高考数学之三角函数知识点总结.doc

三角函数三角函数 一 基础知识一 基础知识 定义定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任 意的 定义定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 其中 r 是圆的半径 r L 定义定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重 合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正弦函数 sin 余弦函数 cos 正切函数 tan 余切函数 cot r y r x x y y x 定理定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan 商数关系 tan cot 1 sin cos cot cos sin 乘积关系 tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin cos cos sin 奇变偶不变 符号看象限 2 2 定理定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间 上为增函数 在区间上为减函数 最小正周 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2kk 期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 时 2 2 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值 2 域为 1 1 这里 k Z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点均为其对称中心 有界性 当且仅当 0 2 k x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx xk 在开区间 k k 上为 2 2 2 增函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对称中 2 心 sinyx cosyx tanyx 图象 函 数 性 质 定义域 RR 2 x xkk 值域 1 1 1 1 R 最值 当时 2 2 xk k 当 max 1y 2 2 xk 时 k min 1y 当时 2xkk 当 max 1y 2xk 时 k min 1y 既无最大值也无最小值 周期性2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 k 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在上是 2 2kkk 增函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 对称性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sincos 2 2 sin sin 2sincos 2 2 cos cos 2coscos 2 2 cos cos 2sinsin 2 2 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 1 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 定理 9 半角公式 sin cos 2 2 cos1 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b20 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 22 ba b 22 ba a asin bcos sin 22 ba 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有 其中 a b c 分别是R C c B b A a 2 sinsinsin 角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的 对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin 1 x 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象0 振幅变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向 右平移个单位得到 y Asinx 的图象 定义 4 函数 y sinx的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 函 2 2 x 数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的 2 2 x 反函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kxarccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa arctana arccota 2 2 定理 16 若 则 sinx x tanx 2 0 x 二 方法与例题二 方法与例题 1 结合图象解题 例 1 求方程 sinx lg x 的解的个数 解 在同一坐标系内画出函数 y sinx 与 y lg x 的图象 见图 由图象可知两者有 6 个交 点 故方程有 6 个解 1 浙江卷 7 在同一平面直角坐标系中 函数 20 2 3 2 cos x x y的图象和直线 2 1 y的交点个数是 A 0 B 1 C C 2 D 4 2 最小正周期的确定 例 2 求函数 y sin 2cos x 的最小正周期 解 首先 T 2 是函数的周期 事实上 因为 cos x cosx 所以 co x cosx 其次 当且仅当 x k 时 y 0 因为 2cosx 20 由 y sinx 的图象向左平移个单位 然后保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 然后 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y Asin x 的图象 也可以由 y sinx 1 的图象先保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来 的 最后向左平移个单位 得到 y Asin x 的图象 1 例 5 已知 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 对称 且在区间上是单调函数 求和的值 0 4 3 M 2 0 解 由 f x 是偶函数 所以 f x f x 所以 sin sin x 所以 cossinx 0 对任意 x R 成立 又 0 解得 2 因为 f x 图象关于对称 所以 0 0 4 3 M 4 3 4 3 xfxf 取 x 0 得 0 所以 sin 4 3 f 0 24 3 所以 k Z 即 2k 1 k Z 24 3 k 3 2 又 0 取 k 0 时 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取 k 1 时 2 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取 k 2 时 此时 f x sin x 在 0 上不是单调函数 3 10 2 2 综上 或 2 3 2 1 09 山东 将函数的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 所得图象sin2yx 4 的函数解析式是 2 1 0707 山东 山东 要得到函数的图象 只需将函数的图象向 sinyx cosyx 平移 个单位 2 全国一 8 为得到函数的图像 只需将函数的图像 cos 2 3 yx sin2yx 向 平移 个单位 3 为了得到函数的图象 可以将函数的图象向 平移 6 2sin xyxy2cos 个单位长度 3 将函数 y cos x sin x 的图象向左平移 m m 0 个单位 所得到的图象关于 y 轴 3 对称 则 m 的最小正值是 D A B C D 6 3 2 3 5 6 4 湖北 将函数的图象F按向量平移得到图象 若的一条对3sin yx 3 3 F F 称轴是直线 则的一个可能取值是 4 x A B C D 12 5 12 5 12 1111 12 6 三角公式的应用 例 6 已知 sin sin 且 求 13 