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学霸笔记 浙江省专升本 高等数学 复习全书 赵 伟 良 著 不懂事长 编 学霸笔记 高等数学 不懂事长的话 不懂事长的话不懂事长的话 专升本培训班流行一句话 上线靠数学 二本靠英语 主要是因为数学在专 升本考试中是提升最快的一门课程 经过赵伟良老师的 8 个多月的悉心辅导 小编从开始的 15 分考到 70 分 到 考前模拟的 99 分 到 4 月 15 号正式考试的 110 分 衷心感谢赵伟良老师上课时 候的学霸笔记 把学霸笔记从笔记形式做成 学霸笔记 主要是希望在浙江工 业职业技术学院的你在看到 学霸笔记 的后 可以通过自己的努力如愿以偿考 上自己理想的本科院校 学霸笔记是根据赵伟良老师给 2018 届专升本考生的上课笔记整理而成 符 合 浙江省普通专升本考试高等数学考试大纲 及本科教育对数学基础的基本要 求 含浙江省历年考试真题及经典题型 尽管小编在整理笔记的时候倾注的很多心血 在新增题型方面也做出了努力 但由于小编能力实在有限 笔记整理中难免有疏漏之处 请各位学弟学妹见谅 也希望学弟学妹可以对学霸笔记的完善提出宝贵的意见和建议 以便小编在第二 版学霸笔记中完善 不懂事长 2018 年 5 月 学霸笔记 高等数学 目录 目录目录 第 1 章 函数 极限与连续 3 1 1 函数的概念与性质 3 1 1 1 函数定义域的求法 3 1 1 2 函数的性质 4 1 1 3 反函数 6 1 1 4 基本初等函数 6 1 1 5 复合函数 7 1 1 6 初等函数 8 1 2 极限 9 1 2 1 数列的极限 9 1 2 2 函数的极限 9 1 2 3 极限的计算 9 1 2 4 无穷小与无穷大 14 1 3 连续 16 1 3 1 连续 16 1 3 2 间断点 16 1 3 3 闭区间上连续函数的性质 20 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 3 第第1 1章章 函数函数 极限与连续极限与连续 1 11 1 函数的概念与性质函数的概念与性质 1 1 11 1 1 函数定义域的求法函数定义域的求法 1 分母 0 2 偶次方根被开方数 0 3 对数 y log a 0 且 a 1 真数 x 0 4 反正弦arcsin 反余弦arccos 1或 1 x 1 5 正切 y tan 2 k z 正整数 余切 y cot 6 分段函数 各段函数的并集 例 1 求y log 2 arccos 5 1 3 的定义域 y log 2 arccos 5 1 3 2 0 2 0 1 5 1 3 1 2 0 3 5 1 3 2 5 4 2 2 2 5 4 5 2 5 0 1 1 4 2 0 1 0 2 2 D 1 0 0 2 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 4 例 3 y 1 1 1 1 1 的定义域 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 2 0 1 D 1 1 1 2 1 2 0 0 例 4 1 0 的定义域为 R 或 例 5 设 的定义域为 0 1 ln 1 则复合函数 的定义域为 2 例 6 设 的定义域为 0 2 则 的定义域为 则 2 的定义域为 2 1 1 21 1 2 函数函数的的性质性质 1 单调性单调性 1 2 1 0 2 2 则 单调递减 即 0 注意 1 复合函数 的单调性 同增异减 2 单调函数的反函数也是单调的 且单调性相同 2 奇偶性奇偶性 定义域关于原点对称 且 偶函数 关于 y 轴对称 0 s t M 则 在 I 上有界 例 sin 1 cos 1 arcsin 2 0 arccos arctan 2 0 arccot 1 则 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 8 1 1 61 1 6 初等函数初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算 加减乘除 及有限次复合 并且能用 一个式子表示的函数的函数 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 9 1 21 2 极限极限 1 2 11 2 1 数列的极限数列的极限 limn 或 1 2 21 2 2 函数的极限函数的极限 lim 或 1 2 31 2 3 极限的计算极限的计算 1 直接代入 直接代入 有意义 有意义 2 型 型 a 分解因式 约分 例 lim 1 2 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 2 b 有理化 例 lim 1 1 2 3 2 lim 1 1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 4 c 用第一重要极限公式 lim 0 sin 1 例 0 sin4 3 0 sin4 4 4 3 4 3 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 10 d 洛必达法则 lim lim lim 例 0 sin4 3 0 4cos4 3 4 3 e 用等价无穷小替换 sin tan arcsin arctan ln 1 1 1 cos 1 2 2 1 1 1 例 lim 0 1 sin lim 0 cos 1 洛必达法则 lim 0 1 等价无穷小 3 型型 a 分子分母同除以最快无穷大 例 1 3 2 4 2 2 1 3 4 2 1 2 3 2 例 2 3 4 10 2 3 10 2 5 1 1 5 0 b 利用结论 0 0 0 0 0 0 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 11 c 洛必达法则 lim lim lim 例 2 ln 2 1 im 2 2 4 