空间点线面的位置关系答案.doc

复习回顾：1一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的表面积为()A8 B4 C. D.答案：A解析 如图，设截面的半径为r，则r2，r1，又已知球心与截面的距离d1，则球的半径R，球的表面积V4R28. 图K406 2如图K406，半径为2的半球内有一内接正三棱锥PABC，则此正三棱锥的侧面积是()A3 B5C3 D4答案：C解答 设球心为O，连接PO、AO、BO.因为PABC是正三棱锥，所以PO底面ABC，且POAO2，所以PA2.作PDAB于D，则D为AB的中点连接OD.3圆锥的底面半径为，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为_ （4题答案图）答案：4解析 如图，球心为O，圆锥底面圆心为O1，OO1为球半径，AO1为圆锥底面圆半径，O1AO30，OO1AO11，所以球的表面积为4.4正方体的内切球和外接球的半径之比为（ D ）. A. B. C. D. 5设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ D ）. A. B. C. D. 6长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ B ）. A. B. C. D. 都不对二、空间点线面的位置关系知识要点：1、公理（1）公理 1：对直线 a 和平面，若点 A、Ba , A、B，则 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：若两个平面、有一个公共点P，则、有且只有一条过点P的公共直线 a. 作用：判定两个平面是否相交的依据.（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面.作用：确定一个平面的依据(三推论一样)（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行作用：作用：判断空间两条直线平行的依据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线。特点：既不平行也不相交。异面直线直线的判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线与 平面内不经过该点的直线是异面直线 3、异面直线所成角：做平行，使两直线相交所成的锐角或直角；即方法：通过平移（平移一条，或两条都平移），转化为相交直线所成的角。四、例题讲解:1已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b(C)A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线2下列命题中正确的是( D)A三点确定一个平面 B两条直线确定一个平面C两两相交的三条直线一定在同一平面内 D过同一点的三条直线不一定在同一平面内3若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的(A)A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件4对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不过同一个点；三条直线两两平行；三条直线相交于一点；有两条直线平行，第三条直线与这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件有(B)A1个 B2个 C3个 D4个5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为(C)A. B. C. D.6若A表示点，a表示直线，表示平面，则下列表述中，错误的是(B)Aa，AaA Ba，AaA CA，A，aAa DAa，Aa7如图K1331，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(D)AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1四点共面CA，O，C，M四点共面 DB，B1，O，M四点共面 图K13318四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于() A90 B60 C45 D30答案：C解析 取SB的中点G，连接GE，GF，则GEGF，EFG为异面直线EF与SA所成的角，EFa，在EFG中，EFG45 图K3819 正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A. B. C. D.B解析取CD的中点N，连接BN，D1N，则BNDM，D1BN就是直线DM与D1B所成角，设正方体棱长为1，在D1BN中，BD1，BND1N，由余弦定理得cosD1BN10正方体的表面展开图如图J1331，A，B，C为其上的三个顶点，则在正方体中，ABC的大小为_60_ 图J1331 图K1332 11如图K1332是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_3 4_12已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_.解析：设边长为2，取A1B1的中点M，连接EM，AM，AE，则AEM就是异面直线AE与BC所成的角在AEM中，cosAEM13长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点求异面直线A1E，GF所成角的大小解：连接B1G，由对称性，知A1E綊B1G，则B1GF就是异面直线A1E，GF所成角在RtB1C1G中，B1G.在RtFCG中，GF.在RtB1BF中，B1F.在B1FG中，B1G2GF25B1F2，B1GF9014如图K1333，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点 证明：(1)如图D62，连接CD1，EF、A1B，E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B且EFA1B. 又A1D1 BC，四边形A1BCD1是平行四边形A1BCD1.EFCD1.EF与CD1确定一个平面.E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面15如图K1334是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比 图D15解：(1)如图D63，MN与PQ是异面直线，在正方体中，PQNC，则MNC为MN与PQ所成角因为MNNCMC，所以MNC60.所以MN与PQ所成角的大小为60.(2)设正方体棱长为a，则正方体的体积Va3.而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP平面MPQ，所以VNPQMMPMQNPa3.所以四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为16空间点、线、面位置关系练习一、选择题 1已知、是两个不同的平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点，命题q：，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当a，b都平行于与的交线时，a与b无公共点，但与相交，当时，a与b一定无公共点，qp，但p/ q. 【答案】B2已知ABC的两个顶点A，B平面，下面四个点：ABC的内心；ABC的外心ABC的垂心；ABC的重心。其中因其在内而可判定C在内的是()A B C D【解析】ABC内心O1在内，由内心定义CO1与AB交点D(与A、B不重合)AB，D，CO1；C；ABC的外心O2可以在直线AB上(如RtABC中，角C为直角时)，故由AB，O2，不能确定C在内；ABC的垂心O3，可以是线段AB的一个端点，如RtABC，A为直角，垂心O3为A点，不能得出C；ABC的重心O4，设AB中点为E，则由O4E，CO4E，C.符合题意.D3(2008年辽宁)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条【解析】先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a、b、c，与直线a、b、c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性无论两两异面的三条直线a、b、c的相对位置如何，总可以构造一个平行六面体ABCDA1B1C1D1，使直线AB、B1C1、DD1分别作为直线a、b、c，在棱DD1的延长线上任取一点M，由点M与直线a确定一个平面，平面与直线B1C1交于点P，与直线A1D1交于点Q，则PQ在平面内，直线PM不与a平行，设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a、b、c相交由于点M的取法有无穷多种，因此在空间同时与直线a、b、c相交的直线有无数条依题意，不难得知题中的直线A1D1、EF、CD是两两异面的三条直线，由以上结论可知，在空间与直线A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条，选D.4如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()【解析】在A图中分别连接PS、QR，易证PSQR，P、S、R、Q共面； 在C图中分别连接PQ、RS，易证PQRS，P、Q、R、S共面如图，在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形，故四点共面，D图中PS与RQ为异面直线，四点不共面，故选D.5正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】如图，取PB中点N，连接CM、CN、MN.CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，设PA=2，则CM=，MN=1，CN=，cosCMN=.故选C.6以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3【解析】中若有三点共线，则四点共面，所以正确；中，当A、B、C三点不共线时，正确；当A、B、C三点共线时，A、B、C、D、E不一定共面；中，b、c可能共面，也可能异面；中以空间四边形为例知其错误综上，只有正确【答案】B二、填空题 7在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【解析】如题干图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，GH与MN异面所以图、中GH与MN异面【答案】、8(2010年云南模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_【解析】在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BHAE于H，连接B1H，则在RtAHB1中，B1AH为AB1与BD所成角，设AB1，则A1A，B1A，AHBD，cosB1AH，B1AH60.9空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD1，则AC的取值范围是_【解析】如图所示，ABD与BCD均为边长为1的正三角形，当ABD与CBD重合时，AC0，将ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC，如图，故AC的取值范围是0AC.【答案】(0，)三、解答题 10已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分【证明】如图所示，连结EF、FG、GH、HE.E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EFHG，EHFG，四边形EFGH是平行四边形设EGFHO，则O平分EG、FH.同理，四边形MFNH是平行四边形，设MNFHO，则O平分MN、FH.点O、O都平分线段FH，点O与点O重合，MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分11如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B