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工程流体力学 流体力学与热力学教研室 第1章绪论 目录 第2章流体静力学 第3章流体动力学原理 第4章管流损失和水力计算 第5章气体的一维定常流动 返回目录 人类对流体力学的认识最早从治水 灌溉 航行等方面开始 中国古代提水灌溉所用风车 大禹治水 都江堰 李冰 302 235BC 发现了物体在流体中所受浮力的基本原理 阿基米德原理 Archimedes 285 212BC 欧美诸国历史上有记载的最早从事流体力学现象研究的是古希腊学者阿基米德 LeonardodaVinci 1452 1519 系统地研究了物体的沉浮 孔口出流 物体的运动阻力以及管道 明渠中水流等问题 文艺复兴时期 14世纪到16世纪 之后 流体力学得到长足发展 Galileo 1564 1642 在流体静力学中应用了虚位移原理 并首先提出运动物体的阻力随着介质密度的增大和速度的提高而增大 提出了密闭流体能传递压强的原理 帕斯卡原理 B Pascal 1623 1662 I Newton 1642 1727 建立了牛顿内摩擦定律 为粘性流体力学初步奠定了理论基础 并讨论了波浪运动等问题 D Bernoulli 1700 1782 建立了流体位势能 压强使能和动能之间的能量转换关系 伯努利方程 从18世纪中叶工业革命开始 流体力学的研究逐渐沿着理论流体力学和应用流体力学两个方向发展 经典流体力学的奠基人 涡轮机理论的奠基人 提出连续介质模型建立连续性微分方程建立理想流体的运动微分方程提出研究流体运动的两种方法提出速度势概念 L Euler 1707 1783 J leR d Alembert 1717 1783 1744年提出了达朗贝尔佯谬 即在理想流体中运动的物理既没有升力也没有阻力 提出了新的流体动力学微分方程 使流体动力学的解析方法有了进一步发展 J L Lagrange 1736 1813 C L M H Navier 1785 1836 G G Stokes 1819 1905 19世纪末开始 针对复杂的流体力学问题 理论分析和实验研究逐渐密切结合起来 1883年用实验验证了粘性流体的两种流动状态 层流和紊流的客观存在 找到了实验研究粘性流体运动规律的相似准则 雷诺数 以及判别层流和紊流的临界雷诺数 O Reynolds 1842 1912 L Prandtl 1875 1953 建立边界层理论 解释了阻力产生的机制针对紊流边界层 提出混合长度理论 儒科夫斯基H E 1847 1921 找到了翼型升力和绕翼型的环流之间的关系 建立了二维升力理论的数学基础 为近代高效能飞机设计奠定了基础 提出了分析带旋涡尾流及其所产生的阻力的理论 卡门涡街提出了计算紊流粗糙管阻力系数的理论公式 T vonKarman 1881 1963 主要从事物理学的基础理论中难度最大的两个方面 即爱因斯坦广义相对论引力论和流体力学中的湍流理论的研究与教学并取得出色成果 在动力 制导 气动力 结构 材料 计算机 质量控制和科技管理等领域具有丰富知识 为中国火箭导弹和航天事业的创建与发展作出了杰出的贡献 周培源 1902 1993 钱学森 1911 流体的特征 流体只能承受压力 不能承受拉力 在即使是很小剪切力的作用下也将流动 变形 不止 直到剪切力消失为止 只有在运动状体下才能承受剪切力的作用 没有固定的形状 液体的形状取决于盛装它的容器 气体则完全充满容器 流体具有可压缩性 液体可压缩性小 水受压从1个大气压增加至100个大气压时 体积仅减小0 5 气体可压缩性大 流体具有明显的流动性 固体 液体 气体的区别 5 流体力学的研究方法 理论分析 实验研究和数值计算相结合 三个方面是互相补充和验证 但又不能互相取代的关系 卡门涡街 实验研究 PIV 数值计算 6 流体力学在工程中的应用 航空航天 水利 采矿通风 交通土建 石油化工 机械冶金 环境 气象 生物 1 问题的提出 从微观上看 由于构成流体的无数分子之间存在间隙 流体不连续 从宏观上看 流体力学并不研究流体的微观分子运动 而只研究流体的宏观机械运动 当所讨论问题的特征尺寸远大于流体的分子平均自由程时 可将流体视为在时间和空间连续分布的函数 2 流体质点 是研究流体的机械运动中所取的最小流体微元是体积无限小而又包含大量分子的流体微团从宏观看 和流动所涉及的物体的特征长度相比 该微团的尺度充分小 在数学上可以作为一个点来处理从微观看 和分子的平均自由行程相比 该微团的尺度又充分的大 包含有足够多的分子 使得这些分子的共同物理属性的统计平均值有意义 3 连续介质模型 不必去研究流体的微观分子运动 而只研究描述流体运动的宏观物理属性 如密度 压强 速度 温度 粘度 热力学能等 不考虑分子间存在的间隙 而把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质 按照连续介质模型 流体的密度 压强 速度 温度等物理量一般在时间和空间上都是连续分布 是空间坐标和时间的单值连续可微函数 这样可以用解析函数的诸多数学工具去研究流体的平衡和运动规律 为流体力学的研究提供了很大的方便 例外情况 超声速气流中出现激波在空气非常稀薄的高空中运动的飞行器 解析函数不适用 分子的平均自由行程和飞行器的特征尺寸相比拟 均质流体 式中 m为流体的质量 V为流体的体积 非均质流体 式中 V为在空间某点取的流体体积 流体的质量为 m 4 水的密度 1000kg m30 水银的密度 13600kg m30 空气的密度 1 29kg m3 常用流体的密度值 3 流体的压缩性 流体在一定温度下 压强增高 体积缩小 体积压缩率 在一定温度下单位压强增量引起的体积变化率 单位Pa 1 为了保证压缩率为正 故加上负号 可见 