0 型型 转化为 0 0 型 或 型 例 1 lim 0 ln lim 0 ln 1 0 1 1 2 lim 0 0 例 2 lim 0 cot 0 tan2 0 2sec22 1 2 例 3 lim 0 2 1 2 lim 0 1 2 1 2 lim 0 2 3 1 2 2 3 5 型型 转化为 0 0 型 或 型 通分或有理化 例 1 lim 1 1 1 1 2 1 lim 1 2 1 例 2 lim 2 2 2 2 2 lim 1 1 1 1 1 2 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 12 6 型型 a 利用第二重要极限公式 1 0 变形 lim 0 1 1 变形 lim 0 1 1 变形 lim 1 1 例 1 lim 0 1 4 3 2 lim 0 1 4 1 4 6 lim 0 1 4 1 6 6 例 2 lim 1 1 2 lim 1 2 1 2 lim 1 2 1 1 2 4 2 lim 1 2 1 1 2 4 lim 1 2 1 2 4 b 利用对数恒等式 1 ln1 ln1 0 转化为 0 0 型 或 型 例 lim 0 cos 1 lim 0 ln cos 1 lim 0 1 lncos lim 0 sin cos 0 7 型型 取对数恒等式的方法 见 6 b 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 13 8 利用无穷小的性质利用无穷小的性质 无穷小无穷小 有界函数有界函数 无穷小无穷小 lim 0 sin 1 lim sin 0 lim 0 1 sin 1 lim sin 1 1 lim 0 sin 1 0 lim sin 1 例 lim 1 1 sin 1 1 0 9 分段函数在分界点上的极限分段函数在分界点上的极限 讨论左右极限 例 设 sin 1 0 讨论lim 0 是否存在 sin 1 0 lim 0 0 1 0 lim 0 lim 0 1 1 lim 0 不存在 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 14 10 夹逼准则求极限夹逼准则求极限 设 且lim lim 则lim 例 求 lim 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 lim 2 lim 1 1 1 1 lim 2 1 lim 1 1 1 2 1 lim 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 41 2 4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1 定义定义 lim 0 0 则称 是当 0时的无穷小 0 则称 是当 0时的无穷大 2 无穷小的比较无穷小的比较 当 0时 都是无穷小 则 若lim 0 0 称 比 高阶无穷小 记 0 若lim 0 称 比 低阶无穷小 若lim 0 C 0 称 比 同阶无穷小 若lim 0 1 称 比 等价无穷小 记 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 15 3 定理定理 若 则lim 0 lim 0 注 常见的等价无穷小 当 0时 sin tan ln 1 1 arcsin arctan 1 cos 1 2 2 例 lim 0 arcsin4 3 lim 0 4 3 4 3 arcsin4 4 lim 0 tan sin 3 lim 0 tan 1 cos 3 lim 0 1 2 2 3 1 2 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 16 1 31 3 连续连续 1 3 11 3 1 连续连续 a 在在 外连续外连续 lim 0 lim 0 0 0 0 注 1 有意义 2 有极限 3 极限值 函数值 b 初等函数在定义域内连续初等函数在定义域内连续 c 分段分段函数除无意义的点外 还要讨论分界点处的连续性函数除无意义的点外 还要讨论分界点处的连续性 例 sin4 3 1 0 0 若 0处连续 求 的值 sin4 3 1 0 0 lim 0 lim 0 sin4 3 1 lim 0 4cos4 3 3 1 4 3 0 在 0处连续 lim 0 0 即4 3 1 1 3 21 3 2 间断点间断点 a 求法求法 初等函数 无定义的点 分段函数 讨论分界点处的连续性 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 17 b 分类分类 第一类间断点 0 0 都存在 0 0 可去间断点 0 0 跳跃间断点 第二类间断点 0 0 至少有一个存在 0 0 至少一个为 无穷间断点 0 0 没有一个为 振荡间断点 例 1 求y 1 2 2 3的间断点 并判断类型 y 1 2 2 3 由 2 2 3 得间断点 1 1 2 3 lim 1 1 2 2 3 lim 1 1 2 2 1 4 x 1 为第一类间断点且为可去间断点 lim 3 1 2 2 3 x 3 为第二类间断点且为无穷间断点 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 18 例 2 讨论 1 0 在 x 0 处的连续性 1 0 lim 0 lim 0 1 1 lim 0 lim 0 1 1 0 为第一类间断点且为跳跃间断点 例 3 函数 1 1 1 0 0 在 0处连续 求 A 1 1 1 0 0 lim 0 lim 0 1 1 1 1 在 0 处连续 lim 0 0 A 1 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 19 例 4 讨论 3 1 sin 1 1 1 3 2 2ln 1 在 1处的连续性 3 1 sin 1 1 0 在 0处连续 则 a 1 学霸笔记 高等数学 第 1 章 函数 极限与连续 2