数学模型投篮出手角度问题.doc

投篮的出手角度问题摘 要 本文建立了一个反映投篮的出手角度问题的数学模型，该模型以在给定的条件研究投篮出手角度，入射角度以及它们的最大偏差，出手速度和球心命中篮筐的条件，出手的高度、角度、速度是影响投篮命中率的主要因素。用建立数学模型的方法计算出相关的数据，使三者紧密联系。研究目的是分析出出手速度、角度和高度之间的关系，在实际操作中用此科学数据为参考依据，进行有针对性的练习，以求达到快速提高投篮命中率的目的，最后，对一个给定的实例作出了详细的结果分析，进而，从整体上基本解决该模型。在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。在此讨论比赛中最简单、但对于胜负又很重要的一种投篮方式罚球，并且球出手后不考虑球的旋转不考虑球碰篮板或篮框的情形。关键词：数学模型；投篮；出手角度、速度、高度；入射角度；允许的最大偏差；空气阻力；篮筐及篮球的直径；一、问题的重述 Q （图1 从罚球点投篮示意图） v b P a H h L图1为过罚球点P和篮框中心Q、且垂直于地面的平面示意图。按标准尺寸，P和Q点的水平距离L=4.60m，Q点的高度H=3.05m，篮球直径d=24.6cm，篮框直径D=45.0cm。不妨假定篮球运动员的出手高度h为1.82.0m，出手速度v为8.09.0m/s。试建立数学模型研究以下问题：1不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中篮框心的条件，并求出在出手高度一定时(h分别为1.8和2.0m时)，球心命中篮框心的最小的出手速度以及相应的出手角度a和入射角度b。2考虑篮球和篮框的大小（图2），讨论球心命中篮框心且球入框的条件，并检查上面得到的出手角度a和入射角度b是否满足条件。3考虑篮球和篮框的大小，为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（见图3）。讨论保证球入框的条件下，出手角度和出手速度允许的最大偏差（以h分别为1.8、2.0m，v为8.0m/s来计算）。4考虑空气阻力的影响（只考虑水平方向上的阻力），设阻力与速度成正比，比例系数为k，讨论不考虑篮球和篮框的大小时，球心命中篮框心的条件。二、符号说明L: 篮球的中心到蓝框中心的水平距离, L=4.60m H: 蓝框中心的高度, H=3.05m d: 球的直径, ,d=24.6cm D: 蓝框直径, D=45.0cm h: 篮球运动员出手的高度,h=1.82.1m v: 投篮出手速度, v=8.09.0m/s g: 重力加速度,取g=9.8m/:投篮出手角度 : 球入蓝框的入射角度 x: 球入蓝框时球心可以偏离(前后)的最大距离,单位为厘米(cm).三、问题分析(1)不考虑篮球和篮筐的大小的简单情况，相当于将球视为质点的斜抛运动。将坐标原点定在球心p，列出x（水平）方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及球入篮筐处的入射角度与出手角度的关系，由此可对不同的出手速度和出手高度，计算出手角度和入射角度。(2)考虑篮球和篮筐的大小时，篮球直径为d，篮筐直径D。显然，即使球心命中框心，若入射角太小，球不会碰到框的近侧A，不能入框。不难得出应该满足的、球心命中框心且球入框的条件。(3)球入框时球心可以偏离框心，偏前的最大距离为x, x可以从入射角算出，根据x和球心轨迹x与的关系，能够得到出手角度允许的最大偏差，出手速度v允许的最大偏差v可以类似的处理。(4)考虑水平方向的空气阻力时，应该用微分方程求解球心的运动轨迹，由于阻力很小，可作为适当简化，然后与前面类似的作各种计算。 （篮球入框图2） d b A Q B D （球心偏前图3） b d A Dx Q B D 四、模型建立与求解(1)不考虑篮球和篮筐的大小的情况，不考虑空气阻力的影响，以未出手时的球心p为坐标原点，x（水平）方向和y（竖直）方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度投出，可视质点的斜抛运动，其运动方程为 x(t)=vt cos, y(t)=vt sin-g/2 (1)其中 g为重力加速速，由此可得球心运动的轨迹为如下抛物线 y=x tan-g/(2) (2)以x=L,y=H-L代入(2)式，就得到球心命中框的条件 = (3)给定出手角度v和出手高度h，有两个出手角度满足这个条件，而(3)式有解的前提为 1- (4)可解得 vH-h+ (5)于是对于一定的出手高度h，使(5)成立的v为最小出手角度v，它是h的减函数，由(3)计算出的两个出手角度记作，且设，可看出，是h和v的增函数。球入篮筐处的入射角度可从下式得到 tan= (6)代入(2)式得 tan=tan- (7)于是对应于，有，设。 (2)考虑篮球和篮筐大小，若入射角度太小，则球无法入框，球心命中框心且球入框的条件为 sind/D (8)将d=24.6，D=45.0代入得33.1 (3)出手角度和出手速度最大偏差估计，球入框时球心可以偏前的最大距离为 = (9)为了得到出手角度允许的最大偏差，可以在(3)中以L+代替L 重新计算，但由于中包含，从而也包含，所以这种方法不能解析求出。 如果从(2)中将y=H-h 代入，可得 (10)对求导并令x=L，就有 (11)用近似代替左边的倒数，即可得到出手角度的偏差与的如下关系 = (12)由和已经得到的计算相对偏差|/|.