3.5 函数的实际应用.ppt

数学学案基础模块 上册 3 5函数的实际应用 一 学法指导函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 研究变量之间依赖关系的有效工具 利用函数模型可以处理生产 生活中的许多实际问题 在学习中要尽量做到 1 自主或小组合作预习教材P58 P60的内容 2 本学时的重点是培养应用函数知识分析 解决问题的能力 难点是根据图表信息建立函数关系式 3 学习时要正确理解题意 善于转化问题 建立常规的数学模型进行分析 培养转化思想和数形结合的能力 第一学时 二 课堂探究 1 探究问题 探究1 研究表明 当钾肥和磷肥的施用量一定时 土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系 1 上表反映了哪两个变量之间的函数关系 请指出其中的自变量 因变量及函数的定义域和值域 2 当氮肥的施用量是101kg hm2时 土豆的产量是多少 如果不施用氮肥呢 3 根据表格中的数据 说明氮肥的施用量为多少比较合适 4 简要说明氮肥的施用量对土豆的影响 答案 1 上表反映了土豆的产量 单位 t hm2 和氮肥的施用量 单位 kg hm2 两个变量之间的函数关系 氮肥的施用量 单位 kg hm2 是自变量 土豆的产量 单位 t hm2 是因变量 函数的定义域是 0 471 和值域 15 2 43 5 2 当氮肥的施用量是101kg hm2时 土豆的产量是32 3t hm2 不施用氮肥的产量为15 2t hm2 3 根据表格中的数据 说明氮肥的施用量为336kg hm2 4 土豆的产量先随着氮肥施用量的增加而增加 当氮肥施用量为336kg hm2时土豆的产量达到一个最大值43 5t hm2后 土豆的产量又随着氮肥施用量的减少而减少 探究2 一辆客车在运营过程中会与很多 数量 发生关系 比如车辆行驶的速度 时间 路程 耗费的油量 乘客的数量 乘车的票价 车主收取的票额 车辆行驶过程中缴纳的过路费 加油的数量 费用 加油站储油罐的体积 储油罐中的油量 等等 请你寻找上述数量之间可能存在的函数关系 选择适当的方法表示它们 并与同伴交流 2 知识链接 图表信息题是通过图象 图形或表格等形式给出信息的一种题型 主要有 1 函数类图表信息题 函数图象能反映函数定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 特殊点 交点 边界点 最值点 等性态 在解答时应从这些方面加以分析 充分应用图象信息 并注意与方程 不等式联系起来正确求解 2 非函数类图形信息题 图形具有多样性直观化的特征 图形信息题是一类极富思考性 挑战性和趣味性的问题 充分挖掘图形内涵 全方位审视图形 全面掌握图形所提供的信息 是解决此类图形信息题的关键 3 表格信息题 表格能集中给出解题信息 简洁明了 理解表中内容 根据数据特征找出数量之间的规律 进行计算或推理 是解表格信息题的关键 4 条形图形信息题 随着新教材增加了 概率统计 条形图形在问题中出现的机会也增多了 条形图形能直观反映各种数据信息的统计 具有可比较性 规律性 理解图形内容 找出变化趋势和规律 是解答条形图形信息题的关键 3 拓展练习例1一辆汽车从甲地出发驶往乙地 稍事休息后又返回甲地 下图表示了该车的行驶过程 其中 x表示车辆的行驶时间 y表示车辆与甲地之间的距离 根据图象提供的信息回答下列问题 1 乙地距离甲地多远 该车从甲地到乙地花了多少时间 2 图中的AB段表示了什么信息 3 该车从甲地驶往乙地的速度与从乙地返回甲地的速度相比 哪个更快 答案 由题目给出的信息和图象可知 OA段表示该车从甲地驶往乙地的过程 而线段BC表示该车从乙地返回甲地的过程 所以 1 点A的纵坐标200 km 即为甲地到乙地的距离 它的横坐标2 h 即为车辆行驶的时间 即甲地据乙地200km 该车从甲地到乙地花了2h 2 图中的A B两点的纵坐标相同 结合题目已知信息可知 该车在乙地停了1h 3 点C的横坐标5 5表示车辆从甲地出发 