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5 控制系统的频域分析 控制系统的频域分析法是以传递函数为基础的一种分析系统性能的图解方法 分析的基点是 给予线性定常系统不同频率下的三角函数输入 系统的稳态响应输出是相同频率的三角函数 仅是幅值和初相位不同 5 控制系统的频域分析 5 1基本概念 频域分析法是自动控制理论的重要方法 主要特点是 1 基于频率特性函数的系统建模和性能分析的物理意义明确 2 利用开环频率特性的图形分析方法 形象 直观 计算量少 3 适用于纯滞后系统和非线性系统的性能分析 频率响应 系统对谐波输入信号 即正弦输入信号 的稳态响应 也称为谐波响应 或三角函数响应 5 控制系统的频域分析 不失一般性 线性系统的频率响应可计算如下 系统传递函数 系统输入 系统输出 pi是系统极点 可见 在输入为正弦信号时 线性系统的稳态输出也为正弦信号 只是输出的幅值是输入幅值的 j 倍 输出的初相位 是输出相位 t 与输入相位 t 之差 于是 定义 5 控制系统的频域分析 频率特性函数 系统在正弦信号输入下 其稳态输出与输入之比的关于频率的复变函数 即 5 控制系统的频域分析 实际上 频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式 仍然是反映系统输入 输出之间关系的数学模型 频率特性函数是关于频率的复变函数 可以有三种表示方式 代数形式 指数形式 三角形式 实频特性函数 系统频率特性函数的实部 R 虚频特性函数 系统频率特性函数的虚部 I 5 控制系统的频域分析 幅频特性函数 系统频率特性的幅值函数 即 相频特性函数 系统频率特性的相位函数 即 系统幅频特性函数的物理意义是 系统在正弦函数输入下 稳态输出的幅值与输入幅值之比的关于频率的正实函数系统的相频特性函数的物理意义是 系统在正弦函数输入下 稳态输出的相位与输入相位之差的关于频率的实函数应当指出 频率特性函数不仅定义在正弦函数输入下 实际是定义在三角函数或谐波函数输入下 5 控制系统的频域分析 例题5 1 单位反馈系统的开环传递函数为 计算输入信号为 1 u t sin t 300 2 u t 2cos 2t 450 3 u t sin t 300 2cos 2t 450 时的稳态输出 反馈控制系统的闭环传递函数及其频率特性函数为 反馈控制系统幅频特性函数和相频特性函数为 5 控制系统的频域分析 对于正弦 余弦函数输入u t 系统的稳态输出y t 为 因此 1 u t sin t 300 时 即有 1 u t0 300 u t 1 2 u t 2cos 2t 450 时 即有 2 u t0 450 u t 2 3 u t sin t 300 2cos 2t 450 时 5 控制系统的频域分析 5 2系统频率特性函数的计算与表示 系统频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式 求取系统频率特性函数主要是计算其幅频特性函数和相频特性函数 1 令s j 由系统传递函数直接求取例题5 2 已知系统的传递函数为 计算其频 设s j 代入系统的传递函数中 有 率特性函数 幅频特性函数 相频特性函数 实频函数 虚频函数 5 控制系统的频域分析 2 由试验方法求取由于线性系统在正弦信号 谐波信号 输入下 稳态输出仍为正弦信号 谐波信号 且信号频率一致 只是信号幅值和相位有变化 因此 对于待求系统频率特性的装置 通过试验输入幅值 相位和频率已知的三角函数 测量其稳态输出 包括幅值 相位 不断的改变输入信号的频率 就会测量得到不同频率下的稳态输出 G j j 5 控制系统的频域分析 3 频率特性函数的图形表示频域分析法实际上是基于频率特性图的一种图形分析法 系统频率特性图主要有 极坐标图和对数坐标图 