行列式的计算技巧及其应用毕业论文.doc

行列式的计算技巧及应用本科生毕业论文(设计)题 目： 行列式的计算技巧及应用学生姓名： 谢 芳 学 号： 201210010133 专业班级： 数学与应用数学12101班 指导教师： 颜 亮 完成时间: 2016 年 5 月 目录摘要.1关键词.10、前言.11、 基础知识及预备引理.21.1行列式的由来及定义.21.2行列式的性质.31.3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义.42、行列式的计算方法.42.1定义法.42.2利用行列式的性质(化三角型)计算.52.3拆行（列）法.62.4加边法（升阶法）.62.5范德蒙德行列式的应用.73、n阶行列式的计算.84、行列式的应用.94.1行列式在代数中的应用.94.2行列式在几何中的应用.10参考文献.10致谢.11行列式的计算技巧及应用数学与应用数学12101班 谢芳指导老师 颜亮摘要：行列式的计算是高等代数中一个重要的知识点,也是我们学好高等代数的重要工具 .无论是高等数学领域还是现实生活中的实际问题,都或多或少的包含了行列式的思想,所以学好行列式尤为重要.本文主要介绍几种行列式的思想,并从实例进行具体说明，介绍方法的同时加以应用.并通过举例说明行列式在代数和几何方面的应用，从而更好的了解行列式的普遍性.关键词：行列式,线性方程组,计算,方法Abstract: the calculation of the determinant is an important part of the knowledge of higher algebra, also an important tool for us to learn advanced algebra. Both higher mathematics and practical problems in real life, more or less contains the ideas of the determinant, so learning determinant is particularly important. This paper mainly introduces several kinds of determinant, and illustrate the application of the determinant in algebra and geometry, so we can understand the universality of the determinant better.Keywords: determinant, system of linear equations, calculation, the method0前言行列式是学习线性代数的基本工具,行列式的解法有很多种,在解题过程中我们先要观察行列式的特征,然后再考虑用什么样的方法解.本文主要介绍几种常用的解行列式的方法,如定义法、化三角型法、拆行（列）法、加边法、利用范德蒙德行列式计算相关行列式的方法，并通过一定的例题对所介绍的方法进行透彻的讲解，使之更好的理解.当然，解行列式的方法还有很多，只要我们善于总结.行列式在数学的很多领域都有广泛的应用，在线性代数和高等数学中更是一个重要的解题工具.本文主要介绍行列式在代数和几何方面的应用.21 线性方程组与行列式1.1 行列式的由来及定义在中学数学中,我们学习了含有一个未知数和两个未知数的方程的解法,那在这里我们来讨论含n个未知数n个方程的多元一次方程组即线性方程组的解法.首先我们先来看未知数的个数不多的时候的情形.我们先讨论n=2时的二元线性方程组 （1）为了解这一类方程,我们将引入一个很重要的工具行列式我们把线性方程组（1）的系数作成二阶行列式当0时,方程组（1）有唯一解x1= x2=同样的,对于三元线性方程组 (2)的系数作成三阶行列式D=当时,那么方程组3有解 其中D1=，D2=，D3=我们的目的是要把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式,然后用这一工具来解含有n个未知量n个方程的线性方程组.定义11用符号 表示n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是所有取自该行列式不同行与不同列上的n个元素的乘积a1j1a2j2anjn,项的符号为（-1）（j1j2jn),也就是说,当j1j2jn为偶排列时，这一项的符号为正,当j1j2jn为奇排列时符号为负.这一定义还可以表示成=j1j2jn（-1）（j1j2jn)a1j1a2j2anjn1.2 n阶行列式性质：2引理1 把行列式的行变成列、列变成行,行列式的值不变.引理2 把一个行列式的两行（或两列）交换位置,行列式的值改变符号.引理3 把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数c,等于用数c乘原行列式.引理4 若一个行列式的两行（或两列）的对应元素成比例,那么行列式的值等于零.引理5 把行列式某一行（或列）的所有元素同乘以一个数c,加到另一行（或一列）的对应元素上,所得行列式的值与原行列式的值相等.