圆的几个重要定理.doc

第二讲-圆的几个重要定理中考要求内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题知识点睛一、圆周角定理圆心角和圆周角 1 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 2 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等圆是平面几何中的一个重要内容由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中圆的基本性质有：直径所对的圆周角是直角同弧所对的圆周角相等经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组量都相等。三、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等如图，弦和交于内一点，则相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项重、难点教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想例题精讲一、圆周角定理【例1】 (08龙岩)如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_ 如图，的三个顶点都在上，则的半径为_ 【例2】 (年威海中考题)如图，是的直径，点，都在上，若，求 【例3】 (08年济宁改编)如图，四边形中，若，则_，_【例4】 如图，为的直径，是的弦，的延长线交于点，若，求的度数【例5】 (07重庆)已知，如图：为的直径，交于点，交于点，给出以下五个结论：，；劣弧是劣弧的倍；其中正确结论的序号是 【例6】 如图是半圆的直径，点在弧上，且平分，已知，求的长 【例7】 (08乌鲁木齐)如图所示的半圆中，是直径，且，则的值是_【例8】 (09河北)如下左图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，是小正方形顶点，的半径为，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于_ (09四川成都)如上右图，内接于，为的直径，那么_(09山东泰安)的半径为，是的一条弦，且，则弦所对圆周角的度数为_【例9】 如图，点是上的三点， 求证：平分； 过点作于点，交于点若，求的长【例10】 如图，是的直径，设，则_ 如图，是的直径，弦交于点，弦交于点，且若，则_ 已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是_ 【例11】 已知如图，的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例12】 如图所示在中，那么( ) 与的大小关系不能确定 【例13】 如图，过的直径上两点，分别作弦，若求证： ； 【例14】 已知是的弦，平分交于，弦交于，求证：平分【例15】 (2008年广州市数学中考试题)如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点、，且 求证： 分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点求证：平分三、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等如图，弦和交于内一点，则相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项【例16】 如下左图，在中，弦与相交于点，已知，那么 如下中图，在中，弦与半径相交于点，且，若，则的长为( )A B C D 如下右图，在中，为弦上一点，交于，那么( )A B CD【例17】 如图，圆的半径是，两点在圆上，点在圆内，求点到圆心的距离 【例18】 如图，正方形内接于，点在劣弧上，连结交于点若，则的值为_ 家庭作业【习题1】 (09浙江温州)如图，则弧所对圆周角的度数是（ ）A B C D 【习题2】 (08山西太原)如图，是O的直径，是O的弦，连接，若，则的度数为 CBDOA【习题3】 如图，将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于 A 60 B 90 C 120 D 150【习题4】 (09四川凉山)如图，是的外接圆，已知，则的大小为_【习题5】 (09四川南充)如图，是的直径，点在上，则_【习题6】 如图，AB为O的直径，AC交O于E点，BC交O于D点，CD=BD，C=70 现给出以下四个结论：A=45； AC=AB； ； 其中正确结论的序号是（ ）A BC D【习题7】 (07年枣庄中考题)如图，内接于，为的直径，则 . 【习题8】 如图，为的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是ABCD【习题9】 (08泰安)如图，在中，的度数为，是上一点，是 上不同的两点(不与两点重合)，则的度数为_【习题10】 如图，已知O的弦AB、CD相交于点，的