物流管理定量分析方法(PPT 116页).ppt

物流管理定量分析方法 主讲 詹益钊 第一章物资调运方案的表上作业法 考核知识点 不平衡运输问题化为平衡运输问题 初始调运方案的编制 物资调运方案的优化 考核要求 掌握将不平衡运输问题转化为平衡运输问题的方法 熟练掌握编制初始调运方案的最小元素法 理解闭回路 检验数等概念 熟练掌握求最优调运方案的优化方法 1 1物资调运的表上作业法物资调运问题例1现有三个产地A B C供应某种商品 供应量分别为50吨 30吨 70吨 有四个销地 需求量分别为30吨 60吨 20吨 40吨 产地A到销地 的每吨商品运价分别为15元 18元 19元 13元 产地B到销地 的每吨商品运价分别为20元 14元 15元 17元 产地C到销地 的每吨商品运价分别为25元 16元 17元 22元 如下表所示 如何求出最优调运方案 运输平衡表与运价表 销地 产地 A B C 需求量 供应量 30 60 20 40 150 50 30 70 15 18 19 13 20 14 15 17 25 16 17 22 我们将直接在运输平衡表与运价表上编制运输方案并进行计算 调整 以确定最优调运方案的方法称为表上作业法 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 最小元素法编制初始调运方案 运输调运方案的优化 闭回路 检验数 闭回路 只有一个空格 其他拐弯处都有数字 运输调运方案的优化 闭回路 检验数 运输调运方案的优化 闭回路 检验数 运输调运方案的优化 闭回路 检验数 运输调运方案的优化 闭回路 检验数 运输调运方案的优化 闭回路 检验数 1 3 2检验数及调运方案调整的原则 检验数的概念 对于某调运方案 若某空格增加单位运量 则此空格的闭回路的奇数号拐弯处均须增加单位运量 偶数号拐弯处均须减少单位运量 总运费的改变量为奇数号拐弯处的运价和与偶数号拐弯处的运价和的差 称此总运费的改变量为检验数 当且仅当检验数为负数时 在此空格增加运量能使总运费减少 如果检验数为大于等于零 则不需做调整 检验数 第1个拐弯处的单位运价 第2个拐弯处的单位运价 第3个拐弯处的单位运价 第4个拐弯处的单位运价 若某个空格检验数为正数时 该空格增加运输量将会增加运输总费用 所以不能在此处安排运输量若某空格检验数为负数时 在该空格安排运输量 就会降低运输总费用 所以应在此空格调入运输量 而且安排运输量越多 运输总费用下降越多 但最多只能安排该空格闭回路上偶数号拐弯处运量的最小值 即偶数号拐弯处能调出的最大运量 最优调运方案的判别标准 若某一物资调运方案的所有空格的检验数均非负 则该物资调运方案最优 此时的运输总费用最低 小结 检验数实际上就是所有奇数号拐弯处单位运价总和减去所有偶数号拐弯处单位运价总和 调运方案调整的原则 最优调运方案的判别标准 调整运输方案的原则 1 3 3调运方案的优化 物资调运方案优化的思路 1 按行列顺序的空格找闭回路 计算检验数 2 若检验数非负 则对下一个空格继续找闭回路 计算检验数 依此类推 若所有检验数均非负 则该方案为最优调运方案 此时的运输总费用最低 3 若出现某检验数小于0 则开始在该空格安排运输量 其它空格不必再考虑了 该运输量取闭回路中偶数号拐弯处运输量的最小值 称为调整量 4 进行优化调整 调整在闭回路中进行 所有奇数号拐弯处的运输量均加上调整量 所有偶数号拐弯处的运输量均减去调整量 并取差值为0的一个拐弯处作为空格 差值为0的拐弯处不只一个时 称为退化情形 此时 可任取一个拐弯处作为空格 其他拐弯处的差值0应看作运输量 得到一个新的调运方案 5 对新调运方案 重复 1 4 注意 对于退化情形 若所有检验数为负的空格的闭回路的偶数号拐弯处都包含有运量为0的格 则对应的闭回路无运量调出 此方案即为最优 例如例1中初始调运方案的优化 表1 25运输平衡表与运价表 调整量 q min 30 20 20 初始调运方案的检验数 12 18 16 25 15 12 13 19 17 25 15 12 21 20 14 