对于同样的压强增量 值大的流体体积变化率大 容易压缩 值小的流体体积变化率小 不容易压缩 式中 p为压强增量 V为体积的变化量 体积弹性模量 为压缩率的倒数 单位为Pa 可见 K值大的流体压缩性小 K值小的流体压缩性大 4 流体的膨胀性 温度升高 体积膨胀 体胀系数 在一定压强下单位温升引起的体积变化率 单位1 k或1 C 式中 T为温度的增量 通常情况下 水和其它液体可视为不可压缩流体 而将气体视为密度可变的可压缩流体特例 水下爆炸 水击 热水采暖需考虑水的压缩性和膨胀性 当气体流速比声速小很多时 也可视为不可压缩流体 流体的压缩性和膨胀性 5 流体的粘性 牛顿粘性应力公式 牛顿发现 并且F与流体的种类有关 即 式中 为流体的动力粘度 与流体的种类 温度 压强有关 在一定的温度压强下为常数 单位Pa S U h为速度梯度 表示在速度的垂直方向上单位长度的速度增量 单位S 1 A为两平板的接触面积 切向应力是指流层间单位面积上的内摩擦力 即 当流动为二维非线性速度分布时 牛顿粘性应力公式可表示为 各流层间的切向应力和速度梯度成正比 流体流动的速度梯度与流体微团的角变形速度的关系为 牛顿粘性应力公式用流体微团的角变形速度可表示为 各流层间的切向应力和流体微团的角变形速度成正比 在流体力学中还常遇到动力粘度与密度的比值 即运动粘度 单位为m2 s 流体粘性的形成因素 通常情况下形成流体粘性的因素有两个方面 一是流体分子间的引力在流体微团相对运动时形成的粘性 二是流体分子的热运动在不同流速流层间的动量交换所形成的粘性 当温度升高时 气体的粘性增大 液体的粘性减小 对于气体 形成粘性的主要因素是分子的热运动 对于液体 形成粘性的主要因素是分子间的引力 例题1 如图所示 转轴直径d 0 36m 轴承长度l 1m 轴与轴承之间的间隙 0 2mm 其中充满动力粘度 0 72Pa s的油 如果轴的转速n 200r min 求克服油的粘性阻力所消耗的功率 解 油层与轴承接触面上的速度为零 与接触面上的速度等于轴面上的线速度 轴表面上的切向力为 克服摩擦所消耗的功率为 例题2 如图所示 上下两平行圆盘的直径为d 两盘之间的间隙为 间隙中流体的动力粘度为 若下盘不动 上盘以角速度 旋转 不记空气的摩擦力 求所需力矩M的表达式 解 假设两盘之间流体的速度为直线分布 上盘半径r处的切向应力为 所需力矩为 6 理想流体 没有粘性的流体 即 0 理想流体是假想的流体模型 客观上并不存在 实际流体都是有粘性的 可以把实际流体看成理想流体的情况 实际流体的粘性显现不出来 如静止的流体 等速直线运动的流体等粘性不起主导作用 采用理想流体假设可以大大简化理论分析过程 7 牛顿流体和非牛顿流体 牛顿流体 切向应力和流体的速度梯度成正比的流体 即满足牛顿粘性应力公式的流体 非牛顿流体 不满足牛顿粘性应力公式的流体 其一般表示式为 式中 为流体的表观粘度 k为常数 n为指数 A 理想流体 如水和空气B 理想塑性体 如牙膏C 拟塑性体 如粘土浆和纸浆D 胀流型流体 如面糊 为了研究流场中流体平衡和运动的规律 必须分析作用在流体上的力 作用在流体上的力按其性质 作用方式 的不同 可分为 表面力 流体分离体以外的物体作用在分离体上的力质量力 某种力场作用在全部质点上的力 1 表面力 作用在分离体表面上的表面应力为 法向应力和切向应力分别为 pn与n的方位不一致 其大小和点的坐标 时间以及作用面的方位有关 即 pn f x y z n t 2 质量力 常见的质量力有 单位质量力 某种力场作用在单位质量流体上的质量力 注意 惯性力是根据达朗贝尔原理虚加在做加速运动物理上的力 重力惯性力 对于如图所示竖直向下做加速运动的容器 单位质量力三个坐标轴方向的质量力分布为 返回目录 研究流体平衡的条件及压强分布规律研究流体与固体间的相互作用及其工程应用 静止或平衡状态 相对静止或相对平衡平衡状态 流体相对于地球没有运动 流体相对于非惯性坐标系没有运动 流体静力学研究的是流体平衡的规律 在研究流体平衡时 通常将地球选作惯性坐标系 1 流体静压强 当流体处于静止或相对静止状态时 作用在流体上的力只有法向应力 没有切向应力 此时的法向应力就是演作用面内法线方向的静压强 用符号p表示 单位为Pa 2 流体静压强的特性 特性一 流体静压强的方向沿作用面的内法线方向 特性二 静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关 是点的坐标的连续可微函数 如图所示 在静止流体中的点A取一微元四面体 与坐标轴相重合的边长分别为 x y z 三角形 BCD的面积设为S 各微小平面中心点上的压强分别为px py pz 单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为fx fy fz 由于流体静止 则作用在四面体上的力平衡 即 以x坐标轴方向为例 作用在四面体上的力在x方向上的平衡方程为 因为 故上式简化为 让四面体无限缩小到点A 上式第二项为无穷小 可以略去 故得 同理 即 可见 在静止流体中任一点上任意方向的压强相等 是空间坐标的连续函数 即 1 流体平衡微分方程式 在静止流体中取一边长分别为 x y z的微小立方体 中心点为a x y z 该点的密度为 静压强为p 作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为 以微小立方体的质量 x y z除以上式 得a点在x方向的平衡方程 写成矢量形式 上式即为流体平衡微分方程 又称为欧拉平衡微分方程 该式的物理意义为 在静止流体内的任一点上 作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡 该方程对不可压缩流体和可压缩流体的静止和相对静止状态都适用 