到达乙地后又回到甲地共花了5 5h 结合 1 2 的结果可知 从乙地返回甲地共花了5 5 2 2 2 5 h 因此 从甲地驶往乙地的速度更快 例2如下图是某种新药在实验药效时得到每毫升血液中含药量 即药效 y g mL 随着服药后时间x h 变化的图象 根据图象提供的信息回答下列问题 1 服药后药效的上升速度与衰减速度哪个大 2 服药后什么时间药效最大 3 此药的效果最长可以保持大约多少时间 答案 1 由此图象可知 在折线的上升过程中 平均每小时上升量为7 而在折线的下降过程中 平均每小时下降量为7 5 所以药效的上升速度大于衰减速度 2 由图象可知 折线上点的坐标在x 1时所对应的y值最大 所以服药后1h药效最大 3 有图象可知 除原点外折线与x轴交点的横坐标约为6 2 所以 此药的效果最长可以保持约6 2小时 4 当堂训练 1 幸福村村办工厂今年前五个月生产某种产品的总量c 件 关于时间t 月 的函数图象如图3所示 则该厂对这种产品来说 A 1月至3月每月生产总量逐月增加 4 5两月每月生产总量逐月减少 B 1月至3月每月生产总量逐月增加 4 5两月每月生产总量与3月持平 C 1月至3月每月生产总量逐月增加 4 5两月均停止生产 D 1月至3月每月生产总量不变 4 5两月均停止生产 D 2 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物 若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如表 答案 能印该读物12800册 经过对上表中数据的探究 发现这种读物的投入y 元 是印数x 册 的一次函数 求这个一次函数的解析式 不要求写出的x取值范围 如果出版社投入成本48000元 那么能印该读物多少册 第二学时 一 学法指导 1 自主或小组合作预习教材P59的内容 2 本节课的重点是分段函数的概念 难点是分段函数的表示及其图象 3 本节内容的学习要善用分类思想 学会把定义域分成几段 在每一段用不同的解析式表示函数 同时要注意联系实际 结合生活实例构建数学模型进行分析 体现数学源于生活 又服务于生活 以此感受到数学就在我们身边 二 课堂探究1 探究问题 探究 某市为了增强居民的节水意识 规定每户居民每月用水若不超过5吨 按1元 吨收费 若超过5吨不超过10吨 则全部用水以2元 吨收费 若超过10吨 则全部用水以3元 吨收费 现用x 吨 表示某户居民的月用水量 y 元 表示该户居民应交水费 1 试写出y与x之间的函数关系 并作出它的函数图象 2 若该用户某月用了12 5吨水 则应付多少元水费 答案 1 2 y 3 12 5 37 5 元 2 知识链接 1 分段函数的概念 若在函数的定义域中 对于自变量的不同取值范围 以含有x的不同式子或常数来表示对应法则 则把这种函数叫做分段函数 2 分段函数是一个函数 而不是几个函数 为更好地理解分段函数 常采用作出函数图象的方法 以增强其直观性 3 求分段函数的函数值时 首先要确定自变量所在范围 再根据范围决定使用哪一段函数表达式计算函数值 3 拓展练习 例1已知 1 分别求f 2 f 2 f f 1 的值 2 画出函数f x 的图象 答案 1 f 2 2 1 1 f 2 2 1 1 f f 1 1 2 例2某地出租车计价标准如下 行驶路程在3km 含3km 收费9元 以后每行驶1km增加收费1 6元 若行驶总路程超过10km 则超过路程以每千米2 4元 1 列出旅客乘坐出租车行驶路程与应交付的大车费之间的函数关系 2 如果小明只有20元钱 他最多可以乘坐多少千米 答案 1 假设出租车行驶路程为x km 应交付的打车费用为y 元 由于出租车行驶路程不同时 车费单价不同 所以需要分段考虑 按照收费标准 我们可以得到下面的结论 当0 x 3时 y 9 当3 x 10时 y 9 1 6 x 3 1 6x 4 2 当x 10时 y 9 1 6 10 3 2 4 x 10 2 4x 3 8所以该函数关系可以统一为 2 如果小明身边只有20元钱 那么他在支付9元的起步价费用以后 