16 25 3 0 物资调运方案的优化 表1 26运输平衡表与运价表 例1中第二调运方案的优化 表1 27运输平衡表与运价表 调整量 q min 20 40 20 第二个方案的检验数 l12 18 14 20 15 9l13 19 17 16 14 20 15 9 l23 15 17 16 14 0l24 17 20 15 13 1 0 物资调运方案的优化 表1 27运输平衡表与运价表 调整量 q min 20 40 20 物资调运方案的优化 表1 28运输平衡表与运价表 第三个方案的检验数 l12 18 13 17 14 8l13 19 17 16 14 17 13 8l21 20 15 13 17 1l23 15 17 16 14 0l31 25 15 13 17 14 16 4l34 22 16 14 17 3 例1中最优方案与最低运输总费用 minS 30 15 20 13 10 14 20 17 50 16 20 17 2330 元 结论 任何平衡运输问题必有最优调运方案 物资调运问题 不平衡运输问题 平衡运输问题 本章知识小结 用最小元素法编制初始调运方案 按顺序的空格找闭回路 求检验数 所有检验数非负 出现负检验数 最有调运方案 计算最低运输费用 优化调整 得新方案 物流管理定量分析方法 第二章资源合理利用的线性规划法 2 1资源合理利用的线性规划模型 物资调运问题 例1现有三个产地A B C供应某种商品 供应量分别为50吨 30吨 70吨 有四个销地 需求量分别为30吨 60吨 20吨 40吨 产地A到销地 的每吨商品运价分别为15元 18元 19元 13元 产地B到销地 的每吨商品运价分别为20元 14元 15元 17元 产地C到销地 的每吨商品运价分别为25元 16元 17元 22元 如何求出最优调运方案 试建立线性规划模型 列表分析题意 上页 下页 2 1资源合理利用的线性规划模型 2 确定目标函数 目标函数就是使问题达到最大值或最小值的函数 设运输总费用为S 故目标函数为 minS 15x11 18x12 19x13 13x14 20 x21 14x22 15x23 17x24 25x31 16x32 17x33 22x34其中minS表示使运输总费用S最小 3 考虑约束条件 约束条件就是各种资源的限制条件及变量非负限制 建立例1的线性规划模型 1 引进变量设产地A运往销地 的运输量分别为x11 x12 x13 x14 产地B运往销地 的运输量分别为x21 x22 x23 x24 产地C运往销地 的运输量分别为x31 x32 x33 x34 产地A的总运出量应等于其供应量 即x11 x12 x13 x14 50同理 对产地B和C 有x21 x22 x23 x24 30 x31 x32 x33 x34 70运进销地 的运输量应等于其需求量 即x11 x21 x31 30 同理 对销地 有x12 x22 x32 60 x13 x23 x33 20 x14 x24 x34 40运输量应非负 故 约束条件为 4 写出线性规划问题 物流管理中的线性规划问题 例2某物流企业计划生产A B两种产品 已知生产A产品1公斤需要劳动力7工时 原料甲3公斤 电力2度 生产B产品1公斤需要劳动力10工时 原料甲2公斤 电力5度 在一个生产周期内 企业能够使用的劳动力最多6300工时 原料甲2124公斤 电力2700度 又已知生产1公斤A B产品的利润分别为10元和9元 试建立能获得最大利润的线性规模型 建立例2的线性规划模型 解 1 设置变量 设生产A产品x1公斤 生产B产品x2公斤 2 确定目标函数 maxS 10 x1 9x2 3 考虑约束条件 生产A产品x1公斤需要劳动力7x1工时 生产B产品x2公斤需要劳动力10 x2工时 生产A B产品所需劳动力总和不能超过企业现有劳动力 即有7x1 10 x2 6300同理 对原料甲及电力 有3x1 2x2 21242x1 5x2 2700产品产量应非负 故 约束条件为 4 写出线性规划模型 变量 就是待确定的未知数 也称决策变量 变量一般要求非负 目标函数 