是流体力学的基本方程 2 压强差公式和等压面 等压面 将流体平衡微分方程的两端分别乘以dx dy dz 然后相加 得 即 在流场中压强相等的点组成的面 dp 0 p x y z const 压强差公式 表明流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量 等压面的微分方程 表明在静止的流体中作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面 写成矢量形式 1 流体静力学基本方程式 在重力场中 单位质量力只有重力 即 代入压力差公式得 积分得 方程两边同除以 g 得 如图所示 上式可写成 流体静力学基本方程式 适用于重力作用下静止的不可压缩流体 2 流体静力学基本方程式的物理意义 z 单位重量流体的位置势能p g 单位重量流体的压强势能z p g 单位重量流体的总势能 方程的物理意义是 在重力作用下 静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变 如图所示 玻璃管上端抽真空 对于a点和b点 流体力学基本方程式为 即a点与真空的压强差对单位重量流体做的功变成了单位重量流体的位置势能 计示静水头线 3 流体静力学基本方程式的几何意义 水头 单位重量流体的势能具有长度的单位 可以用液柱高度来表示 z 位置水头p g 压强水头z p g 静水头 静水头线 积分常数根据自由表面上的边界条件确定 4 重力作用下静止液体内的静压力分布 在重力场中 单位质量力只有重力 即 代入压力差公式积分得 所以任意坐标z处的压强为 在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中 静压强由两部分组成 自由表面上的压强p0淹没深度为h 密度为 的流体柱产生的压强 gh 帕斯卡原理 自由液面上的压强将以同样的大小传递到液体内部的任意点上 5 绝对压强 计示压强 真空和真空度 绝对压强 以完全真空为基准计量的压强 如p pa gh中的p 计示压强 相对压强 以当地大气压强为基准计量的压强 如pe p pa gh中的pe 真空 当流体的绝对压强低于大气压强时 该区域处于真空 计示压强为负值时 负计示压强用真空度表示 即 pv pe pa p 真空度 6 液柱式测压计 测压管是一种最简单的液柱式测压计 为了减少毛细现象所造成的误差 采用一根内径为10mm左右的直玻璃管 测量时 将测压管的下端与装有液体的容器连接 上端开口与大气相通 测压管 U形管测压计 这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管 测量时 管的一端与被测容器相接 另一端与大气相通 U形管内装有密度 2大于被测流体密度 1的液体工作介质 如酒精 水 四氯化碳和水银等 一定要注意 工作介质不能与被测流体相互掺混 由于1和2点在同一流体的等压面上 故 故有 其中 被测液体的压强高于大气压强 被测液体的压强低于大气压强 U形管压差计 由于1 2两点在同一等压面上 故有 A B两点的压强差为 若被测流体为气体 由于气体的密度很小 1gh可以忽略不计 倾斜式微压计 用于测量气体的压强 测量精度较高 可测较微小的压强和压强差 A2 A1 pa p h h l 0 0 两液面的高度差为 所测的压强差为 例题1 已知h1 600mm h2 250mm h3 200mm h4 300mm h5 500mm 1 1000kg m3 2 800kg m3 3 13598kg m3 求A B两点的压强差 解 图中1 1 2 2 3 3均为等压面 可以逐个写出有关点的静压强为 联立求解得 A B两点的压强差为 例题2 两圆筒用管子连接 内充水银 第一个圆筒直径d1 45cm 活塞上受力F1 3197N 密封气体的计示压强pe 9810Pa 第二圆筒直径d2 30cm 活塞上受力F2 4945 5N 开口通大气 若不计活塞质量 求平衡状态时两活塞的高度差h 已知水银密度 13600kg m3 解 在F1 F2作用下 活塞底面产生的压强分别为 图中a a为等压面 第一圆筒上部是计示压强 第二圆筒上部的大气压强不必计入 故有 1 水平等加速直线运动容器中液体的相对平衡 单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为 代入压强差公式得 积分上式得 根据边界条件 x 0 y 0 z 0时p p0 代入上式得积分常数C p0 故有 水平等加速直线运动容器中液体静压强的分布规律 流体静压强的分布规律 等压面方程 以 xs ys zs 表示自由液面上点的坐标 由于在自由液面上的任意一点都有p p0 所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为 将质量力代入等压面方程得 积分上式得 等压面方程 不同的积分常数C1代表不同的等压面 等压面与水平面之间的夹角为 如果y坐标都相同 对于液面内任意一点 有 将上式代入静压强分布规律得 等加速直线运动容器中 液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为 的液柱产生的压强 gh之和 2 等角速旋转容器中液体的相对平衡 作用在半径为r处的液体质点上的单位质量力沿坐标轴的分量为 流体静压强的分布规律 代入压强差公式得 积分上式得 根据边界条件 r 0 z 0时p p0 代入上式得积分常数C p0 故有 等角速旋转容器中液体静压强的分布规律 等压面方程 将质量力代入等压面方程得 积分上式得 等压面方程 是以z轴为旋转轴的旋转抛物面方程 不同的积分常数C1代表不同的等压面 以下标s表示自由液面上点的坐标 