第14章 用图解法求解空间问题.ppt

第14章用图解法求解空间几何问题 提高篇 14 1图解法概述 14 3变换投影面法 14 4旋转法 绕投影面垂直轴旋转 14 5旋转法 绕投影面平行轴旋转 14 6斜投影法 14 7图解法在工程上的应用 14 2线面法 14 1图解法概述 一 图解法在工程中的地位和意义 研究在平面上用几何作图的手段解决空间几何问题的方法称为图解法 画法几何所提供的图解法 在科学技术活动中是解决空间问题的一种重要手段 它广泛应用于各个学科领域 诸如图解静力学 物理化学分析和空间机构理论等 图解法比计算法具有简便 迅速和明确显示形象的特点 但由于作图操作和仪器工具的限制 在精度要求上还具有一定的局限性 二 空间几何问题的分类 空间几何问题归纳起来大体分为定位问题和度量问题 定位问题包括点 线 面之间的从属关系问题 直线与平面的平行 垂直 相交问题及曲面的切平面问题 度量问题包括距离和角度问题 距离问题最基本的是点到点的距离 其实质是求线段的实长 其余所有有关距离的问题最终都可转化为两个点之间的距离 角度问题最基本的两直线的夹角 其它角度问题都可转化为两直线的夹角 B 两平行线的距离 两交叉线的距离 线面距离 面面距离 点到直线的距离 点到平面的距离 距离问题 两交叉直线夹角 直线对平面的倾角 两平面二面角 角度问题 三 常用的图解法 图解法分为 线面法和投影变换法 线面法 在原投影体系中利用点 线 面之间的关系及基本作图直接进行求解的方法 这是图解空间几何问题最基本的方法 投影变换法 通过改变空间几何元素和投影面之间的相对位置关系或是研究如何改变其投影方向两个途径 使之处于有利解题的位置 使问题得解得方法 投影变换的方法有换面法 旋转法和斜投影法 在工程实践及科学研究中 为了图解作图的方便 先把工程问题抽象为几何问题 然后根据问题的性质和它的具体条件和要求 确定解题的方法 最后将所求结果放到实际中去检验 14 2线面法 涉及到垂直问题时 注意直角投影定理的应用 涉及到实长问题时 注意直角三角形法的应用 一 距离和角度问题 例一 试求交叉直线AB和CD的公垂线 g g 例二 试求直线AB与三角形DEF平面的夹角 c A0 C c AC AB BC ZC1 例三 已知直线AB与 EFG平面的夹角为60 AB在 EFG上的正投影为AC 求作AB的两投影 二 综合性问题 图解空间几何问题的步骤 1 空间分析 分析给定的几何条件和待求解的空间逻辑关系 空间分析的方法有 轨迹分析法 根据题目给出的各已知条件逐个运用空间几何轨迹的概念 分析所求几何元素在已知条件下的空间几何轨迹 然后将这些在单个条件下的几何轨迹进行综合 显然这些几何轨迹的交集就同时满足各个条件 从而得出解题方案和解题步骤 逆推法 先假定题目所求的几何元素已经给出 反过来推出该元素所应具备的几何条件 然后进一步分析和确定这些几何条件与题目给出的已知条件之间所应建立的几何关系 从中得出解题方案和步骤 2 拟定解题方案 3 投影作图 4 投影作图 通过分析 得出解题方案和解题步骤 在拟定解题方案时 必须分清主次 概念清楚 条理分明 e f f e m m a b b a c c 作图步骤1 过点M作平面M 平行于已知平面ABC 2 求平面M 与已知直线EF的交点N 3 连接MN 例四 过点M作直线 使其与 ABC平行 且与直线EF相交 作图步骤1 过MN作平面MNG垂直于平面ABC 2 过点K作直线KL垂直于平面MNG 例五 过点K作直线KL与直线MN垂直 并与 ABC平行 f 例六 作一直线与两交叉直线AB和CD相交 同时与直线EF平行 f 例七 作一直线与两交叉直线AB和CD相交 且与H V面成 角 a a b b c c m n d m n d g g 作图步骤 1 过D作平面D122 求D12与MN交点F3 求DF的实长4 在dg上 取DE DF5 连接等腰三角形各条边 完成投影图 例八 已知等腰 的顶点 和一腰DE在直线DG上 另一腰 且点 在 上 试完成 的两面投影 一换面法的基本概念 1问题的提出 14 3变换投影面法 倾斜于投影面的直线和平面不能反映实形 若改变投影面和几何元素的相对位置关系 可使直线或平面反映实形 二 解决问题的基本思路 求直线AB的实长和与投影面的夹角 求直线CD的实长和与投影面的夹角 被保留的投影面 被替换的投影面 2 新投影面的设立必须对空间几何元素处于有利于解题的位置 即一般与几何元素平行或垂直 空间几何元素是相对的 保持元素之间的几何关系不变 改变投影面对几何元素的相对位置 使投影体系处于一种有利于图解位置的方法称为换面法 三 换面法的定义 四 换面法的基本原则 1 新投影面必须垂直于某一个基本 或被保留的 投影面 