某个函数要达到最大值或最小值 也即问题要实现的目标 就是目标函数 目标是求最大值的 用max 求最小值的 用min 约束条件 就是变量所要满足的各项限制 包括变量的非负限制 它是一组包含若干未知数的线性不等式或线性等式 资源包括人力 资金 设备 原材料 电力等 要根据各种资源的限制 确定取等式或不等式 将目标函数与约束条件写在一起 就是线性规划模型 我们通常将目标函数写在前面 约束条件写在目标函数的后面 设置变量 确定目标函数 考虑约束条件 写出线性规划模型 2 2矩阵的概念整存整取定期储蓄 存期 三个月 六个月 一年 二年 年利率 2 88 4 14 5 67 5 94 北京市居民超表纪录卡 学生成绩表 上面这些长方形表 抽象出来就是我们要讲的矩阵 Y ax 这里对矩阵作一些说明 矩阵一般用大写英文字母 表示 如 等 横向称行 竖向称列 每一个位置上的数都是A的元素 5是 矩阵 如1是 的第2行第2列的元素 记为 的第1行第4列的元素 记为 补充内容 特别地 当 时 矩阵只有一行 即 时 矩阵只有一列 即 时 矩阵的行列数相同 即 当 称为行矩阵 称为列矩阵 当 称为 阶矩阵 或 阶方阵 在n阶矩阵中 从左上角到右下角的对角线称为主对角线 从右上角到左下角的对角线称为次对角线 行列数相同的矩阵称为同型矩阵 即 两个矩阵的行数相等 列数也相等时 中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为 负矩阵 在矩阵 记为 例如 这里 是 的负矩阵 零矩阵所有元素都为零的矩阵 例如 单位矩阵 主对角线上的元素全是1 其余元素全是0的 阶矩阵 称为单位 或 特殊矩阵 矩阵 记作 数量矩阵 主对角线上的元素为同一个数 其余元素全是0的 阶矩阵 称为数量矩阵 记作 对角矩阵 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵 即 有时也记作 或 三角矩阵 主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵 它形如 主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵 它形如 对称矩阵 若矩阵A aij 是n阶方阵 且满足aij aji 对任意i和j均成立 则称A为对称矩阵 矩阵加法 用 记为 的和 即 规定如下 同形 于是 同形 1 2 对应元素分别相加 例 A 2 14 136 B 053 211 求A B A B 2 0 1 54 3 1 23 16 1 247 147 矩阵的数量乘法 则 同形 即 中每个素都乘以 特别地 注意 中定义为 等式左边是数0与矩阵 的乘积 而右边是零矩阵 1 和 2 其中 1 仅当 时 才能做乘法 2 若 则 3 若 则 行乘列法则 设 将 第一行元素写在 第一列处 第二行元素写在 第二列处 的转置矩阵 矩阵的转置 这样就可得到 逆矩阵 可表为 可逆矩阵 如果存在一个矩阵 使得 则称 是可逆矩阵 称 是 的逆矩阵 记为 1 设矩阵 例2 1某公司准备投资200万元兴办A B两种第三产业 以解决公司800名剩余劳动力的工作安排问题 经调查分析后得知 上述A种第三产业每万元产值需要劳动力5人 资金2 50万元 可得利润0 50万元 B种第三产业每万元产值需要劳动力7 5人 资金1 25万元 可得利润0 65万元 问如何分配资金给这两种第三产业 使公司既能解决800名剩余劳动力的安排问题 又能使投资所得的利润最大 试写出线性规划模型 不要求求解 分析 解 1 确定变量 设投资A种第三产业x1万元产值 投资B种第三产业x2万元产值 显然 x1 0 x2 0 2 确定目标函数 设利润为S 则目标函数为 maxS 0 50 x1 0 65x2 3 列出各种资源的限制 劳动力限制 A种第三产业每万元产值需要劳动力5人 故A种第三产业共需要劳动力5x1人 同理 B种第三产业共需要劳动力7 5x2人 800名剩余劳动力都需要安排 故5x1 7 5x2 800资金限制 