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文档简介
高等代数 合肥工业大学刘丽 第二章行列式 第一节行列式的定义 设二元线性方程组 用消元法求解 1 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 由四个数排成两行两列 横排称行 竖排称列 并定义为 记为 的式子 叫做二阶行列式 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 类似地 2 式的分子也可写成二阶行列式 那么 2 式可写成 三元线性方程组的解问题 类似得到 当系数行列式D不等于0时 解是唯一的 并称它为三阶行列式 记为 二 三阶行列式的定义 三阶行列式的计算方法 对角线法则 列的三个元素的乘积再冠以正负号 三阶行列式包括3 项 每一项均为位于不同行 不同 沙路法 或沙流氏规则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 例 计算三阶行列式 一个n元线性方程组 问题 1 D n阶行列式如何求 D不等于0时 解是唯一的 3 解的表达式为 一个n阶排列 表示 自然顺序 就是按从小到大的顺序排起来的 其它 这个排列具有 的排列都或多或少地破坏了自然顺序 在一个排列中 如果一个大数排在一 n阶排列 的逆序数 简记为 列中 逆序的总数称为这个排列的逆序数 个小数之前 就称这两个数构成一个逆序 记为 一个排 计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素后面比它小的 或前面比它大的 数码个数之和 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 逆序数为奇数的n阶排列称为奇排列 逆序数为偶数的n阶排列称为偶排列 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素不动 叫做对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 对换改变排列的奇偶性 证明 设排列为 当时 经对换后的逆序数减少1 的逆序数不变 当时 并不改变 先证相邻对换的情形 再证一般对换的情形 设排列为 因此对换相邻两个元素 排列的奇偶性相反 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 对换一个排列中的任意两个元素 其奇偶性 改变 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 n阶排列中 奇偶排列各占一半 个数 称 为这个排列的逆序数 3 3 式简记为 四 n阶行列式的定义 注意 1 行列式是一个算式 1 三角行列式 1 下三角行列式 一些特殊的行列式 例 2 上三角行列式 3 次三角
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