由于在自由液面上的任意一点都有p p0 所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为 如果考察的是相同半径r处的情况 则由上式得液面下任一点处 将上式代入静压强分布规律得 上式表明 等角速旋转容器中液体相对平衡时 液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为 的液柱产生的压强 gh之和 3 两个特例 特例一 顶盖中心开口的旋转容器 代入压强差公式并积分得 根据边界条件 r 0 z 0时p pa 代入上式得积分常数C pa 故有 作用在顶盖上的计示压强为 特例二 顶盖边缘开口的旋转容器 代入压强差公式并积分得 根据边界条件 r R z 0时p pa 代入上式得C pa 2R2 2 故有 作用在顶盖上的真空度为 例题1 汽车上有一与水平运动方向平行放置的内充液体的U形管 已知L 0 5m 加速度a 0 5m s2 试求U形管外侧的液面高度差 解 质量力在坐标轴方向的分量为 代入压强差公式并积分得 在y 0 z 0处 p pa求得C pa 即 在y L z h1 h2处 p pa 代入上式得 即 例题2 圆筒形容器的直径d 300mm 高H 500mm 容器内水深h1 300mm 容器绕中心轴等角速旋转 试确定 1 水正好不溢出时的转速n1 2 旋转抛物面的顶点恰好触及底部时的转速n2 3 容器停止旋转后静水的深度 解 设坐标原点始终位于凹液面的最低点 当水恰好触及容器口时 自由液面所包容的体积等于原来无水部分的体积 即 其中 所以 当自由液面形成的抛物面恰好触及容器底部时 抛物面所包容的体积正好为容器体积的一半 此时 当容器停止转动时容器中水的高度为 1 静止液体作用在平面上的总压力 液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力 通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境中 壁面两侧都受到大气压强的作用 因此只需按静止液体的计示压强去计算总压力 总压力的大小和方向 在平面上取一微元面积dA 其中心的淹没深度为h 到oy轴的距离为x 液体作用在该微元面积上的微元总压力为 在平面上积分上式 可得液体作用在平面上的总压力 液体作用在平面上的总压力等于以该平面为底 平面形心的淹没深度为高的柱体内液体的重量 并垂直指向平面 四个容器底面上的总压力相等 总压力的作用点 总压力Fp对oy轴的力矩等于各微元总压力对oy轴的力矩的代数和 即 根据惯性矩平行移轴定理Iy Icy xc2A Icy为面积A对通过其形心并平行于oy轴的坐标轴的惯性矩 代入上式 得 同理可求得压力中心的y坐标 若通过形心的坐标系中有任何一轴是平面的对称轴 则Icxy 0 yD yc 压力中心便在通过平面形心平行于x轴的直线上 式中 yc为平面形心的y坐标 Ixy Icxy分别为平面对oxy坐标系和通过平面形心并平行于oxy的坐标系的惯性积 由于Icy xcA 恒为正值 故xD xc 即压力中心永远在平面形心的下方 例题 一矩形闸门宽度为b 两侧均受到密度为 的液体的作用 两侧液体深度分别为h1 h2 试求作用在闸门上的液体总压力和压力中心 解 对于闸门左侧 同理 对于闸门右侧 两侧总压力的合力为 方向向右 设合力F的作用点的淹没深度为xD 根据合力矩定理 对oy轴取矩 有 合力作用点的y坐标为b 2 2 静止液体作用在曲面上的总压力 总压力的大小 作用在曲面不同点的静压强的大小和方向都不同 组成一空间力系 在静止液体中有一二维曲面 面积为A 它的母线与oy轴平行 它在oxz平面上的投影为曲线ab 在淹没深度为h的地方取一微元面积dA 则液体作用在该微元面积上的微元总压力为 微元总压力在坐标轴上的投影为 总压力的水平分力 静止液体作用在曲面上的总压力沿x方向的水平分力等于液体作用在该曲面的投影面积Ax上的总压力 作用点在Ax的压力中心 总压力的垂直分力 静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于曲面上压力体的液体重量 其作用线通过压力体的中心 总压力大小 总压力的作用方向 总压力与垂线之间的夹角为 并指向曲面 总压力的作用点 总压力的水平分力Fpx的作用线通过Ax的压力中心指向受压面 垂直分力Fpz的作用线通过压力体的重心指向受压面 故总压力的作用线一定通过这两条作用线的交点并与垂线成 角 3 压力体 由受压曲面 曲面边缘向自由液面所作的垂直面以及自由液面或自由液面的延长面所组成的封闭体 实压力体 液体在曲面上面 压力体充满液体 垂直分力方向向下 虚压力体 液体在曲面下面 压力体是空的 垂直分力方向向上 例题1 贮水器的壁面上有三个半球形的盖子 已知d 0 5m h 1 5m H 2 5m 试求作用在每个盖子上的总压力 解 由于作用在底盖上的压强左右对称 其总压力的水平分力为零 垂直分力方向向下 大小为 顶盖上总压力的水平分力为零 垂直分力方向向上 大小为 侧盖上总压力的水平分力为 侧盖上总压力的垂直分力应为作用在半球上的上半部分和下半部分垂直分力的合力 即半球体积水的重量 故侧盖上的总压力 由于总压力的作用线与球面垂直 所以它一定通过球心 例题2 一圆筒形容器 筒径为d 质量为m 筒内充满密度为 的液体 并绕轴线以 的角速度旋转 顶盖的质量为m1 其中心装有开口直管 当管内液面的最低点高为h时 作用在螺栓组1和2上的拉力各位多少 解 坐标原点选在直管中心的液面上 z轴铅直向上 由于容器处于大气环境中 只需按计示压强进行计算 在顶盖的下表面上有z h 故有 作用在顶盖上的计示压强的合力与顶盖的重力之差就是螺栓组1受到的拉力 螺栓组2受到的拉力为 