还剩下11元 而11 1 6 6 875 所以他只能再坐约6 8km 即总共可以乘坐9 8km 4 当堂训练 1 某水果批发店 100kg内单价1元 kg 500kg内 100kg以上0 8元 kg 500kg及以上0 6元 kg 试写出批发xkg应付的钱数y 元 的函数的解析式 2 某商店规定 某种商品一次性购买10kg以下按零售价格50元 kg销售 若一次性购买量满10kg可打9折 若一次性购买量满20kg 可按40元 kg的更优惠价格供货 试写出支付金额y 元 与购买量x kg 之间的函数关系式 分别写出购买15kg和25kg应付的金额 答案 第三学时 一 学法指导 1 自主或小组合作预习教材P61 62的内容 2 从实例出发 体验用函数描述实际问题的价值 树立用数学的意识 3 在学习方式上 要先独立尝试后在进行研究 这样有利于应用数学的意识和阅读理解能力 建模能力 解决实际问题能力的培养 二 课堂探究1 探究问题 探究 在商品销售中 销售总金额 单价和销售量满足的关系式 例如一种商品共20件 采用网上集体议价的方式销售 规则是这样的 商品的单价随着定价量的增加而不断下降 直至底价 每件商品的价格x 元 与定购量n 件 的关系是x 100 50n 比方说 在规定时间内只定购一件 n 1 单价就是150元 而20件商品都被定购的话 n 20 单价就只有102 5元 1 你能写出该商品的销售总金额y 元 与销售件数n 件 的函数关系吗 2 购买12件时的销售总金额是多少呢 答案 1 2 1250 销售总金额 单价 销售量 2 知识链接 商品的销售总金额y是随着销售件数n的变化而变化的 在商品销售中 有n个基本的量 它们之间的关系是销售总金额 单价 销售量 例如 某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元 生产每台计算机的可变成本为3000元 每台计算机的售价为5000元 则 总成本与总产量的函数关系为 C 200 0 3x x N 单位成本与总产量的函数关系为 P 200 x 0 3 x N 销售收入与总产量的函数关系为 R 0 5x x N 利润与总产量的函数关系为 L R C 0 2x 200 x N 3 拓展练习 例1一家宾馆有客房200间 每间客房的租金为120元 天 近期每天都客满 鉴于市场需求较旺 宾馆欲提高租金 据分析 每间客房每天的租金每提高10元 客房出租数将减少8间 不考虑其他因素 宾馆将每间房每天的租金至少提高到多少 每天的总租金最高 求此时每天的总租金 答案 设租金提高x个10元 则客房出租数减少8x间 以y 元 表示一天的总租金 则 y 120 10 x 200 8x 80 x2 1040 x 24000当时 y取到最大值 但根据x的实际含义 只能在x取6或7 即宾馆将每间客房每天的租金至少提高到120 6 10 180元时 y取到最大值27360 例2某公司经销一种绿茶 每千克成本为50元 市场调查发现 在一段时间内 销售量w 千克 随销售单价x 元 千克 的变化而变化 具体关系式为 w 2x 240 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y 元 解答下列问题 1 求y与x的关系式 2 当x取何值时 y的值最大 3 如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元 千克 公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润 销售单价应定为多少元 答案 y x 50 w x 50 2x 240 2x2 340 x 12000 y与x的关系式为 y 2x2 340 x 12000 y 2x2 340 x 12000 2 x 85 2 2450 当x 85时 y的值最大 当y 2250时 可得方程 2 x 85 2 2450 2250 解这个方程 得x1 75 x2 95 根据题意 x2 95不合题意应舍去 当销售单价为75元时 可获得