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第 12 讲 函数的图像 （第课时）神经网络准确记忆！函数的图像重点难点好好把握！重点：1基本函数的图像；2函数图像的初等变换；3识图与用图。难点：1复杂的图像变换；2数形结合综合讨论题。考纲要求注意紧扣！1掌握基本函数的图像；2从函数的图像特征去讨论函数的主要性质；3运用数形结合的思想方法解题。命题预测仅供参考！1主要考查初等函数的图像特征和函数图像的初等变换（平移，对称，伸缩）；2考查的主要题型有：由式选图，由图选式，图像变换，自觉地应用图像解题。考点热点一定掌握！1作函数的图像 利用描点法作图步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性，最值）；画出函数图像。 利用利用基本初等函数的变换作图平移变换： （可记为“左加右减”） （可记为“上加下减”）伸缩变换：对称变换：例作出下列函数的大致图像： ； ； ； 。解： 先作出 （）的图像，再作出其关于轴的对称图像即可，如图1-1； 先作出 的图像，再将其右移一个单位得到的图像，最后把轴下方部分翻折到轴上方即可，如图1-2； 把 化为 ，画出 再将其左移一个单位，下移一个单位即可，如图1-3； 先作出 的图像，再将其左移三个单位得到 的图像，再作出其关于轴的对称图像 ，将其上移二个单位即可，如图1-4。点评：本题使用平移变换和对称变换。例 已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求函数F(x)=f(x)g(x)的最大值。解：g(x)=2log2(x+2)(x2)F(x)=f(x)g(x)=log2(x+1)2log2(x+2)=log2x+10,F(x)=2当且仅当x+1= ,即x=0时取等号.F(x)max=F(0)=2点评：本题使用伸缩变换。2识图关于识图，高考中常用的题型有：已知解析式，判断对应的图像；已知图像，求其解析式；已知图像，判断其有关性质。例（2003年北京高考题）如图所示，是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中任意的x1和任意，恒成立”的只有 （ ）f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)（A） （B） （C） （D）解：利用特殊值法，因为，令 ，则不等式变为 ，结合函数图像的凹凸性可知应选。3函数的图像的性质的内在联系 若定义在上的函数关于直线 或 （） 都对称，则为周期函数，是它的一个周期（未必是最小正周期，下同）。 若定义在上的函数关于点（，）和（，）（） 成中心对称，则为周期函数，是它的一个周期。若定义在上的函数关于点（，）成中心对称，又关于直线 （） 成轴对称，则为周期函数，是它的一个周期。 若奇函数或偶函数的图像中存在一条对称轴 （），则为周期函数。例（？年高考题）定义在区间内的奇函数为增函数，偶函数在区间内的图像与的图像重合，设，给出下列不等式： ； ； ； 。其中成立的是 （ ）. 和； . 和； . 和； . 和。解： 是奇函数， ，令 可得 ，又在区间内是增函数，且 ， ，由已知，有 时， ，得 ， ， 由可得 ， 成立；由可得 ，这与 矛盾， 不成立；由可得 ， 成立；由可得 ，这与 矛盾， 不成立；综上所述，只有和成立，故应选。4函数图像的对称性及其证明 研究函数图像的对称性的注意事项奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称；互为反函数的两个函数的图像关于直线对称；和的图像关于轴对称；和的图像关于轴对称；和的图像关于原点对称；二次函数 （）的图像关于直线对称；定义在上的函数的图像关于直线对称 ，偶函数的图像关于轴对称是其特例。 证明函数图像的对称性，即证明其图像上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上。常见函数图像对称性的判别方法有（由上述注意事项可得出）： 图像关于原点对称； 图像关于轴对称； 图像关于对称； 图像关于轴对称； 图像关于直线对称。 证明曲线与的对称性，即证明上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在上，同时上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在上。