A种第三产业共需要资金2 50 x1万元 B种第三产业共需要资金1 25x2万元 故2 50 x1 1 25x2 200 4 写出线性规划模型 例2 2设 求 1 2BT A 2 AB解 2BT 2BT A AB 例2 3写出用MATLAB软件求矩阵A 的逆矩阵的命令语句 解 用MATLAB软件求A的逆矩阵的命令语句为 A 3 45 2 31 3 5 1 inv A 例2 4写出用MATLAB软件将线性方程组 的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句 解 用MATLAB软件将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句为 A 12 14 2 111 17 411 B 2 1 5 D AB rref D 例2 5写出用MATLAB软件解下列线性规划问题的命令语句 物流管理定量分析方法 第三章 经济批量问题相关的概念 库存 指处于储存状态的物品或商品 经济批量模型 通过平衡进货采购成本和库存保管成本 确定一个最佳的订货数量来实现最低总成本的方法 经济批量 或最优订货批量 是使年库存成本与订货成本之和最小的订货批量 经济批量问题 例1设某公司按年度计划需要某种物资D单位 已知该物资每单位每年库存费为a元 每次订货费为b元 为了节省总成本 分批订货 假定公司对这种物资的使用是均匀的 如何求订货与库存总成本最小的订货批量 年平均库存量 设订货批量为q单位 由假定 平均库存量为q 2 因为每单位该物资每年库存费为a元 则 年库存成本 q 2 a 可见 库存成本与订货批量成正比 如图1 年库存成本 年订货成本 该公司每年需要该物资D单位 即年订货次数为D q 因为每次订货费为b元 则 年订货成本 D q b 可见 订货成本与订货批量成反比 如图2 年订货与库存总成本 年订货与库存总成本C q 由年库存成本与年订货成本组成 即如图3 其中q 为经济批量 小结 年库存成本 年订货成本 年订货与库存总成本 常量 只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的 如圆的面积与半径的关系 S 考虑半径r可以变化的过程 面积和半径叫做变量 变量 可取不同值的量变域 变量的取值范围 函数 我们考虑问题的过程中 不仅是一个变量 可能有几个变量 比如两个变量 要研究的是两个变量之间有什么关系 什么性质 函数就是变量之间确定的对应关系 比如股市中的股指曲线 就是时间与股票指数之间的对应关系 又如银行中的利率表 函数定义设x y是两个变量 x的变域为D 如果存在一个对应规则f 使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与x对应 则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个函数 并将由对应规则f所确定的x与y之间的对应关系 记为 称x为自变量 y为因变量或函数值 D为定义域 我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系 集合 称为函数的值域 1 常数函数 y c 这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数 它在直角坐标系中的图形就是一条水平线 2 幂函数 y x R 以x为底 指数是一个常数 当 1时就是y x 它的图形是过原点且平分一 三象限的直线 当 2时就是y x2 它的图形是过原点且开口向上的抛物线 当 3时就是y x3 它的图形是过原点的立方曲线 3 指数函数 y ax a 0 a 1 底数是常数 指数是变量 例如y ex y x 所有指数函数的图形都过 0 1 点 当a 1时 函数单调增加 当a 1 基本初等函数 时 函数单调减少 4 对数函数 y logax a 0 a 1 以a为底的x的对数 例如y lnx y log2x y 所有对数函数的图形都过 1 0 点 当a 