.35,s=0.5,l=1.5;for(i=1;i=2;i+)t=(L-2*i*(s+l)/L);printf(%fn,t);M=1.0/4*G*L+1.0/2*G*L*t+1.0/8*p*g*H*L*L;printf(%fn,M);（2）用C程序计算宽度方向的最大弯矩。#include stdio.hmain()int i=1;float g=9.81,t,M, L=10,G=30000,p=2000,H=0.35,a=2,b=3;t=(L-b*i/(2*a)/L;printf(%fn,t);M=G*t+1.0/8*p*g*H*b*b;printf(%fn,M);（3） 计算、的值。#include #include #include #include #define N 11main()int i,j,k,s;float aNN=0,LNN=0,UNN=0,sigma1,sigma2,bN,yN,xN;for(i=0;iN;i+)Lii=1;for(i=0;iN;i+)printf(请输入矩阵第%d行元素：n,i+1);for(j=0;jN;j+)scanf(%f,&aij);for(i=0;iN;i+)U0i=a0i;Li0=ai0/U00;for(k=1;kN;k+)for(j=k;jN;j+)sigma1=0;for(s=0;s=k-1;s+)sigma1+=Lks*Usj;Ukj=akj-sigma1;for(i=k;iN;i+)sigma2=0;for(s=0;s=k-1;s+)sigma2+=Lis*Usk;Lik=(aik-sigma2)/Ukk;printf(a矩阵为：n);for(i=0;iN;i+)for(j=0;jN;j+)printf(%5.1f ,aij);printf(n);printf(L矩阵为：n);for(i=0;iN;i+)for(j=0;jN;j+)printf(%5.1f ,Lij);printf(n);printf(U矩阵为：n);for(i=0;iN;i+)for(j=0;jN;j+)printf(%5.1f ,Uij);printf(n);printf(请输入b矩阵n,i+1);for(i=0;iN;i+)scanf(%f,&bi);for(i=0;iN;i+)sigma1=0;for(k=0;k=0;i-)sigma2=0;for(k=i+1;k