5 13 5 2 2 2 3 sin2 cos2 的值 解 因为 所以 cos 2 13 12 sin1 2 又因为 所以 cos 2 2 3 13 12 sin1 2 所以 sin2 sin sin cos cos sin 169 120 cos2 cos cos cos sin sin 1 例 7 求证 tan20 4cos70 解 tan20 4cos70 4sin20 20cos 20sin 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 求值 1 1 07 07 全国全国 是第四象限角 则 12 cos 13 sin 2 09 北京文 若 则 4 sin tan0 5 cos 3 09 全国卷 文 已知 ABC中 则 12 cot 5 A cos A 4 是第三象限角 则 2 1 sin cos 2 5 cos 2 2 1 1 07 07 陕西陕西 已知则 5 sin 5 44 sincos 2 04 全国文 设 若 则 0 2 3 sin 5 2cos 4 3 06 福建 已知则 3 sin 25 tan 4 3 1 07 1 07 福建福建 sin15 cos75cos15 sin105 2 06 陕西 cos43 cos77sin43 cos167 oooo 3 sin163 sin223sin253 sin313 4 已知 则的值为 5 3 2 cos 22 cossin A B C D 25 7 25 16 25 9 25 7 5 已知 sin 0 则 cos 的值为 13 12 2 4 A B C D 26 27 26 27 26 217 26 217 6 若 则的取值范围是 02 sin3cos 3 2 3 4 33 3 32 7 若则 5sin2cos aaatan A B 2 C D 2 1 2 1 2 单调性 1 04 天津 函数为增函数的区间是 0 2 6 sin 2 xxy A B C D 3 0 12 7 12 6 5 3 6 5 2 函数的一个单调增区间是 sinyx A B C D 3 3 2 3 函数的单调递增区间是 sin3cos 0 f xxx x A B C D 5 6 5 66 0 3 0 6 4 0707 天津卷 天津卷 设函数 则 sin 3 f xxx R f x A 在区间上是增函数B 在区间上是减函数 27 36 2 C 在区间上是增函数D 在区间上是减函数 3 4 5 36 5 函数的一个单调增区间是 2 2cosyx A B C D 4 4 0 2 3 44 2 6 若函数 f x 同时具有以下两个性质 f x 是偶函数 对任意实数 x 都有 f f x 4 则 f x 的解析式可以是 x 4 A f x cosx B f x cos 2x C f x sin 4x D f x cos6x 2 2 四 五 对称性 1 08 安徽 函数图像的对称轴方程可能是 sin 2 3 yx A B C D 6 x 12 x 6 x 12 x 2 07 福建 函数 sin 2 3 yx 的图象 关于点对称 关于直线对称 0 3 4 x 关于点对称 关于直线对称 0 4 3 x 3 09 全国 如果函数的图像关于点中心对称 那么的最小3cos 2 yx 4 0 3 值为 A B C D 6 4 3 2 7 图象 4 2006 年四川卷 下列函数中 图象的一部分如右图所示的是 A B sin 6 yx sin 2 6 yx C D cos 4 3 yx cos 2 6 yx 5 2009 江苏卷 函数 为常数 sin yAx A 在闭区间上的图象如图所示 则 0 0A 0 7 2010 天津 下图是函数 y Asin x x R 在区间上的图象 6 5 6 为了得到这个函数的图象 只要将 y sinx x R 的图象上所有的点 A 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 3 1 2 B 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 3 C 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 6 1 2 D 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 6 8 2010 全国 为了得到函数 y sin的图象 只需把函数 y sin的图象 2x 3 2x 6 A 向左平移 个长度单位 B 向右平移 个长度单位 4 4 C 向左平移 个长度单位 D 向右平移 个长度单位 2 2 9 2010 重庆 已知函数 y sin x 的部分图象如图所示 则 0 2 A 1 B 1 6 6 C 2 D 2 6 6 八 解三角形 1 2009 年广东卷文 已知中 的对边分别为若ABC CBA a b c 且 则 62ac 75A o b 2 2009 湖南卷文 在锐角ABC 中 1 2 BCBA 则 cos AC A 的值等于 2 AC的取值范围为 3 09 福建 已知锐角的面积为 则角的大小为 ABC 3 34 3BCCA C 5 已知 ABC 中 则的值为 7 5 4sin sin sin CBACcos 7 在中 ABC 5 cos 13 B 4 cos 5 C 求的值 sin A 设的面积 求的长 ABC 33 2 ABC S BC 九 综合 1 04 年天津 定义在 R 上的函数既是偶函数又是周期函数 若的最小正周 xf xf 期是 且当时 则的值为 2 0 xxxfsin 3 5 f 2 04 年广东 函数 f x 是 22 sinsin 44 fxxx A 周期为的偶函数 B 周期为的奇函数 C 周期为 2的偶函数 D 周期为 2的奇函数 3 09 四川 已知函数 下面结论错误的是 2 sin Rxxxf A 函数的最小正周期为 2 B 函数在区间 0 上是增函数 xf xf 2 C 函数的图象关于直线 0 对称 D 函数是奇函数 xfx xf 4 07 07 安徽卷安徽卷 函数的图象为C 如下结论中正确的是 3 2sin 3 xxf 图象C关于直线对称 图象 C 关于点对称 12 11 x 0 3 2 函数 内是增函数 12 5 12 在区间xf 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C xy2sin3 3 5 08 广东卷 已知函数 则是 2 1 cos2 sin f xxx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的奇函数 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数 2 6 在同一平面直角坐标系中 函数的图象和直线的交 20 2 3 2 cos x x y 2 1 y 点个数是 C A 0 B 1 C 2 D 4 7 若 是第三象限角 且 cos 0 则是 2 2 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 8 已知函数对任意都有 则等于 2sin f xx x 66 fxfx 6 f A 2 或 0 B 或 2 C 0 D 或 02 2 十 解答题 1 05 福建文 已知 5 1 cossin 0 2 xxx 求的值 xxcossin 求的值 x xx tan1 sin22sin 2 2 06 福建文 已知函数 22 sin3sin cos2cos f xxxxx xR I 求函数的最小正周期和单调增区间 f x II 函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到 f xsin2 yx xR 3 2006 年辽宁卷 已知函数 求 22 sin2sin cos3cosf xxxxx xR I 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合 f xx II 函数的单调增区间 f x 4 07 福建文 在中 ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B 求角的大小 C 若边的长为 求边的长 AB17BC 5 08 福建文 已知向量 且 sin cos 1 2 mAA n 0 m n A 求 tanA 的值 求函数R 的值域 cos2tansin f xxAx x 6 2009 福建卷文 已知函数其中 sin f xx 0 2 I 若求的值 coscos sinsin0 44 在 I 的条件下 若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 f x 3 求函数的解析式 并求最小正实数 使得函数的图像象左平移个单位所 f xm f xm 对应的函数是偶函数 7 已知函数 的最小正