1时 函数单调增加 当a 1时 函数单调减少 5 三角函数 正弦函数 y sinx 余弦函数 y cosx 例1设国际航空信件的邮资 与重量 的关系是 求 解 用3替代 由第一个关系式表示 得到 同样可以得到 用20替代 由第二个关系式表示 得到 分段函数 经济分析中常见的三种函数 第一种叫做成本函数 第二种叫做收入函数 第三种叫做利润函数 我们先介绍成本函数 一种产品的成本可以分为两部分 固定成本 比如 生产过程中的设备投资 或使用的工具 不管生产产品与否 这些费用都是要有的 它是不随产量而变化的 这种成本称为固定成本 变动成本 比如每一件产品的原材料 这些费用依赖于产品的数量 这种成本称为变动成本 总成本就是固定成本加上变动成本C 经济函数 成本应与产品的产量有关 这种函数表示为C q c0 C q 这就是成本函数 其中总成本C q 是产量q的函数 c0与产量无关 变动成本C q 也是产量q的函数 我们引入平均成本的概念 总成本除以产量q 就是产量为q时的平均成本 用 来表示 1 总成本函数 2 利润函数 对于运输企业 利润 运输收入 总成本设运输某商品q单位的价格为p 则收入函数为R q pq我们将需求量q表示为p的函数 称为需求函数设成本函数为C q 则利润函数为 L q R q C q 设某物流公司运输q件某商品的固定成本为1000元 单位变动成本为20元 件 该商品的需求函数为q 200 5p 求利润函数 解 成本函数为 C q 1000 20q收入函数为 R q pq q 40 0 2q 则利润函数为 L q R q C q q 40 0 2q 1000 20q 极限的概念研究函数是利用极限的方法来进行 极限是一个变量在变化过程中的变化趋势 例1圆的周长的求法 早在公元263年 古代数学家刘徽用圆内接正四边形 正五边形 正八边形 正十六边形 等的边长近似圆的周长 显然随着边数的增加 正多边形的边长将无限趋近圆的周长 例2讨论当 时 的变化趋势 导数 例3讨论一个定长的棒 每天截去一半 随着天数的增加 棒长的变化趋势 一尺之棰 日截其半 万世不竭 庄子 天下 函数极限概念 P151定义3 7 或 记为 导数概念三个引例边际成本问题瞬时速率问题曲线切线问题引例1 边际成本问题 总产量 当自变量产生改变量 相应的函数也产生改变量 已知 C 总成本 导数 成本平均变化率 导数的定义 P158定义3 10 导数公式 导数的加法法则 在点 处可导 则 在点 处可导亦可 为常数 设 导 且 导数的乘法法则 导数的除法法则 边际概念 导数在经济分析中的应用 1 边际成本在引进导数概念时 我们已经接触过边际成本概念 譬如说在连续化生产的工厂中 可以知道总成本与总产量之间的函数关系 由此可以求出平均成本 即总成本除总产量就是平均成本 同时又引进了边际成本的概念 就是总产量达到一定时刻 再增加生产一个单位产量时 单位成本增加量 成本函数的导数就是边际成本 产量 成本函数 平均成本函数 产量为 时的边际成本函数 用MC表示 时 再生产一个单位产品所增加的成本 经济意义 产量为 2 边际收入 q 运输量 R q 收入函数 收入的平均变化率 边际收入 边际收入是收入函数关于运输量q的导数 用MR表示 3 边际利润 q 运输量 L q 利润函数 边际利润 用ML表示 因为利润函数等于收入函数减去总成本函数 即L q R q C q 两边求导得 ML q MR q MC q 先考察y 它的图形是抛物线线在x 0处 函数单调上升 在x 0处 函数单调下降 当在x 0这一边的每一点处都有切线时 切线的特征是 切线与x轴正向的夹角一定小于90 当在x 0这一边的每一点处都有切线时 切线的特征是 切线与x轴正向的夹角一定大于90 定理设函数y f x 在区间 a b 上连续 在区间 a b 内可导 1 如果x a b 时 x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果x a b 时 x 0 则f x 在 a b 上单调减少 意义 利用导数的符号判别函数的单调性 