引理6 行列式某一行（或列）的各元与另一行（或列）对应元的代数余子式的乘积之和等于零.1.3 拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义拉普拉斯定理 设D为一n阶行列式，任意取定D中的k（kn）行,由这k行元素所构成的一切k阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值.用符号可以表示为D=,其中m=行列式叫作一个n阶范德蒙德行列式.2 行列式的计算2.1 定义法例1 计算行列式D=解 由定义可知，D是一个4！=24项的和,展开式的一般项为a1j1a2j2anjn,在这个行列式中,除了abcd,afgd,ebch,efgh外,其余各项均含有0,故乘积为0,与上面四项相对应列标的排列依次为1234,1324,4231,4321,而1234=0，（1324）=1,4231=5, 4321=6,故D=abcd+efgh-afgd-ebch.利用定义法求解行列式时,只适合一些比较简单的行列式,如对角线行列式,三角行列式等，定义法常用于解低阶的行列式，对于一些高阶的行列式，我们将介绍其他方法来求解.2.2 利用行列式的性质计算例2 证明n阶上三角行列式（主对角线以下的元素都为零）= 证明 在这个行列式中，当 i时,元素=0,由定义可知所有取自各行各列的项的乘积除了外,其余项中均含有因子0,故乘积为零,又（）=0,故= 特别的 =由性质1可知,下三角行列式也等于主对角线上元素的积.那么对于可化为三角行列式的计算,就可先利用行列式的性质把它变成三角行列式例3 计算行列式解 把行列式除开第一行外其他行上的对应元素分别减去第一行上的元素,得原式=1如果一个行列式可化为三角行列式,我们可以优先考虑化成三角形后再进行计算,计算起来更简便.2.3 按行（列）展开 按行（列）展开又称降阶法,按某一行展开时,可以使行列式降一阶,更一般的,如果可以用拉普拉斯定理就可以降很多阶了.但为了让计算更加简便,我们一般先利用行列式的性质使行列式中的元出现尽可能多的零,然后再展开.例4 计算行列式解 原行列式 =-=-=-21 对于这种阶数稍微高点的行列式用定义法一般比较复杂，这时我们考虑利用行列式的性质降阶后再按行或列展开.2.4 加边法（升阶法）加边法即把行列式添加一行和一列,使升阶（加边）后的行列式的值与原行列式相等,这种方法叫加边法.这种方法一般适用于所加边的元素和原行列式的元素有直接关系,如相等或倍数关系,或原来的行列式中有大片元素相同的行列式.例5 计算行列式=（x）解 原行列式中存在“大片”的x,故用加边法把原行列式变成n+1阶行列式,则有=（1+利用加边法把行列式化为n+1阶行列式后,再利用行列式的性质把该行列式化为可直接计算的行列式,从而简便计算.2.5 范德蒙德行列式的应用由于范德蒙德行列式=范德蒙德行列式是一个很特殊的行列式，从第二行起每一行与前一行对应元素的比都等于同一个常数.那么对于可化为范德蒙德行列式的计算我们可先把它化成范德蒙德行列式后再进行计算. 例6 计算=2解 从该行列式的第k（k=2,3,n）行中提取公因子后,得到该行列式为范德蒙德行列式的转置行列式,故=n!(n-1)!2!1!.3 n阶行列式的计算对于n阶行列式的计算,除了以上的方法外,我们还会根据行列式的特征采用递推法和归纳法来求解.例1 计算=解 将按第一行展开,再将按第一行展开的第二个行列式按第一列展开得,整理得=()由递推关系可以得出：=在上式中,a和b的地位是相等的,因此有=两式联立解得，可以得出递推法一般用于n阶行列式的求解，递推法的关键是找出的关系.除了上面讲到的递推法,我们还常用归纳法来证明某些行列式.例2 证明=cos()证明 当n=1时,=,等式成立当n=2时,=2cos-1=cos2,等式成立假设n=k时等式仍然成立,即,那么,当n=k+1时,把行列式按最后一行展开得代入得由归纳法得行列式的计算方法多种多样,本文中所提到的方法也只是解题过程中的一些常用方法,不同的题目有不同的计算方法,至于要采用哪种方法要视具体题目而定,只要我们多观察行列式的特征就能找到合适的方法来计算.4 行列式的应用4.1 行列式在代数中的应用行列式在代数中的应用主要有利用行列式解含n元线性方程组当系数行列式0时,有唯一解：(k=1，2，,n).对于齐次线性方程组,若D0,则对应的方程组只有零解.4.2 行列式在几何中的应用我们还可以用行列式来表示直线方程，例如过两点M（）,N（）的直线方程=0 （1） 证明 由两点式,我们可以得出过MN的直线方程为 把上式化简得再进一步进行化简得=0即为（1）式按第一行展开所得的结果,命题得证.行列式有着很广泛的应用，上面只是讲的比较特殊的两种，在几何方面，还有许多应用，还可利用行列式表示三角形的面积例如 以平面内三点P（）,Q(),R（）为顶点的PQR的面积S是参考文献1张禾瑞，郝鈵新高等代数（第五版）M北京:高等教育出版社，20002任功全，封建湖，薛仁智线性代数M北京：科学出版社，20053姚慕生高等代数M上海：复旦大学出版社，2002.84马菊霞，吴云天线性代数题型归纳与方法点拔考研辅导M北京：国防工业出版社，2000105毛纲源线性代数解题方法技巧归纳M武汉：华中科技大学出版社，20006王丽霞 N阶行列式的几种常见的计算方法J山西大同大学学报（自然科学版），2