张量分析与材料应力张量习题解答.doc

练习题（金属所）1. 用下标符号证明：。2. 证明 3. 证明ijkklm =(dildjm-dimdjl) 4. 证明ijkikj=-6。5. 证明ijkmik=-2djm。6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。7. B为矢量，M为二阶张量，证明： (divM)B=div(MB)- (B )M 8. 设在P点的应力张量 s如下：求法线方向为的面上的正应力。9. 设在P点的应力张量 s如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交的。10. 位移场u在给定坐标系下的分量分别是：u1= -ax2+bx3，u2=ax1-cx3，u3= -bx2+cx3；其中a、b、c皆为常数。求这个位移场的应变张量G。11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以、和111为x1、x2和x3坐标轴的应力分量只有s13和s23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量sij。练习题解答（金属所）1. 用下标符号证明： 。解：2. 证明解：aij的行列式为当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有任意换列后有因此，任意行与行、列与列交换后有令aij=dij，detA=1,则有3. 证明ijkklm =(dildjm-dimdjl)解：根据上题的结果，有4. 证明ijkikj=-6解：ijkikj=-ijkkij=-(diidjj -dijdji)=-(33-dii)=-(9-3)=-65. 证明ijkmik=-2djm解：ijkmik=ijkkmi =(dimdji -diidjm)= (djm-3djm)=-2djm6证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。解：如果晶体具有中心对称，则必符合如下的对称变换：若此晶体有一物理性质M（张量），根据对称的定义，经对称变换后物质的性质不变。即按如上的对称变换进行坐标变换后，M仍然是M。即：mi1 i2in=(-1)indi1 j1di2 j2 din jnmj1 j2jn= mi1 i2in当M的阶数是偶次时，即(-1)in=1，上式mi1 i2in= Mi1 i2in，是正确的。当M的阶数是奇次时，即(-1)in=-1，上式mi1 i2in=-mi1 i2in。根据对称的要求，就有-mi1 i2in=mi1 i2in的关系，只有M=0才符合这样的关系，即不存在这种物理性质。7B为矢量，M为二阶张量，证明： (divM)B=div(MB)- (B)M 解：题给出的式子左端：(divM)B=(M)B=(ieimjkejek)blel=(mjk,idijek)blel=mjk,ibldijekel = mjk,ibldijdkl=mik,ibk题给出的式子右端：div(MB)- (B)M 第一项：div(MB)= (MB)= iei (mjkejekbmem)= iei (mjkbmejdkm)= iei (mjkbkej) =(mjkbm),i eiej=(mjkbk),idij=(mjkbk),j=mjk,jbk+ mjkbk,j第一项： (B ) M= (bijeiej)mklekel =bi,j mkl eiejekel= bi,jmkl(eiel)(ejek) = bi,jmkldildjk= bi,jmji右端两项之和为mjk,jbk+ mjkbk,j- bi,jmji= mjk,jbk。故题给出的式子的左右端相等。8. 设在P点的应力张量 s如下：求法线方向为的面上的应力矢量、正应力、切应力。解：法线方向为的单位矢量n=/3。 应力矢量为f(n)=ns=nisijej=(n1s11+ n2s21+ n3s31)e1+ (n1s12+ n2s22+ n3s32)e2+( n1s13+ n2s23+ n3s33)e3 = (22-11-21)/3e1+(-21+12+21)/3e2+(21-11-22)/3e3 =(1e1+2e2-3e3)/3 在法线方向为的面的正应力是snn=ns n=ninjsij= n1n1s11+ n1n2s12+ n1n3s13+ n2n1s21+ n2n2s22+ n2n3s23+ n3n1s31+ n3n2s32+ n3n3s33= (222-211-221-121+122+121-221+211+222)/9=10/9因为已知该面的应力矢量，也可以简单地作如下运算：snn=nf(n)=ni(f(n)i=(21)/33+(12)/33+(-2-3)33=10/9 在法线方向为的面的切应力st数值的平方应该等于应力矢量的模的平方减去正应力的平方：st= (f(n)2-(snn)21/2=(1e1+2e2-3e3) (1e1+2e2-3e3)/9-(10/9)21/2=0.566 9. 设在P点的应力张量 s如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交的。解：(1)知应变张量的本征方程是ns=ln。其主方向n不为0的充要条件是：即 式中 =sii=s11+ s22+ s33=7+7+7=21 =(siisjj-sijsji)/2=(s11s22+ s22 s33 +s33s11)/2-( s12s21+s23s32+ s31s13)/2 =(77+77+77)/2-(3)2+(0)2+(4)2/2=122=dets=168得 l3-21l2+122l-168=0解上面l的三次方程，得三个实根：l1=2；l2=7；l3=12。这三个实根就是三个主应力，即s1=2；s2=7；s3=12。(2)把三个根分别代入本征方程，求出主方向。l1=2时；求除第一个主方 向n(1)的各分量： 解方程得=-3/5；=1；=-4/5。即方向为。l1=7时；求除第二个主方 向n(2)的各分量： 解方程得=4；=0；=-3。即方向为。l1=12时；求除第三个主方 向n(3)的各分量： 解方程得=3/5；=1；=4/5。即方向为。 因 故三个主方向是相互垂直的。10. 位移场u在给定坐标系下的分量分别是：u1= -ax2+bx3，u2=ax1-cx3，u3= -bx2+cx3；其中a、b、c皆为常数。求这个位移场的应变张量G。解：应变张量G的分量eij=(uj,i+ui,j)/2。所以e11=u1,1=(-ax2+bx3),1=0e22=u2,2=(ax1-cx3),2=0e33=u3,3=(-bx2+cx3),3=ce12=(u2,1+u1,2)/2= (ax1-cx3),1+(-ax2+bx3),2/2=(a-a)/2=0e23=(u3,2+u2,3)/2= (-bx2+cx3),2+(ax1-cx3),2/2=(-b+0)/2=-b/2e31=(u1,3+u3,1)/2= (-ax2+bx3),3+(-bx2+cx3),2/2=(b-b)/2=0即 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？解：应变张量场必须符合应变连续方程：Lmn=mlknijeki,lj=0。对各项检验如下：L11=e22,33+e33,22-2e23,23=(12x22),33+(2x3),22-2(x2+1),23=0L22=e33,11+e11,33-2e13,13=(2x3),11+(6x1),22-2(6),23=0L33=e11,22+e22,33-2e12,12=(6x1),22+(12x22),33-2(2x1-2),12=0L23=(-e23,1+e31,2+e12,3),1-e11,23=-(x2+1),1+(6),2+(2x1-2),3,1-(6x1),23=0L31=(e23,1-e31,2+e12,3),2-e22,31=-(x2+1),1+(6),2+(2x1-2),3,2-(12x22),31=0L12=(e23,1+e31,2-e12,3),3-e33,23=-(x2+1),1+(6),2+(2x1-2),3,1-(2x3),12=0这个应变场符合应变连续方程，所以是合理的。12. 在立方晶体中承受一均匀