下面用压力体的概念求解该题 筒壁处自由液面的高度为 顶盖上压力体的体积为 故螺栓组1受到的拉力为 螺栓组2受到的拉力为 结果与积分法求得的结果相同 浮体 当浸没物体所受的浮力大于物体的重力 物体漂浮在液面上 潜体 当浸没物体所受的浮力等于物体的重力 物体在液体中任何位置均处于平衡状体 沉体 当浸没物体所受的浮力小于物体的重力 物体沉底 a 浮体 b 潜体 c 沉体 作用在物体上表面总压力的垂直分力为压力体Vacbfg的重量 方向向下 作用在物体下表面总压力的垂直分力为压力体Vadbfg的重量 方向向上 作用在物体上的总压力为 负号说明 总压力的方向向上 浮力的值常用FB表示 即 阿基米德原理 液体作用在完全浸没物体上的总压力等于物体排开同体积液体的重力 力的方向为垂直向上 返回目录 流体运动时 表征运动特征的运动要素一般随时间空间而变 而流体又是众多质点组成的连续介质 流体的运动是无穷多流体运动的综合 怎样描述整个流体的运动规律呢 拉格朗日法 欧拉法 1 拉格朗日法 拉格朗日法 质点系法把流体质点作为研究对象 跟踪每一个质点 描述其运动过程中流动参数随时间的变化 综合流场中所有流体质点 来获得整个流场流体运动的规律 设某一流体质点在t t0时刻占据起始坐标 a b c t为时间变量 图拉格朗日法 x 流体质点运动方程 图拉格朗日法 t时刻 流体质点运动到空间坐标 x y z 式中 a b c t 拉格朗日变数 a b c 对应流体微团或液体质点 不同 a b c t不变 表示在选定时刻流场中流体质点的位置分布 给定 a b c t变化时 该质点的轨迹方程确定 流体质点的速度为 流体质点的加速度为 问题 2 数学上存在难以克服的困难 3 实用上 不需要知道每个质点的运动情况 因此 该方法在工程上很少采用 2 欧拉法 又称为流场法 核心是研究运动要素分布场 即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律 该法是对流动参数场的研究 例如速度场 压强场 密度场 温度场等 采用欧拉法 可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标 x y z 和时间t的单值连续函数 液体质点在任意时刻t通过任意空间固定点 x y z 时的流速为 式中 x y z t 称为欧拉变数 令 x y z 为常数 t为变数 令 x y z 为变数 t为常数 表示在某一固定空间点上 流体质点的运动参数随时间的变化规律 表示在同一时刻 流场中流动参数的分布规律 即在空间的分布状况 a b c 质点起始坐标t 任意时刻 x y z 质点运动的位置坐标 a b c t 拉格朗日变数 x y z 空间固定点 不动 t 任意时刻 x y z t 欧拉变数 拉格朗日法 欧拉法 液体质点通过任意空间坐标时的加流速 式中 ax ay az 为通过空间点的加速度分量 利用复合函数求导法 将 x y z 看成是时间t的函数 则 写为矢量形式 时变加速度分量 三项 位变加速度分量 九项 用欧拉法表达加速度 从欧拉法来看 不同空间位置上的液体流速可以不同 在同一空间点上 因时间先后不同 流速也可不同 因此 加速度分 迁移加速度 位变加速度 同一时刻 不同空间点上流速不同 而产生的加速度 当地加速度 时变加速度 同一空间点 不同时刻上因流速不同 而产生的加速度 图时变加速度产生说明 图位变加速度说明 例题1 已知平面流动的ux 3xm s uy 3ym s 试确定坐标为 8 6 点上流体的加速度 解 由式 1 定常流动与非定常流动 在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前 为了便于分析 研究问题 先介绍一些有关流体运动的基本概念 若流场中流体的运动参数 速度 加速度 压强 密度 温度等 不随时间而变化 而仅是位置坐标的函数 则称这种流动为定常流动或恒定流动 定常流动 若流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的函数 而且随时间变化 则称这种流动为非定常流动或非恒定流动 非定常流动 图定常流动说明 如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动 流体的速度 压强 密度和温度可表示为 运动要素之一不随时间发生变化 即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零 定常流动的特点 因此 定常流动时流体加速度可简化成 即 在定常流动中只有迁移加速度 非定常流动的特点 运动要素之一随时间而变化的流动 即运动要素之一对时间的偏导数不为零 图中 当水箱的水位保持不变时 1点到2点流体质点速度增加 就是由于截面变化而引起的迁移加速度 2 一维 二维和三维流动 维 是指空间自变量的个数 实际上 任何实际液体流动都是三维流 需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化 由于实际问题通常非常复杂 数学上求解三维问题的困难 所以流体力学中 在满足精度要求的前提下 常用简化方法 尽量减少运动要素的 维 数 例如 下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动 流体质点运动参数 如速度 即是半径r的函数 又是沿轴线距离的函数 即 u u r x 显然这是二元流动问题 图锥形圆管内的流动 工程上在讨论其速度分布时 常采用其每个截面的平均值u 就将流动参数如速度 简化为仅与一个坐标有关的流动问题 这种流动就叫一维流动 即 u u x 如图所示的绕无限翼展的流动就是二维流动 二维流动的参数以速度为例 可写成 3 