说明 闭区间 a b 换成其它区间 如 b a 使定理结论成立的区间 称为y f x 的单调区间 极值概念3 2函数极值3 2 1函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值 先看定义 定义3 1设函数f x 在点x0的某邻域内有定义 如果对该邻域内的任意一点x x x0 恒有f x f x0 则称f x0 为函数 的极大 小 值 称x0为函数 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 极大值点与极小值点统称为极值点 大家看下面这个图形 的极大 小 值点 哪些点是极大值点呢 可以看到x1是极大值点 x4也是极大值点 端点b是不是极大值点呢 极大值点是指它的函数值要比周围的值都大 而端点b的右边是没有函数值 所以它不是极大值点 极值点即导数等于零或导数不存在的点 极大值点 x1 x4 极小值点 x2 x5 再找一找哪些是极小值点 x2是一个极小值点 x5也是一个极小值点 x3是极大值点还是极小值点呢 不是 它不是极值点 因为找不到一个小范围 使它的函数值成为最大或最小 最大值 最小值及其求法极值与最值的区别 极值是在其左右小范围内比较 最值是在指定的范围内比较所以 说到最大 小 值 要使问题提得明确 就必须明确指定考虑的范围 如果在指定的范围内函数值达到最大 它就是最大值 这个函数在区间 a f 内的极大值点是 b d 极小值点是c e 现在要问这个函数在闭区间 a f 上最大值点是哪一个 那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点 从图中可以看出 端点f处的函数值最大 所以点f就是该函数在区间 a f 上的最大值点 同样 从图中可以看出c是区间 a f 上最小值点 y x 0 abcdef 明确了最值点与极值点的区别后 最值点的求法也就较容易得到了 函数f x 在 a b 上的最值点一定在端点 驻点和不可导点中 端点 a b驻点 使 x 0的点 不可导点 x 不存在的点 求经济批量的实例 例1设某公司平均每年需要某材料80000件 该材料单价为20元 件 每件该材料每年的库存费为材料单价的20 为减少库存费 分期分批进货 每次订货费为400元 假定该材料的使用是均匀的 求该材料的经济批量 解设订货批量为q件 则平均库存量为q 2件 该材料每件每年库存费为20 20 元 年库存成本 q 2 20 20 年订货次数为80000 q 每次订货费为400元 年订货成本 80000 q 400 故年订货与库存总成本函数为 对年库存总成本函数求导得 得q 0内的惟一驻点 q 4000 件 即经济批量为4000件 80000 q 400 C q q 2 20 20 小结 列出库存总成本函数 求导 求驻点 得到经济批量 令 求最小平均成本的实例 例56 设某公司运输某物资q个单位时的总成本 单位 万元 函数是 C q q2 4 6q 100 问运输量为多少时 平均成本最小 解平均成本函数为 求导数 得 令 得惟一驻点q 20 运输量不能为负值 故 当运输量q 20单位时平均成本最小 求最大利润的实例 例57 设物流市场的运价p 单位 百元 吨 与运输量q 单位 吨 的关系是q 50 5p 运输总成本函数C q 2 4q 求最大利润时的运输量及最大利润 解由运输需求函数q 50 5p得价格p q 5 10 收入函数为 R q pq q 5 10 q q2 5 10q利润函数为 L q R q C q q2 5 6q 2求导数 得 令 所以 获最大利润时的运输量是q 15吨 最大利润为 L 15 1 5 152 6 15 2 43 百元 0得惟一驻点q 15 吨 例3 1已知某厂生产某种产品的成本函数C q 500 2q 其中q为该产品的产量 如果该产品的售价定为每件6元 试求 1 生产该产品的固定成本 2 利润函数 3 当产量q为250件时的平均成本 解 1 固定成本就是当产量为零时的总成本 设为C0 有C0 C 0 500 