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第五节 一 近似计算 二 欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动目录上页下页返回结束 第十一章 一 近似计算 例1 计算 的近似值 精确到 解 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 的近似值 使准确到 解 已知 故 令 得 于是有 机动目录上页下页返回结束 在上述展开式中取前四项 机动目录上页下页返回结束 说明 在展开式 中 令 得 具此递推公式可求出任意正整数的对数 如 n为自然数 机动目录上页下页返回结束 例3 利用 求 误差 解 先把角度化为弧度 弧度 误差不超过 的近似值 并估计 机动目录上页下页返回结束 取 例4 计算积分 的近似值 精确到 解 机动目录上页下页返回结束 则n应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差 机动目录上页下页返回结束 例5 计算积分 的近似值 精确到 解 由于 故所给积分不是广义积分 若定义被积函数在x 0处的值为1 则它在积分区间 上连续 且有幂级数展开式 机动目录上页下页返回结束 二 欧拉 Euler 公式 则称 收敛 且其和为 绝对收敛 收敛 若 收敛 若 对复数项级数 绝对收敛 则称 绝对收敛 由于 故知 欧拉目录上页下页返回结束 定义 复变量 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 当y 0时 它与实指数函数 当x 0时 的幂级数展式一致 机动目录上页下页返回结束 欧拉公式 也称欧拉公式 利用欧拉公式可得复数的指数形式 则 机动目录上页下页返回结束 据此可得 德莫弗公式 利用幂级数的乘法 不难验证 特别有 作业P2291 2 4 2 2 第六节目录上页下页返回结束 欧拉 1707 1783 瑞士数学家 他写了大量数学经典 著作 如 无穷小分析引论 微 还 写了大量力学 几何学 变分法教材 他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文 他的最大贡献是扩展了微积分的领域 要分支 如无穷级数 微分方程 与微分几何的产生和 发展奠定了基础 分学原理 积分学原理 等 为分析学的重 在
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