《概率论与数理统计》综合复习资料.doc

概率论与数理统计综合复习资料一、 填空题1、已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 3/7 。2、设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则= 9/64 。3、设与独立同分布，且，则(= 117。4、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件）的概率为1/10。则： 3/14 ； 19/30 。 5、一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 8/45；（2）恰有一次取到次品的概率为 16/45 。6、设随机变量、（泊松分布），且相互独立，则：= 5； 19 。7、设、为事件，则0.7 。8、设与相互独立，都服从0，2上的均匀分布，则1/2 。 9、设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则= 1 。10、设由来自总体的容量为100的样本测得样本均值，则的置信度近似等于0.95的置信区间为 (4.804，5.196) 。11、一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以表示：“取到的两只球均为白球”；表示：“取到的两只球同色”。则 3/28 ； 13/28 。12、设的概率分布为，则； 的分布函数 。13、设随机变量，则常数=1； 0 。二、 选择题1、设事件满足，且，则有 （） 2、对于随机变量、，若，则 () 3、设，且相互独立，则() 4、设为来自总体的一个样本，为样本均值，已知，记 ， ，则服从自由度为的分布统计量是 5、设和是任意概率不为零的互斥事件，则结论正确的是（） 6、设的概率密度，则（） 1/3 7、设总体为未知参数，为X的一个样本，为两个统计量，的置信度为的置信区间，则应有 D ) 8、设，则=（） 22 9、设和均服从正态分布，记，则 对任何实数都有 10、某人射击中靶的概率为3/5，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率 () 11、设与独立同分布,记,，则必然 () 不相关 12、记为待检验假设，则所谓犯第一类错误指的是 （） 为真时，拒绝 13、设随机变量的密度函数为 则常数C= 4 。 14、设每次试验成功的概率为1/3，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为 4/9 。 15、设和相互独立，且均服从，则 () 16、设，则=() 49.6三、解答题1、在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅及报； （2）恰好订阅两种报纸。 2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：（1）敌机被击中； （2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。3、在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求：（1）该电子元件被损坏的概率；（2）电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率。（提示：）4、设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求（1）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量与是否相互独立。5、有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟的概率； ( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 6、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数的概率分布。7、二维随机变量（，）的概率分布表如下： 0 1 -1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8求：（1）、； （2）的相关系数；8、一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量的概率分布；（2）关于和关于的边缘概率分布。（3）和是否相互独立？为什么？9、设的概率分布为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：（1）的分布函数； （2）、。10、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。11、设二维随机变量（，）的概率分布为 求：（1）随机变量X的密度函数； （2）概率。 12、设的分布密度为，求：数学期望和方差。13、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。 14、设相互独立随机变量的概率分布分别为 ； 求：和。15、设随机变量的概率分布为 1 0 1 2 0.3 0.2 0.4 0.1求：（1）； （2）的概率分布；16、设随机变量的分布函数为 求：（1）系数； （2）落在区间（1，1）中的概率；（3）随机变量的概率密度。（提示：为反正切函数）概率论与数理统计综合复习资料参考答案三、计算题1、在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。 解：（1） （2） 2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中； （2）甲击中乙击不中； （3）乙击中甲击不中。解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则 （1） （2） （3） 3、在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压（提示：），试求： （1）该电子元件被损坏的概率（2）电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率。 解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在200240伏”；：“电源电压超过240伏”； ：“电子元件被埙坏”。 由于，所以 由题设,所以由全概率公式 由条件概率公式 4、设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求（1）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量与是否相互独立。 解：如图所示，的面积为 因此均匀分布定义得的联合概 1 率密度为 而 所以关于和关于的边缘分布密度分别为 （2） 由于，故随机变量与不相互独立。 5、有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟的概率； ( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件表示：“此人来迟了”；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。 LLLLL2分则，且，两两互不相容 （1） （2）= 6、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。 解：的可能取值为1，2，。 记表示“第次试验雷管发火”则表示“第次试验雷管不发火”从而得 依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为 7、二维随机变量（，）的概率分布表如下： 0 1 -1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8求：（1）、； （2）的相关系数； 解：易得和的分布列分别为 1 0 1 1 0 1 3/8 1/4 3/8 3/8 1/4 3/8 （1）， ， ， （2）Cov(,)= 8、一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量的概率分布；（2）关于和关于的边缘概率分布；（3）和是否相互独立？为什么？ 解：（1）的取值为，由概率乘法公式可得同理可得 此外事件，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）关于的边缘概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 关于的边缘概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 （3）和不相互独立，由于。 9、设的概率分布为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：（1）的分布函数； （2）、。 解：（1） ； ； 。 10、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，（1） 由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得 = 11、设二维随机变量（，）的概率分布为 求：（1）随机变量X的密度函数；（2）概率。解：（1）时，=0； 时，= 故随机变量的密度函数= （2） 12、设的分布密度为，求：数学期望和方差。 解：= = 于是 13、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件，求： （1）取到的是次品的概率； （2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第车间生产的”（）。 则，且，两两互斥，由全概率公式得 = 14、设相互独立随机变量的概率分布分别为 ；