高考文科数学解析几何练习题.doc

解析几何单元易错题练习一.考试内容:椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二.考试要求:掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的试题:考查圆锥曲线的概念与性质;求曲线方程和轨迹;关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三.基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|,则这样的点不存在;若距离之和等于|,则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程:(0),(0).3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果项的分母大于项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程后,运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质:设椭圆方程为(0). 范围: -axa,-bxb,所以椭圆位于直线x和y所围成的矩形里. 对称性:分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点:有四个(-a,0)、(a,0)(0,-b)、(0,b).线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时,椭圆越扁;反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义 定义:平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(e0)的准线有两条,它们的方程为.对于椭圆(0)的准线方程,只要把x换成y就可以了,即.3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设(-c,0),(c,0)分别为椭圆(0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为,.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有+、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆(0)的参数方程为(为参数).说明 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同:; 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部(1)点在椭圆的内部.(2)点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程 椭圆上一点处的切线方程是.(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.(3)椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义:平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|)的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a|,则无轨迹.若时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程:和(a0,b0).这里,其中|2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程后,运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率1,离心率e越大,双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式:,其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式,.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系1)若双曲线方程为渐近线方程:.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,焦点在y轴上).双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.(3)双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线。2.抛物线的方程有四种类型:、.对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3.抛物线的几何性质,以标准方程y22px为例(1)范围:x0;(2)对称轴:对称轴为y0,由方程和图像均可以看出;(3)顶点:O(0,0),注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);(4)离心率:e1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;(5)准线方程;(6)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p0):(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y22px(pO)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的倾斜角为,则有|AB|x+x+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。(8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x+bx+c0,当a0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果a0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。4.抛物线上的动点可设为P或 P,其中5.二次函数的图象是抛物线:(1)顶点坐标为;(2)焦点的坐标为;(3)准线方程是.6.抛物线的内外部点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.7. 抛物线的切线方程抛物线上一点处的切线方程是.(2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.(3)抛物线与直线相切的条件是.六.两个常见的曲线系方程过曲线,的交点的曲线系方程是为参数.共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或(弦端点A,由方程 消去y得到,为直线的倾斜角,为直线的斜率)八.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线关于点成中心对称的曲线是.(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是四.