极坐标图 Nyquist图 极坐标图是频率变化 0 时 频率特性函数的向量 或实部 虚部 在复平面上描绘的图形 即 Re Im 因此 对于不同的频率 依据系统频率特性函数的幅值和相位 或实部和虚部 在复平面上逐点描绘就可绘出极坐标图 这项工作目前采用计算机辅助绘图方法很容易实现 极坐标图的规律是 5 控制系统的频域分析 极坐标图的起点 0 与系统传递函数中所含积分环节的个数有关 没有积分环节时 其极坐标图的起点位于复平面上的实轴上 有v 0 个积分环节时 极坐标图的起点位于 900v方位的无穷远 极坐标图的终点 与系统传递函数的分子多项式阶数m和分母多项式阶数n的差 n m 有关 n m 0时 其极坐标图的终点以 n m 900的方位置于复平面上的原点 n m 0时 极坐标图的终点位于复平面上的实轴上 在中频段的极坐标图与频率特性函数的参数有关 这时与系统性能密切相关的部分 尤其是穿越实轴部分应该准确绘制 5 控制系统的频域分析 例题5 3 绘制系统的极坐标图 已知系统的传递函数为 5 控制系统的频域分析 例题5 4 绘制系统的极坐标图 已知系统的传递函数为 5 控制系统的频域分析 对数坐标图 Bode图 对数坐标图是以频率为横坐标轴 幅频函数 相频函数分别为纵座标轴的二个图形 且频率横坐标轴按自然对数分度 幅频函数的纵坐标轴按分贝数分度 相频函数的纵座标轴按角度或弧度分度 0 10 20 50 100 0 1 0 2 0 5 1 0 100 10 20 50 2 0 5 0 lg 横坐标的分度说明 幅频特性的分贝表示 对数坐标图 对数幅频特性图 对数相频特性图 dec dec 例题5 5 绘制系统的对数坐标图 已知系统的传递函数为 5 控制系统的频域分析 计算系统的幅频特性函数和相频特性函数 计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数 5 控制系统的频域分析 绘制对数幅频特性图和对数相频特性图 L 0 T 1时 1 T 1 T T 1时 0 450 900 T 1时 20dB dec 3 转折频率 转折频率 5 控制系统的频域分析 例题5 6 绘制系统的对数坐标图 已知系统的传递函数为 计算系统的幅频特性函数和相频特性函数 计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数 5 控制系统的频域分析 绘制对数幅频特性图和对数相频特性图 L 0 1时 1 T 900 00 900 1时 20dB dec 1 1 20dB dec 0dB dec 20 转折频率 非最小相位系统 最小相位系统 5 控制系统的频域分析 控制系统的对数频率特性图的绘制规律 将传递函数化为以时间常数表示的典型环节相乘的形式 对数幅频特性图的绘制规律 对各典型环节的时间常数求倒数 得到转折频率 i 1 Ti i 1 i 并将转折频率标注到横坐标轴上确定 1 L 20lgK的点 即过点 1 20lgK 画斜率为 20v dB dec 的直线 并沿频率轴方向每遇到一个转折频率 就在该转折频率处按 20k dB dec 改变直线斜率 k为转折频率所对应典型环节的阶数 对应分子多项式的转折频率 对应分母多项式的转折频率 5 控制系统的频域分析 以直线型对数幅频特性图为依据 在每个以斜率为 20k dB dec 的对数幅频直线段内 相应的对数相频特性图的相频渐近线斜率为 900k的直线计算各转折频率处的准确相位数值 并用光滑曲线逼近渐近线 最小相位系统的对数幅频特性图的绘制规律 应当指出 不论是最小相位系统 还是非最小相位系统 其对数幅频特性图的渐近线图绘制都一样最小相位系统的对数相频特性图的渐近线与对数幅频特性图有对应关系 非最小相位系统的对数相频特性图需描点绘制系统的频率特性图没必要在每个频段上都精确绘制 尤其是高频段图形可以大致绘出 