曲柄滑块的运动规律.pdf

学学 生生 实实 验验 报报 告告 实验课程名称 实验课程名称 数学实验数学实验 实实 验验 内内 容 容 曲柄滑块机构的运动规律曲柄滑块机构的运动规律 学学 生生 姓姓 名名 侯耀伟侯耀伟 学学 号号 13122111131221110505 提提 交交 时时 间 间 2015 2015 年年 3 3 月月 27 27 日日 评分标准评分标准 写作写作 20 20 理论推导理论推导 30 30 程序程序 20 20 结果分析结果分析 20 20 特色特色 10 10 成成 绩绩 指导教师指导教师 许建强许建强 目录目录 1 实验目的实验目的 2 2 实验问实验问 2 3 建立数学模型建立数学模型 3 4 数学近似模型数学近似模型 3 5 问题问题的解法与讨论的解法与讨论 6 6 程序设计程序设计 10 7 总结总结 11 1 1 实验目的实验目的 本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究 通过实验复习 函数求导法 Taylor 公式和其他有关知识 着重介绍运用建立近 似模型并进行数值计算来研究函数的方法 2 2 实验问题实验问题 曲柄滑块机构是一种常用的机械结构 它将曲柄的转动转 化为滑块在直线上的往复运动 是压气机 冲床 活塞式水泵 等机械的主机构 记曲柄 OQ 的长为 r 连杆 QP 的长为 l 当曲柄绕固定点 O 以角 速度 旋转时 由连杆带动滑块 P 在水平槽内作往复直线运动 假设 初始时刻曲柄的端点 Q 位于水平线段 OP 上 曲柄从初始位置起转动 的角度为 连杆 QP 与 OP 的锐夹角为 称为摆角 在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律 确切地 说 要研究滑块的位移 速度和加速度关于 的函数关系 摆角 及 其角速度和角加速度关于 的函数关系 问题 1 结合课本 试用摆角的角加速度的三种表达式 即式 1 11 1 23 和 1 24 取步长为 12 r l 的值如前 计算当 0 变化时角加速度的值 并列表加以比较 问题 2 利用 1 12 式 对摆角的角速度 1 10 式和角速度 1 11 式进行简化 将结果与 1 21 1 24 式进行比较 并与上题的计 算结果相比较 且 r 100mm l 3r 300mm 240 转 min 3 建立数学模型 取 O 点为坐标原点 OP 方向为 x 轴正方向 P 在 x 轴上的坐标为 x 那么可用 x 表示滑块的位移 利用三角关系 立即得到 同样 基于关系式 摆角的表达式 不难由上两式导出 即其加速度为 4 数学近似模型 由于数学模型本身是对实际问题的抽象 从而也必定有某种简化 和忽略 即使我们得到了问题的解析形式解 一般说来 它仍然是对 实际情况的近似 为了方便起见 对较为复杂的解析模型进行近似处 理常常是必要的 事实上 在曲柄连杆结构 以及不少工程问题 的 研究中 确实经常使用着这个方法 一般而言 是远比 1 小的数 滑块位移的近似模型为 对摆角 可以利用幂级数展开的 Maclaurin 公式 得到摆角的近似模型 粗略一些 可以取 而必要时 可以取 相应的近似角速度为 近似角加速度为 5 5 问题的解法和讨论问题的解法和讨论 问题 1 通过 MATHLAB 计算得 a1a1a2a2a3a3 0 00 00 00 0 12 12 48 9857 48 9857 54 4948 54 4948 49 0482 2 2 12 12 97 6175 97 6175 105 2758 105 2758 97 965 3 3 12 12 144 1871 144 1871 148 8824 144 7468 4 4 12 12 184 6798 184 6798 182 343 184 8755 5 5 12 12 213 0328 213 0328 203 3772 203 3772 212 4053 6 6 12 12 223 3237 223 3237 210 5516 222 2489 7 7 12 12 213 0328 203 3772 212 4053 8 8 12 12 184 6798 184 6798 182 343 184 8755 9 9 12 12 144 1871 144 1871 148 8824 144 7468 1010 12 12 97 6175 105 2758 97 965 1111 12 12 48 9857 54 4948 49 0482 0 000 通过通过 mathlabmathlab 画图画图 a a1 1 红红 a2a2 绿绿 a3a3 黄黄 为 为 根据图像和表格分析得 a1 与 a3 差别不大 但与 a2 差别较大 即其近似效果 a3 较好 在所取数据中 5 12 与 7 12 之间取得最 大值 但无论取那种近似 当 0 或 时 其角加速度的值 都为 0 根据图形得到 其加速度的图像走势大致呈抛物线形式 所以其运 动方式为先加速后减速的形式 问题问题 2 2 b1b1b2b2b3b3b4b4b5b5b6b6 0 08 37768 37760 08 37768 37768 37768 37760 00 0 12 128 12238 122348 986748 98678 09218 09218 12228 1222 54 4948 54 4948 49 0482 49 0482 2 2 12 127 35747 357497 647197 64717 25527 25527 3567 356 105 276 105 276 97 965 97 965 3 3 12 126 09316 0931144 3708144 37085 92385 92386 08846 0884 148 