以构成新的投影体系 也就是每次只能置换一个投影面 1 点的新投影和被保留投影的连线垂直于新投影轴 2 点的新投影到新投影轴的距离等于点的被替换投影到旧投影轴的距离 五 换面法的规律 点的两次变换 一般位置直线变换为投影面平行线 一般位置直线变换为投影面垂直线 投影面平行线变换为投影面垂直线 一般位置平面变换为投影面垂直面 一般位置平面变换为投影面平行面 投影面垂直面变换为投影面平行面 六 投影变换的六个基本问题 一般位置直线变换为投影面平行线 投影面平行线变换为投影面垂直线 一般位置直线变为投影面垂直线 一般位置平面变换为投影面垂直面 X V C A c b a B a c b 投影面垂直面变换为投影面平行面 一般位置平面变换为投影面平行面 反映点C到直线AB的距离 X a b c a b c 例1 求点C到直线AB的距离 并作出垂线的投影 例2 求直线AB与CD间的距离 并作出过B点的垂线 反映两直线间距离 b 例3 求两直线AB与CD的公垂线并求公垂线的实长 a c b b a c s s 例4 求点S到平面ABC的距离 并作出垂线的投影 反映点S到平面的距离 a c b b a c e 例5 已知E到平面ABC的距离为N 求作过E点的垂线 例6 点E在平面ABC上 距离A B为15 求E点投影 例7 求直线与平面间的夹角 例8 已知 ABC底边BC的两面投影和BC边上高线的H投影方向 A 60 求ABC的两面投影 d a3 14 4旋转法 绕投影面垂直轴旋转 一 旋转法的基本概念 旋转法 保持投影面不动 使空间几何元素绕某一轴线旋转到有利于解题的位置 以便反映出它的形状 角度 距离等真实大小 旋转法的五要素 旋转点 旋转轴 旋转平面 旋转中心 旋转半径 二 点的旋转变换规律 点绕投影面垂直轴作旋转运动时 点的投影在垂直于轴线的投影面上作圆周运动 在另一投影面上 点的投影作与投影轴平行的直线运动 1 一般位置直线旋转为投影面平行线 3 一般位置直线旋转为投影面垂直线 2 投影面平行线旋转为投影面垂直线 4 一般位置平面旋转为投影面垂直面 6 一般位置平面旋转为投影面平行面 5 投影面垂直面旋转为投影面平行面 三 旋转变换的六个基本问题 1 一般位置直线旋转为投影面平行线 b1 b1 将一般位置直线旋转成水平线 求直线的实长和 角 将一般位置直线旋转成正平线 求直线的实长和 角 2 投影面平行线旋转为投影面垂直线 b1 a1 水平线旋转成正垂线 正平线旋转成铅垂线 a1 a1 a1 3 一般位置直线旋转为投影面垂直线 b1 b1 将一般位置直线旋转成正垂线 将一般位置直线旋转铅垂线 a2 a2 4 一般位置平面旋转为投影面垂直面 O X d d d1 b1 c1 a1 b1 a1 将一般位置平面旋转成正垂面 5 投影面垂直面旋转为投影面平行面 a1 将正垂面旋转成水平面 b1 c1 b1 c1 6 一般位置平面旋转为投影面平行面 O X d d d1 b1 c1 a1 b1 a1 将一般位置平面旋转成水平面 c2 a2 c2 a2 b2 四 不指明轴旋转法 当一个几何图形或物体绕垂直于投影面的轴旋转时 它在该投影面上的投影只改变位置 不改变形状和大小 而在另一投影面上 所有各点都平行于X轴的直线运动 因此在作图时可以不指明轴的具体位置 而将某一图形旋转到任意预定的位置 d b1 a1 b2 a2 c2 d 例1 求 ABC与 ABD的二面角 14 5旋转法 绕投影面平行轴旋转 一 绕投影面平行轴旋转的基本概念 c1 将空间几何元素绕投影面平行轴旋转 使其处于有利解题位置 将一般位置平面 ABC 绕其上的一条水平线可旋转为水平面 绕一条正平线可旋转为正平面 主要用于解决有关同一平面的问题 如求平面图形的实形 点到直线的距离 两相交直线的夹角 两平行直线的距离等 二 绕投影面平行轴旋转的规律 a1 s a1 s 例1 求相交两直线AB AC的夹角 s s a1 a1 A0 14 6斜投影法 一 斜投影的基本概念 ab 当直线或平面倾斜于投影面时 如果投影方向与直线或平面平行时 则直线或平面在投影面上的投影具有积聚性 采用不垂直于基本投影面的方向 把几何元素倾斜地投射到选定的投影面上 使所得投影有利于解题得方法称为斜投影法 二 几何元素在基本投影面上的斜投影 1 点的斜投影 A a a Av av av av aH av aH 一点的斜投影就是通过该点的投影线与投影面的交点 2 直线的斜投影 av bv 将直线按指定的投影方向投影 而投影的方向往往和直线平行 直线的投影积聚成一点 3 平面的斜投影 aH aV bV cV bV aV cV 选择平面内任一直线作为投影方向 则该平面图形在基本投影面上的斜投影必具有积聚性 例1 求侧平线AB与平