5 控制系统的频域分析 例题5 7 绘制系统的对数坐标图 已知系统的传递函数为 将已知传递函数转化为时间常数的形式 计算各环节的转折频率 1 1 2 5 0 4 2 1 0 5 2 3 1 0 1 10 4 1 0 05 20 将这些转折频率标注在对数 幅 相 频率特性图的横坐标上传递函数中有一个积分环节 则在对数幅频图中 过点 1 L 20lg25 28dB 即过 1 28 点画一条斜率为 20 dB dec 的直线 该直线沿频率轴方向延伸首先遇到 1 它对应一阶惯性环节 则直线的斜率在 1处变化 20 dB dec 成斜率为 40 dB dec 的直线 继续沿频率轴方向延伸又遇到 2 它对应一阶微分环节 则直线的斜率在 2处变化20 dB dec 成斜率为 20 dB dec 的直线 直至绘制到 4以后 5 控制系统的频域分析 在频率段 0 1 1 2 2 3 3 4 4 上 对数幅频图的渐近线斜率分别为 20 40 20 40 60 dB dec 则其相频图在这些频率段内的渐近线分别是 900 1800 900 1800 2700 最小相位系统 计算系统在各转折频率处的准确相位角 1 1 2 3 4 28 L 60 dB dec 20 dB dec 40 dB dec 40 dB dec 20 dB dec 1 2 3 4 900 1800 2700 5 控制系统的频域分析 例题5 8 已知最小相位系统的对数幅频特性图 绘出它的相频特性图 并求出系统的传递函数 L 50 100 0 20dB dec 40dB dec 100 0 900 1800 5 控制系统的频域分析 5 3系统稳定性的频域判据 这是根据系统频率特性图 极坐标图 对数图 来判断系统稳定性的判据 也称为奈奎斯特 Nyquist 判据 1 幅角原理 设系统的传递函数为 zi pj是系统的零点 极点 zi zi pj pj j s平面 zi zi pj pj Re Im G s 平面 奈氏围线 极坐标曲线 5 控制系统的频域分析 幅角原理 设s平面上的一条不穿越G s 的任一极点 零点的封闭奈氏围线内部含有G s 的极点数和零点数分别为Np Nz 则其极坐标曲线在G s 平面上也是一条封闭曲线 且内部包围坐标原点的圈数N为N Nz NpN 0 表明极坐标曲线包围坐标原点的方向与奈氏围线包围极点 零点的方向一致 N 0 表明极坐标曲线包围坐标原点的方向与奈氏围线包围极点 零点的方向相反 N 0 表明极坐标曲线不包围坐标原点 注意 封闭曲线顺时针包围极点 零点 或原点 是指按顺时针方向沿曲线行进一周时 所包围的极点 零点 或原点 总处于行进中的右侧 一般规定顺时针方向为封闭曲线的正方向 5 控制系统的频域分析 2 奈奎斯特稳定判据 对于控制系统的开环传递函数为 则系统的特征多项式为 表明 F s 的分子多项式是系统的特征多项式 分母多项式是系统开环传递函数的分母多项式 亦即F s 的零点是系统的特征根 F s 的极点是系统开环传递函数的极点 为此 取s平面上奈氏围线由整个虚轴和半径无穷大的包围整个虚轴右边的半圆弧组成 若F s 在虚轴上有极点和零点 则奈氏围线从其右侧以半径为无穷小的圆弧绕过 从而可获得F s 平面上包围坐标原点的封闭曲线 且满足 N Nz Np Nz Np是奈氏围线按正方向包围的F s 的零点数和极点数 5 控制系统的频域分析 j j 0 0 s 1 Re Im 1 Re Im 对于F s 一般分母多项式阶数大于分子多项式阶数 因此奈氏围线的 s 部分对应F s 平面的原点 若分子与分母的阶数相等 则奈氏围线的 s 部分对应F s 平面的某点 表明选取的奈氏围线主要是考察 部分对应的F s 的包围坐标原点的围线部分 判别F s 曲线包围坐标原点的情况与判别G s H s 曲线包围 1 j0 点的情况是一致的 0 0 5 控制系统的频域分析 