882 148 882 144 747 144 747 4 4 12 124 37094 3709185 2373185 23734 18884 18884 36334 3633 182 343 182 343 184 876 184 876 5 5 12 122 28682 2868214 0677214 06772 16832 16832 28072 2807 203 377 203 377 212 405 212 405 6 6 12 120 0224 5883224 58830 00 0 210 552 210 552 222 249 222 249 7 7 12 12 2 2868 2 2868 214 0677214 0677 2 1683 2 1683 2 2807 2 2807 203 377 203 377 212 405 212 405 8 8 12 12 4 3709 4 3709 185 2373185 2373 4 1888 4 1888 4 3633 4 3633 182 343 182 343 184 876 184 876 9 9 12 12 6 0931 6 0931 144 3708144 3708 5 9238 5 9238 6 0884 6 0884 148 882 148 882 144 747 144 747 1010 12 12 7 3574 7 357497 647197 6471 7 2552 7 2552 7 356 7 356 105 276 105 276 97 965 97 965 1111 12 12 8 1223 8 122348 986748 9867 8 0921 8 0921 8 1222 8 1222 54 4948 54 4948 49 0482 49 0482 8 3776 8 37760 0 8 3776 8 3776 8 3776 8 37760 00 0 通过通过 mathlabmathlab 画图画图 b1 b1 红红 b3 b3 绿绿 b4 b4 黄黄 为 为 根据图像和表格分析得 b1 b3 b4 图像及数据差别不大 然而 b1 与 b4 之间的差别更小 因此其 b4 的近似效果更好 但总体来说 b3 与 b4 的近似效果还可以 都比较靠近真实值 并且 通过观察数 据及图像其最大值在开始 0 与末尾 处 最小值在中间 2 处取得 通过通过 mathlabmathlab 画图画图 b2 b2 红红 b5 b5 绿绿 b6 b6 黄黄 为 为 根据图像和表格分析的 b2 与 b6 差别不大 但与 b5 差别较大 即其近似效果 b6 较好 在所取数据中 5 12 与 7 12 之间取得最 大值 但无论取那种近似 当 0 或 时 其角加速度的值 都为 0 并且其图像走势大致为抛物线形式 是一个先加速后减速的过程 第二题中角加速度第二题中角加速度 b2b2 与第一题中的角加速度与第一题中的角加速度 a1a1 a2a2 a3a3 的比较的比较 b2a1a2a3 00000 12 48 9867 48 9857 54 4948 49 0482 2 12 97 6471 97 6175 105 276 97 965 3 12 144 371 144 187 148 882 144 747 4 12 185 237 184 68 182 343 184 876 5 12 214 068 213 033 203 377 212 405 6 12 224 588 223 324 210 552 222 249 7 12 214 068 213 033 203 377 212 405 8 12 185 237 184 68 182 343 184 876 9 12 144 371 144 187 148 882 144 747 10 12 97 6471 97 6175 105 276 97 965 11 12 48 9867 48 9857 54 4948 49 0482 0000 通过通过 mathlabmathlab 画图 画图 b2 b2 红红 a1 a1 绿绿 a2 a2 黄黄 a3 a3 洋红洋红 表示 表示 根据图像和表格分析的 b2 与 a1 与 a3 差别不大 但与 a2 差 别较大 即其 b2 与 a3 近似效果较好 且 b2 与 a3 的差别不大 两者 大致相同 在所取数据中 5 12 与 7 12 之间取得最大值 但无论 取那种近似 当 0 或 时 其角加速度的值 都为 0 并且其图像 走势大致为抛物线形式 是一个先加速后减速的过程 6 6 程序设计程序设计 1 1 function mil1 t r 100 l 300 w 240 60 2 pi a1 r w 2 sin t l 2 r 2 sqrt l 2 r 2 sin t 2 3 a2 w 2 r l sin t a3 w 2 r l sin t r 3 2 l 3 sin t 3 sin 2 t cos t 2 2 function mil2 t r 100 l 300 w 240 60 2 pi b1 r w cos t l r 2 2 l sin t 2 b2 r w 2 sin t l 2 r 2 l 3 3 l r 2 2 sin t 2 b3 w r l cos t b4 w r l cos t r 3 2 l 3 sin t 2 cos t b5 w 2 r l sin t b6 w 2 r l sin t r 3 2 l 3 sin t 3 sin 2 t cos t 3 3 function mil1 t r 100 l 300 w 240 60 2 pi b2 r w 2 sin t l 2 r 2 l 3 3 l r 2 2 sin t 2 a1 r w 2 sin t l 2 r