(10)式对v求导并令x=L，可得到出手速度允许的最大偏差 (13)由(12)和(13)式v的相对偏差为 |= (14)(4)空气阻力的影响，按照篮球运动的特点可以考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比，比例系数为k，这时水平方向的运动有方程 （15）其解为 x(t)=vcos(1-) (16) 因为阻力大小（k0.05(1/s)）,时间t也很小，所以将(16)中的做泰勒展开得 x(t)=vtcos-vktcos/2, y(t)=vtsin-gt/2 (17)在不考虑篮球和篮筐大小时，球心命中框心的条件有方程组 vtcos-vktcos/2-L=0, vtsin-gt/2-(H-h)=0 (18)(5)算法实现与计算结果 (1)对不同出手角度的最小出手速度和相应的出手角度 使(5)成立的v为最小出手角度v，在这个速度下由(3)可得相应的出手角度为 tan=v/gL (19)取出手高度h=1.82.1m，运用MATLAB程序如下：H=3.05;g=9.8;L=4.6;for h=1.8:0.1:2.1v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L2+(H-h)2)=180/pi*atan(v2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/(v2)*(H-h+g*L2/(2*v2)end计算结果填入如下表中:h/mv/m/s/()1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344 (2)对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.09.0m/s和出手高度h=1.8m2.1m，由(3)计算出手角度，由(7)计算得入射角度得：用MATLAB运行：H=3.05;g=9.8;L=4.6;for v=8:0.5:9for h=1.8:0.1:2.1=180/pi*atan(v2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/(v2)*(H-h+g*L2/(2*v2)=180/pi*atan(v2/(g*L)*(1-sqrt(1-2*g/(v2)*(H-h+g*L2/(2*v2)=180/pi*atan(tan(*pi/180)-2*(H-h)/L)=180/pi*atan(tan(*pi/180)-2*(H-h)/L)endend运行结果填入如下表中：v/m/sh/m/()/(/(/(81.862.409942.792553.876320.92131.963.117440.918855.820620.1431263.728139.1357.494119.64782.164.26737.401758.961549.36988.51.867.697537.504962.172612.6251.968.028836.007563.188412.7753268.336734.521464.117913.0242.168.624433.044464.972913.358391.871.069734.132767.14267.6551.971.274932.761467.79748.1663271.4731.388168.40988.73212.171.656130.012768.9849.3472(3)出手角度和出手速度的最大偏差利用(12)和上面的，计算出手角度最大偏差和/，再利用(13)和(14)计算出手速度的最大偏差和/v，只将h=1.8m，2.0m，v=8ms计算得：L=4.6;v=8;g=9.8;D=0.45/2;d=0.246/2;=62.4099;=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*(D-d)/(L*(v2-g*L*tan(a*pi/180)/=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*v*(D-d)/(g*L)/v同理：当=63.7281时，计算结果如下：h/mv/m/s1.862.40998-0.75620.05280.012120.0066263.72818-0.710.06010.011140.075125五、结果分析(1)最小出手速度和出手角度对应于最小出手速度是最小出手角度，他们均随着出手高度的增加而略有减少；出手速度一般要小于8ms。(2)出手速度和出手高度对出手角度的影响速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度的增加，高度对角度的影响变小，这种影响在1度左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，速度的影响在7度至9度。(3)出手角度和出手速度的允许偏差总的说来，允许的偏差都相当的小，出手高度一定，速度越大，角度的允许偏差越小，而速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格；出手速度一定，高度越大，虽然也是角度的允许偏差越小，速度的允许偏差越大，但这时对角度和速度的要求都四相对较低。(4)由于空气阻力的影响，减缓了球的入框速度，此时，在篮球运动员出手的高度h、蓝框中心的高度H、篮球的中心到蓝框中心的水平距离L一定时，篮球入框条件取决于投篮出手速度v，时间t，阻力与速度的比例系数k，入射角度。参考文献：1 郑勇; 如何提高投篮命中率 J; 内蒙古师范大学学报(哲学社会科学版); 2004年S1期2 数学建模实验 周义仓，赫孝良编西安：西安交通大学出版社，19993 数学建模案例分析 白其峥主编 北京：海洋出版社，