迹线和流线 流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线 即流体质点运动的轨迹线 由拉格朗日法引出的概念 迹线 例如在流动的水面上撒一片木屑 木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹 也就是迹线 迹线的微分方程 从该方程的积分结果中消去时间t 便可求得迹线方程式 某一瞬时在流场中所作的一条曲线 在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切 因此流线是同一时刻 不同流体质点所组成的曲线 由欧拉法引出 流线 图流经弯道的流线 图绕过机翼剖面的流线 流线的基本特性 1 流线和迹线相重合 在定常流动时 因为流场中各流体质点的速度不随时间变化 所以通过同一点的流线形状始终保持不变 因此流线和迹线相重合 2 流线不能相交和分支 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线 一般情况流线不能相交和分支 否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向 3 流线不能突然折转 是一条光滑的连续曲线 4 流线密集的地方 表示流场中该处的流速较大 稀疏的地方 表示该处的流速较小 流线的特例 驻点 速度为0的点 奇点 速度为无穷大的点 源和汇 在驻点和奇点处 由于不存在不同流动方向 流线可以转折和彼此相交 图源 图汇 流线微分方程 设在流场中某一空间点 x y z 的流线上取微元段矢量该点流体质点的速度矢量为 根据流线的定义 该两个矢量相切 其矢量积为0 即 上式即为流线的微分方程 式中时间t是个参变量 例题2 有一流场 其流速分布规律为 ux ky uy kx uz 0 试求其流线方程 解 由于uz 0 所以是二维流动 其流线方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程 上式 得到 积分 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆 4 流管 流束和总流 在流场中任取一不是流线的封闭曲线C 过曲线上的每一点作流线 这些流线所组成的管状表面称为流管 流管 C 流管内部的全部流体称为流束 流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线 而流束不论大小 都是由流体组成的 因为流管是由流线构成的 所以它具有流线的一切特性 流体质点不能穿过流管流入或流出 由于流线不能相交 流束 微小截面积的流束 微小流束 注意 5 流量 有效截面和平均流速 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量 以qv表示 其单位为m3 s m3 h等 流量 有三种表示方法 从总流中任取一个微小流束 其过水断面为dA 流速为u 则通过微小流束的体积流量为qv 式中 dA为微元面积矢量 为速度u与微元法线方向n夹角的余弦 处处与流线相垂直的截面称为有效截面 有效截面 有效断面可能是曲面 或平面 在直管中 流线为平行线 有效截面为平面 在有锥度的管道中 流线收敛或发散 有效截面为曲面 图有效截面为平面 图有效截面为平面 常把通过某一有效截面的流量qv与该有效截面面积A相除 得到一个均匀分布的速度v 平均流速 图有效截面为平均流速 平均流速是一个假想的流速 即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过 这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同 使流体运动得到简化 使三维流动变成了一维流动 在实际工程中 平均流速是非常重要的 引入断面平均流速的意义 在总流的有效截面上 流体与固体壁面接触的长度 用 表示 6 当量直径 湿周和水力半径 湿周 在总流的有效截面上 流体与固体壁面接触的长度 用 表示 湿周 总流的有效截面与湿周之比 用Rh表示 水力半径 圆管 直径是水力半径的4倍 非圆管 当量直径 直径是水力半径的4倍 几种非圆形管道的当量直径 充满流体的矩形管道 充满流体的圆环形管道 s2 充满流体的流束 7 系统和控制体 一群流体质点的组合 系统 在运动的过程中 尽管系统的形状和位置常常不停地变化 但始终包含这群流体质点 有确定的质量 在流场中确定的空间区域称为控制体 控制体 控制体外表面称控制面 控制体可根据需要将其取成不同形状 流体可自由进出控制体 有效截面 壁面 自由液面 控制体的组成 图一段管道控制体 图一个微分控制体 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用 他建立了流体流速与流动面积之间的关系 推导 选取控制体 过流断面1 1 2 2及管壁所围成的体积 取微元流束 流束的两过流断面面积为dA1 dA2 速度分别为u1 u2 dt时间流经两个过流断面的流体体积 u1A1dt和u2dA2dt 1 流束和总流的连续性方程 假设条件 流束的形状不随时间改变 为定常流动 流束侧面没有流体质点流入或流出 流体是不可压缩的 该流束内流体的质量不变 根据上述条件 得 上述各式即为流束的连续性方程 它表明流束过流断面面积与该断面上速度的乘积为一常数 或所有过流断面上流量都相等 将上式沿总流过水断面进行积分 得 移项得 上式即为总流的连续性方程 表明流量一定时 断面平均流速与断面面积成反比 在过水断面积小处 流速大 过水断面面积大处 流速小 2 连续性方程的微分形式 设在流场中任取一个微元平行六面体 其边长分别为dx dy和dz 