下面分析所选取奈氏围线 即虚轴和包含虚轴右边的半径无穷大半圆弧 经过G s H s 映射的G s H s 的极坐标曲线的情况 奈氏围线的虚轴部分映射情况 此时s j 且 对应的是G j H j 的极坐标曲线 由于G j H j 与G j H j 共轭 即G j H j 关于 0和 0 的极坐标曲线对称于实轴 从而只需绘制 0 的G j H j 的极坐标图 按对称原理就可绘出 0对应的极坐标曲线包含虚轴右边半径无穷大圆弧的映射情况 此时s 由于G s H s 的分子多项式阶数m是小于或等于分母多项式阶数n 因此包含虚轴右边半径无穷大圆弧的映射是G s H s 平面上的一点 m n时是坐标原点 当G s H s 在虚轴上有极点 一般为积分环节的极点 时 奈氏围线就从其右边以半径无穷小的圆弧绕过 这段从 0 0 的半径无穷小圆弧映射到G s H s 平面上就是相角变化1800v v是G s H s 中积分环节个数 半径无穷大的弧线 5 控制系统的频域分析 至此 控制系统的稳定性可以通过其开环传递函数的极坐标曲线包围 1 j0 点的情况来判断 奈奎斯特稳定判据 若闭环系统的开环传递函数G s H s 在s平面右半部分具有Np个极点 且在 范围内的极坐标曲线围绕 1 j0 点的圈数N Np 则闭环系统是稳定的 Re 0 0 1 Im 1 K 0 0 Re Im 稳定 K 1时稳定 5 控制系统的频域分析 0 0 1 不稳定 0 0 1 不稳定 Re Im Re Im Re Im L 0 1800 1 1 穿越频率 截止频率 相位相交频率 基于Bode图的奈奎斯特稳定判据 若G s H s 在s平面右半部分有Np个极点 在对数幅频特性L 0的频率范围内 其相频特性曲线 穿越 1800相位线的总次数的2倍为N 且满足N Np 则闭环系统是稳定的 负穿越 有关系 5 控制系统的频域分析 5 4控制系统的相对稳定性 1 相对稳定性的概念 相对稳定性是指稳定系统的稳定状态距离不稳定 或临界稳定 状态的程度 一般用 稳定裕量 指标评价 相位裕量 闭环系统的开环传递函数在穿越频率处的相位角与 1800的差 0 表明系统是稳定的 其大小表示稳定的程度 0 表明系统不稳定 0 表明系统处于临界稳定 增益裕量 闭环系统的开环传递函数系统在相位相交频率处的幅频特性的倒数 Kg 1 表明系统是稳定的 其值越大表示稳定程度越高 Kg 1 表明系统不稳定 Kg 1 表明系统处于临界稳定 5 控制系统的频域分析 相位裕量和增益裕量的几何意义 Re Im 1 d Kg 1 d 0 L 1800 L g 应当指出 闭环系统的开环传递函数有极点位于虚轴右边时 不能应用稳定裕量来判别闭环系统的稳定性 2 相对稳定性的计算 5 控制系统的频域分析 例题5 9 已知反馈控制系统的开环传递函数为 1 K 1时的稳定裕量 2 L g 20dB 400的K 开环传递函数是最小相位系统 5 20 L 0 c 20dB dec 40dB dec 60dB dec 20lgK 1 K 1时 20lgK 0dB 表明此时 c 1 5 控制系统的频域分析 1 K 1 L g 增益裕量 相位裕量 5 控制系统的频域分析 2 L g 20dB 400 K 计算可知 当K 5 22时 L g 13 6dB 20dB 不满足要求 K 2 5时 可同时满足L g 20dB 400 5 控制系统的频域分析 例题5 10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 试分析系统稳定时 k与n的关系 这是最小相位系统 开环频率函数为 系统稳定 5 控制系统的频域分析 3 系统相对稳定性的频域分析 系统相对稳定性是很重要的工程问题 系统稳定程度过高 系统的响应就很慢 这很难满足工程实际的要求 系统过低的稳定程度 系统的动态响应就会很差 易于造成工程