基本方法和数学思想椭圆焦半径公式:设P(x0,y0)为椭圆(ab0)上任一点,焦点为F1-c,0,F2c,0,则(e为离心率);双曲线焦半径公式:设P(x0,y0)为双曲线(a0,b0)上任一点,焦点为F1-c,0,F2c,0,则:(1)当P点在右支上时,;(2)当P点在左支上时,;(e为离心率);另:双曲线(a0,b0)的渐进线方程为;抛物线焦半径公式:设P(x0,y0)为抛物线y22pxp0上任意一点,F为焦点,则;y22pxp r 。即 。即a2 + a + 9 0,解得aR。剖析:本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2 0表示圆的充要条件,上述解法仅由条件得出 r ,即a2 + a + 9 0,却忽视了a的另一制约条件4 ? 3 a2 0。事实上,由a2 + a + 9 0及4 ? 3 a2 0可得a的取值范围是()。例题5 已知直线L:y x + b与曲线C:y 有两个公共点,求实线b的取值范围。错解:由消去x得:2y2 - 2by + b2 ? 1 0。 ( * ) L与曲线C有两个公共点, 4b2 ? 8 b2 -1 0,解得-b 0的区域为直线L0的右上方,而使z 3x + 5y 0的区域为L0的左下方。由图知:z 3x + 5y应在A点取得最大值,在C点取得最小值。解方程组,得C(-2,-1)。 z最小=3(-2)+5(-1) -11。例题8 已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B,D两点 (1)若正方形中心M为(2,2)时,求点Nb,c的轨迹方程。(2)求证方程的两实根,满足解答:(1)设因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 则代入(1)得 故点的方程是一条射线。(2)设同上(1)-(2)得(1)+(2)得(3)代入(4)消去得得 又即的两根满足 故。易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。例题9 已知双曲线两焦点,其中为的焦点,两点A -3,2 B 1,2都在双曲线上,(1)求点的坐标;(2)求点的轨迹方程,并画出轨迹的草图;(3)若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数 t的取值范围。解答:(1)由得:,故(2)设点,则又双曲线的定义得又或点的轨迹是以为焦点的椭圆除去点或除去点图略。(3)联列:消去得 整理得:当时 得 从图可知:,又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点,即或5 易错原因:(1)非标准方程求焦点坐标时计算易错;(2)求点的轨迹时易少一种情况;(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。例题10 已知圆,圆都内切于动圆,试求动圆圆心的轨迹方程。错解:圆O2:,即为所以圆O2的圆心为,半径,而圆的圆心为,半径,设所求动圆圆心M的坐标为x,y,半径为r则且,所以即,化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析:上述解法将3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线,这是双曲线的概念不清所致。事实上,|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。且,点M的轨迹为双曲线右支,方程为例题11 点P与定点F(2,0)的距离和它到直线x8的距离比是1:3,求动点P与定点距离的最值。错解:设动点Px,y到直线x8的距离为d,则即两边平方、整理得1 (1)由此式可得:因为所以剖析 由上述解题过程知,动点Px,y在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横纵坐标都是有限制的,上述错解在于忽视了这一取值范围,由以上解题过程知,的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决即:当时,例题12 已知双曲线的离心率e, 过点A()和Ba,0的直线与原点的距离为,直线ykx+m与该双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m 的取值范围。错解 由已知,有 解之得:所以双曲线方程为把直线 ykx+m代入双曲线方程,并整理得:所以1设CD中点为,则APCD,且易知:所以2将2式代入1式得 解得m4或故所求m的范围是剖析 上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系,将代入1 式时,m受k的制约。因为 所以故所求m的范围应为m4或例题13 椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点P()到椭圆上的点最远距离是,求这个椭圆的方程。错解设所求椭圆方程为因为,所以a2b于是椭圆方程为设椭圆上点M(x,y)到点P 的距离为d,则:所以当时,有所以所求椭圆方程为剖析 由椭圆方程得由1式知是y的二次函数,其对称轴为上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类,其正解应对fy的最值情况进行讨论:(1)当,即时7,方程为(2)当, 即时,与矛盾。综上所述,所求椭圆方程为例题15 已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。错解 设符合题意的直线存在,并设、则(1)得因为A(1,1)为线段PQ的中点,所以将4、5代入(3)得若,则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析 在(3)式成立的前提下,由4、(5)两式可推出6式,但由6式不能推出45两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。应在上述解题的基础上,再由 得根据,说明所求直线不存在。例题15 已知椭圆,F为它的右焦点,直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值?若不存在,说明理由。错解 设A、B两点坐标分别为、因为, 所以,又椭圆中心为(1,0),右准线方程为x5, 所以即,同理所以设直线的方程为ykx,代入椭圆方程得所以代入1式得所以,所以|有最小值3,无最大值。剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当的斜率不存在时,有所以有最小值为 3,最大值为25/4课后练习题1、圆x2 + 2x + y2 + 4y ?3 0上到直线x + y + 1 0的距离等于的点共有( )A、1个 B、 2个C、 3个D、 4个分析:这里直线和圆相交,很多同学受思维定势的影响,错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为,导致错选( D )。事实上,已知圆的方程为:(x +1)2 + y+2 2 8,这是一个以(-1,-2)为圆心,以2为半径的圆,圆的圆心到直线x + y + 1 0的距离为d,这样只需画出(x +1)2 + y+2 2 8和直线x + y + 1 0以及和x + y + 1 0的距离为的平行直线即可。如图2所示,图中三个点A、B、C为所求,故应选(C)。2、过定点(1,2)作两直线与圆相切,则k的取值范围是A k2 B -3k2 C k-3或k2 D 以上皆不对解 答:D易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑3、设双曲线的半焦距为C,直线L过两点,已知原点到直线L的距离为,则双曲线的离心率为A 2 B 2或 C D 解 答:D易错原因:忽略条件对离心率范围的限制。