元 2 由题意知 收入函数R q 6q 因此 利润函数L q R q C q 6q 500 2q 4q 500 3 平均成本函数 当产量q 250件时 平均成本 例3 2求下列函数的导数 1 设 2 设 解 1 2 例3 3写出用MATLAB软件求函数 的导数的命令语句 解 用MATLAB软件求导数的命令语句为 clear symsxy y log x sqrt 1 x 2 diff y 例3 4写出用MATLAB软件求函数 的二阶导数的命令语句 解 用MATLAB软件求导数的命令语句为 clear symsxy y exp 3 x x 3 x diff y 2 边际成本函数就是成本函数的导数 确定运输量时的边际成本就是相应的导数值 例3 6某工厂生产某种商品 年产量为q 单位 百台 成本为C 单位 万元 其中固定成本为2万元 而每生产1百台 成本增加1万元 市场上每年可以销售此种商品4百台 其销售收入R是q的函数R q 4q 0 5q2q 0 4 问年产量为多少时 其利润最大 解 因为固定成本为2万元 生产q单位商品的变动成本为1 q万元 所以成本函数C q q 2由此可得利润函数L q R q C q 3q 0 5q2 2又因为 3 q 令 0 得驻点q 3 这里 q 3是利润函数L q 在定义域内的唯一驻点 所以 q 3是利润函数L q 的极大值点 而且也是L q 的最大值点 即当年产量为3百台时 其利润最大 例3 7设某企业平均每年需要某材料20000件 该材料单价为20元 件 每件该材料每年的库存费为材料单价的20 为减少库存费 分期分批进货 每次订货费为400元 假定该材料的使用是均匀的 求该材料的经济批量 解 设订货批量为q 则库存总成本为 令 得q 0内的唯一驻点q 2000 件 故 经济批量为2000件 4 1由边际成本确定成本的微元变化 微分 引例 成本函数 的导数 又称为边际成本 记为 MC Q 表示成本函数在Q处的变化率 当 很小时 成本函 数在 的微小变化可表示为 当 时 记为 表示成本函数在Q处的微元变 化 称为成本函数在Q处的微分 对于一般函数y f x 引进微分概念如下 定义4 1 设函数y f x 在点x0处可导 Dx为x的改变量 则称 为函数y f x 在点x0处的微分 记作 并称函数y f x 在点x0处是可微的 如果函数y f x 在区间 a b 内的每一点都可微 则称函数y f x 在区间 a b 内可微 记作dy或df x 即 即 当y f x x时 有 即自变量x的微分dx即为自变量增 量 x 于是函数的微分可写成 由微分式 可得 可得 故导数又称为微商 计算函数y f x 的微分 实际上可归结为计算导数 y 0 x x0 X0 x A B C X dy y 例1 设运输某物品q个单位时的边际成本为 求运输量从a 单位增加到b单位时成本的增量 解运输量从a单位增加到b单位时成本的增量为 由于运输量从a单位增加到b单位过程中成本的增量是成本函数C q 在 a b 的每一点处微元变化的累积 即 此和式对 a b 的每一点q求连续和 此和式有意义时 称为 在 a b 上的定积分 记为 定积分的定义和性质 定义4 2设函数f x 在区间 a b 上有定义 且和式 故运输量从a单位增加到b单位时成本的增量 即 一般地 有意义 称之为函数 在 a b 上的定积分 记为 即 且若有 则有 称为积分号 x称为积分变量 称为被积函数 称为被积表达式 a和b分别称为积分的下限和上限 a b 称为积分区间 例5 由曲线y f x f x 0 直线x a x b和x轴所围成的图形称为曲边梯形 如图4 2所示 求曲边梯形的面积 其中 成本增量可记为 由定义4 2可知 曲边梯形面积可记为 由定积分的概念 容易得到下列几个简单结果 1 2 3 4 2 2微积分基本定理 定理4 1对被积函数f x 若有 则 此公式称为牛顿 莱布尼兹 N L 公式 简称为N L公式 它是积分学的基本公式 例7 计算定积分 解 因为 22 2 12 1 2 所以 已知求总成本函数边际成本 C x C x M