如下图所示 假设微元平行六面体形心的坐标为x y z 在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为ux uy uz 流体的密度为 先分析x轴方向 由于ux和 都是坐标和时间的连续函数 即ux uxx x y z t 和 x y z t 根据泰勒级数展开式 略去高于一阶的无穷小量 得在dt时间内 沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为 同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为 上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化 即 同理 在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为 因此 dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 由于流体是作为连续介质来研究的 六面体内流体质量的总变化 唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的 因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等 设开始瞬时流体的密度为 经过dt时间后的密度为 在dt时间内 六面体内因密度变化而引起的质量变化为 代入相等条件 得 上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程 不可压缩流体 可压缩流体定常三维流动的连续性方程 若流体是定常流动 上式变为 不可压缩流体三维流动的连续性方程 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零 也就是说 在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等 物理意义 假设有一不可压缩流体三维流动 其速度分布规律为ux 3 x y3 uy 4y z2 w x y 2z 试分析该流动是否连续 例题3 解 根据连续性方程的微分形式 该流动不连续 有一输水管道 如图所示 水自截面1 1流向截面2 2 测得截面1 1的水流平均流速v1 2m s 已知d1 0 5m d2 1m 试求截面2 2处的平均流速v2为多少 例题4 解 根据连续性方程 运动物体在某一时间段内动能的增量 等于同一时间段内作用在运动物体上外力做功的总和 能量转换与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律 伯努力方程是这一定律在流体力学中的应用 1 伯努力方程的建立 动能定理 运动物体的质量 外力对运动物体所做的功 运动物体的末速度 运动物体的初速度 1 不可压缩理想流体的定常流动 2 沿同一微元流束 也就是沿流线 积分 3 质量力只有重力 假定条件 从理想流体恒定流中取出一微小流束 并截取1 1和2 2断面之间的流段来研究 沿流束取二过流断面1 2 其上的流速和压强分别为u1 u2和p1 p2 断面面积分别为dA1 dA2 面积中心距基准面的高度分别为z1 z2 如下图所示 图微小流束的伯努力方程 时段dt内 流段由1 2断面流至1 2 的位置 其动能增量和外力做功的总和分别为 动能的增量 1 1 流段的动能 2 2 流段的动能 由于是定常流动 时段dt内 流段1 2 内流动的动能不变 所以其动能增量仅为2 2 与1 1 动能之差 对不可压缩液体有 动能增量 外力做功总和 质量力 重力 表面力 压力和摩擦力 作用在1 2流束段上的外力有 重力做的功W1 压力做的功W2 流束侧表面压力与流动方向垂直 不做功 过流断面1与2上的压力做功 由于 摩擦阻力做的功W3 摩擦阻力与流动方向相反 对流体运动做负功 令W3为流段由1 2流至1 2 时摩擦阻力所做的功 令 ghw 表示摩擦阻力对单位质量流体沿微小流束全流程1 2所做的平均功 有 外力做功的总和 伯努力方程 将动能增量与外力做功的总和代入动能定理 得 重力作用下 不可压缩流体 定常流动的伯努力方程 2 伯努力方程的物理意义 伯努力方程中每一项都表示单位重量流体所具有的能量 单位重量流体对某一基准面所具有的位能势能 单位重量流体所有的压力势能 单位重量流体所具有的动能 单位重量流体两断面间为克服摩擦阻力所消耗的机械能 单位重量流体所具有的势能 单位重量流体所具有的总机械能 物理意义 流体沿流束从一个断面流到另一个断面时 位能 压能与动能可以相互转化 但在流经前一个断面时流体所具有的单位重量流体的总机械能 应等于它在流经后一个断面时所具有的单位重量流体的机械能 与单位重量流体在流经两断面间的过程中阻力损失之和 hw 水头损失 总水头 压强水头 测压管水头 速度水头 3 伯努力方程的几何意义 伯努力方程中每一项都具有长度的量纲 可按比例用几何线段长度来表示能量方程中各项的值 表示为水头线图示 4 伯努力方程的几何图示 0 1 2 z1 hw 1 z2 z u12 2g u22 2g 测压管水头线 总水头线 位置水头线 5 伯努力方程的应用举例 1 容器小孔射出水流的速度 图示一水箱 在近底部的侧壁上开有一小孔 水在重力作用下从小孔射出 求射流速度 大气 取过小孔中心B处的流速 沿流束写A B断面的伯努力方程 可见 从比自由界面低h的小孔出流的速度与质点从h高度自由落下所达到的速度一样 2 毕托管原理 流体流动因受阻时流动完全停于1点 改点称为驻点 压力记为p0 叫总压 未受到扰动的流束上流速记为u 压力为p 称为静压 过驻点取水平基准面列驻点与未受扰动点的伯努力方程 