例设曲线的方程是 ，将沿轴、轴正向分别平行移动、单位长后，得到曲线。 写出曲线的方程； 证明曲线与关于点对称； 如果曲线与有且仅有一个公共点，证明 且 。解： 曲线的方程为 。 证明：在曲线任取一点 ，设是关于点的对称点，则有 ， ， ， ，代入曲线的方程得 ，即 ， 点在曲线上；同理可证，在曲线上的任一点关于点的对称点在曲线上；综上所述，曲线与关于点对称。 证明： 曲线与有且仅有一个公共点， 方程组 有且仅有一组解，消去并整理得 ，此方程有且仅有一个解， 且 ，即 ， 且 。5函数图像的应用我们可以利用函数的图像的特征来研究方程和不等式的解集。例已知是方程 的一个根，是方程 的一个根，那么+的值是 （ ）. 6； . 3； . 2； . 1。分析：本题如果从解方程或是方程组入手，将很困难。如果利用函数图像，数形结合来解题，将较为容易。BA3131yxoh(x)f(x)g(x)解：把已知的两个方程变形为 ， ，令 ， ， ，在同一坐标系内作出上述三个函数的图像，如图，设与的交点为（，），与的交点为（，）， 与互为反函数， 与的图像关于直线对称， 点和点关于直线对称， = ，= ，把点的坐标代入 得 ，把 = 代入 得 ，即 ，故应选。点评：对于超越方程，直接求解有困难时，常利用图像来讨论其根的范围。能力测试认真完成！1设，在同一坐标系中， 与 的图像只可能是（ ）2把函数 的图像沿直线 向右下方向平移个单位，得到函数 的图像，则 （ ）. ； . ；. ； . 。3暂缺4作出函数 的图像。5. 已知函数 （ 且 ），证明函数的图像在轴的一侧。6若函数的图像的对称轴是 ，求非零实数的值。7对函数定义域中任一个x的值均有，则 的图象关于直线x=a对称。8设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求实数a的取值范围。参考答案仔细核对！12345678作图描点法平移变换伸缩变换对称变换识图函数的图像的性质的内在联系函数图像的对称性函数图像的对称性证明函数图像的应用1设，在同一坐标系中， 与 的图像只可能是（ ）解： ， 、必须同号，若 ，则抛物线的开口向上，直线向右斜，此时可能为或；若 ，则抛物线的开口向下，直线向左斜，此时可能为；故可排除。 抛物线顶点的纵坐标等于，直线在轴上的截距等于，又 ， 、必须同号，在、中满足这一点的只有，故应选。2把函数 的图像沿直线 向右下方向平移个单位，得到函数 的图像，则 （ ）. ； . ；. ； . 。11yxo图4-1解：沿直线 向右下方向平移个单位，就是把图像向右和向下同时平移2个单位，那么反过来把 的图像向左和向上同时平移2个单位即可得到 的图像，把 的图像向左平移2个单位可得 ，把 向上平移2个单位可得 ，故应选。3暂缺4作出函数 的图像。解：先作出 的图像，如图4-1；再将其在轴左侧部分的图像去掉并作出轴右侧部分关于轴的对称图像，从而得到 的图像，如图4-2；最后将 的图像向右平移一个单位即得到 的图像，如图4-3。11yxo11yxo图4-2图4-35. 已知函数 （ 且 ），证明函数的图像在轴的一侧。证明： ， ，当 时， ，此时图像在轴右侧；当 时， ，此时图像在轴左侧；综上所述，函数的图像在轴的一侧。6若函数的图像的对称轴是 ，求非零实数的值。解： 对定义域内的任意， 恒成立， 恒成立，即 ，又 ， ， 。7对函数定义域中任一个x的值均有，则 的图象关于直线x=a对称。证明：设(x0,y0)是函数图象上任一点，则y0=f(x0),又，f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函数的图象上，而=a,点(x0,y0)与(2ax0,y0)关于直线x=a对称，故的图象关于直线x=a对称.8设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求实数a的取值范围。分析：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。解： y=2x+3在2, a上是增函数，1y2a+3，即B=y1y2a+3 ，作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：当2a0时，a2z4 即 C=zz2z4要使CB，必须且只须2a+34 解之得a ，这与2