有 整理得 表示 总压水头等于静压水头与由流动转化而来的速度水头之和 在工程上 通常用毕托管来测定某一点的流速 并用系数 来修正由液体的粘性和仪器所带来的误差 值的大小在出厂时经率定来确定 毕托管及其测定原理如下图所示 动压管 静压管 h h1 h2 A A A A 形式一 形式二 一 总流伯努力方程的建立 不可压缩实际液体定常流动微小流束的伯努力方程为 实际工程中 考虑的流体都是总流 应用伯努力方程解决实际问题 需把微小流束的伯努力方程推广到总流中去 dA1 u1 1 2 1 2 p1 z1 z2 u2 p2 dA2 由连续性方程 单位时间内从dA1 dA2流过的液体质量相等 即 单位时间内流过二过流断面的流体的总能量应满足 把组成总流的每条微小流束的能量叠加起来 即沿总流过水断面积分 得单位时间内流过总流过流断面A1 A2的能量关系 第 类积分 势能积分 第 类积分 动能积分 第 类积分 能量损失积分 类积分 类积分 类积分 确定三种类型的积分 第 类积分 条件 渐变流过水断面 第 类积分 解决动能积分 用断面平均流速v代替实际流速u 引入动能修正系数 第 类积分 单位重量流体总流从过水断面1 1到2 2之间的平均能量损失 将 式代入 式 有 各项同除以 有 上式即为实际不可压缩单位重量流体定常总流的伯努力平衡方程 或 二 应用总流伯努力方程的注意事项 1 总流伯努力方程的应用条件 总流的伯努力方程是在一定的限制条件下推导出来 因此在应用时须满足这些条件 流体必须是定常流动 且不可压缩 作用于流体上的力只有重力 选取的过流断面必须符合渐变缓断面 在选取的两过流断面间 流量保持不变 两过流断面间 能量损失必须是以热能形式扩散 2 总流伯努力方程中各项的取值 基准面z的选取 断面压强的计算 基准面的选取是任意的 但在计算不同断面的位置水头z时 应选同一基准面 位能与压强的计算点要统一 计算断面上值时 明渠取液面点 管道取管轴线上点的数值为代表点 压强的表述要一致 动能修正系数 紊流时取1 层流时取2 同一基准面取同一值 阻力水头损失hw 包括沿程水头损失和局部水头损失两类 可写成 三 总流伯努力方程中的扩充 1 两断面有能量输入或输出的情况 以上所推导的总流伯努力方程 没有考虑由1 1断面到2 2断面之间 中途有能量输入或输出的情况 有些情况下 两个断面之间有能量的输入和输出 例如 抽水管路系统中设置的抽水机 是通过水泵叶片转动向水流输入能量 水电站有压管路系统上所安置的水轮机 是通过水轮机叶片由水流输出能量 1 流体对水轮机做功 流体向外输出能量 若所取的断面1 1到2 2之间有能量输入或输出时 总流伯努力方程可写为 式中 H为水力机械对单位重量液体所作的功 当为输入能量时 H前符号为 当为输出能量时 H前符号为 2 两断面有流量分入或汇出的情况 图为两支汇合的流体 每一支流量分别为qv1和qv2 根据能量守恒的物理概念 单位时间内 从1 1与2 2断面流入的总能量应等于3 3断面流出的总能量加上能量的损失 即 图流体的分流与汇流 以管轴线所在平面为基准面 写伯努力方程 有 流体汇流 流体分流 同理 对于分流有 四 总流伯努力方程应用举例 文丘里流量计 图文丘里流量计 图示为一文丘里流量计 它通常安装在管道中用来测定流量 文丘里流量计通常由收缩段 喉部及扩张段三部分组成 以平面3 5为等压面 有 写1 1与2 2断面的伯努力方程 计算化简后得 文丘里流量计流量系数 由率定得出 例题5 有一直径缓慢变化的锥形管 如图所示 1 1断面的直径d1 0 15m 中心点的相对压强P1 7 2KN m2 2 2断面直径d2 0 3m P2 7 2KN m2 v2 1 5m s A B两点高差 h 1 0m 是判断水流方向 求1 1 2 2两断面的水头损失 首先利用连续性方程求断面1 1的平均流速 因 因水管直径缓慢变化 1 1及2 2断面水流可近似看作缓变流 以过A点的水平面为基准分别计算两断面的总能量 解 因 故管中水流应从A流向B 水头损失 在需要确定流体与外界的相互作用力时 连续性方程和能量方程都无法解决 需引入动量方程 动量方程是自然界的动量定理在流体力学中的应用 1 恒定总流动量方程的建立 在恒定总流中 取一流段 控制体 研究 如下图所示 断面1 1至2 2所具有的动量 经过时间dt后 液体从1 2运动至1 2 此时所具有的动量为 dt时段动量变化 dt时间内水流动量的变化 dt时间内水流的动量变化 总流1 1 与2 2 断面的动量 因为断面上的流速分布一般较难确定 所以上述积分不能完成 如何解决这个积分问题 上述积分问题的解决 造成的误差用动量修正系数来修正 按照动量定律原理 则 引入动量修正系数后 R P1 P2 v2 v1 G 式中 Fx Fy Fz为作用于控制体上所有外力在三个坐标方向的投影 不包括惯性力 二 应用恒定总流动量方程的注意事项 1 所选断面必须是不可压缩流体定常流动的缓变流断面 对断面之间流体的流动不作要求 2 动量方程是矢量方程 式中的作用力和速度均为矢量 3 取控制体 控制体可任意选择 但一般选取总流的一段作为控制体来研究 通常由下列部分组成 底部 侧部 固体边壁 例如 管壁 渠底 表面 自由液面等 横向边界 过流断面 控制体 4 选择坐标轴 做出受力图 在图上画上所有受力 流量 流速 压力等矢量 凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正 反之 则为负 5 动量方程是输出项减去输入项 不可颠倒 输出项 输入项 外力项不包括惯性力 7 动量方程只能求解一个未知数 如果未知数的数目多于一 必须联合其他方程 连续方程 或能量程 方可求解 6 未知力的方向可以假定 若计算为正值 则说明假定正确 反之 则说明实际力的方向和假定相反 当流体