4、已知二面角的平面角为,PA,PB,A,B为垂足,且PA4,PB5,设A、B到二面角的棱的距离为别为,当变化时,点的轨迹是下列图形中的A B C D解 答: D易错原因:只注意寻找的关系式,而未考虑实际问题中的范围。5、若曲线与直线+3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是A B C D解 答:C易错原因:将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点2,-3且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。6、已知圆+y4 和 直线ymx的交点分别为P、Q两点,O为坐标原点,则?OP?OQ?A 1+m BC 5D 10正确答案: C 错因:学生不能结合初中学过的切割线定?OP?OQ?等于切线长的平方来解题。7、双曲线-=1中,被点P2,1平分的弦所在直线方程是( )A8x-9y7 B8x+9y25C 4x-9y16 D不存在正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“”验证直线的存在性。8、已知是三角形的一个内角,且sin+cos则方程xsin-ycos1表示( )A 焦点在x轴上的双曲线B 焦点在y轴上的双曲线C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆正确答案:D 错因:学生不能由sin+cos判断角为钝角。9、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线,分别交准线于P、Q两点,又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M?N两点,则M?N?F三点A共圆B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律正确答案:B 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。10、已知实数x,y满足3x2+2y26x,则x2+y2的最大值是 A、 B、4C、5 D、2正确答案:B错误原因:忽视了条件中x的取值范围而导致出错。11、过点0,1作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条 B.2条 C. 3条D. 0条正确答案:C错解:设直线的方程为,联立,得,即:,再由=0,得k1,得答案A.剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。12、已知动点P(x,y)满足,则P点的轨迹是 ()A、直线 B、抛物线 C、双曲线D、椭圆正确答案:A错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线3x+4y-110上。13、在直角坐标系中,方程所表示的曲线为( )A.一条直线和一个圆 B.一条线段和一个圆C.一条直线和半个圆 D.一条线段和半个圆正确答案:D 错因:忽视定义取值。14、设和为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,则的面积是()。A.1 B. C. 2 D.正解:A 又 联立解得 误解:未将两边平方,再与联立,直接求出。15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为,若双曲线上有一点M(),使,那双曲线的交点()。在轴上 B.在轴上 C.当时在轴上 D.当时在轴上正解:B。 由得,可设,此时的斜率大于渐近线的斜率,由图像的性质,可知焦点在轴上。所以选B。误解:设双曲线方程为,化简得:,代入,焦点在轴上。这个方法没错,但确定有误,应,焦点在轴上。误解:选B,没有分组。16、与圆相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A、2条 B、3条 C、4条 D、6条答案:C错解:A错因:忽略过原点的圆C的两条切线17、若双曲线的右支上一点P(a,b)直线yx的距离为,则a+b 的值是( )A、B、 C、 D、答案:B错解:C错因:没有挖掘出隐含条件18、双曲线中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( )A、 B、 C、 D、不存在答案:D错解:A错因:没有检验出与双曲线无交点。19、过函数y-的图象的对称中心,且和抛物线y28x有且只有一个公共点的直线的条数共有( )A、1条 B、2条C、3条D、不存在正确答案:(B)错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有1条,又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。20、双曲线上的点P到点5,0的距离为8.5,则点P到点的距离_。错解 设双曲线的两个焦点分别为,由双曲线定义知所以或剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义,分析出点P的存在情况,然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为98.5,故点P只能在右支上,所求21、一双曲线与椭圆有共同焦点,并且与其中一个交点的纵坐标为4,则这个双曲线的方程为_。正解:-,设双曲线的方程为 (27)又由题意知故所求双曲线方程为误解:不注意焦点在轴上,出现错误。22、过双曲线x2-的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且,则这样的直线有_条。错解:2错因:设代入椭圆的方程算出有两条,当不存在,即直线AB轴时,|AB|=4,忽视此种情况。正解:323、一动点到定直线x3的距离是它到定点F(4,0)的距离的比是,则动点轨道方程为 。答案:错解:由题意有动点的轨迹是双曲线,又F(4,0),所以c4,又准线x3,所以,故双曲线方程为错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。24、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的弦AB,则的周长为 。答案:设其中,所以,将弦AB的方程代入双曲线方程,整理得,可求得,故答案为错解:10错因:作图错误,没有考虑倾斜角为的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与右支有两交点。25、如果不论实数b 取何值,直线与双曲线总有公共点,那么k的取值范围为 。答案:错解:错因:没考虑b0时,直线不能与渐近线平行。26、双曲线上有一点P到左准线的距离为,则P到右焦点的距离为。错解:设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点,则由双曲线的方程为,易求得a3,c5,从而离心率e=,再由第二定义,易求|PF1|ed1=,于是又由第一定义,得|PF2|。剖析:以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上。而事实上P若在右支上,则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离| A2 F1|=a+c=8,而,故点P只能在左支,于是|PF2|。小结:一般地,若|PF1| a+c,则P可能在两支上,若|PF1| a+c,则P只能在一支上。27、已知双曲线的一条准线方程为x2,其相应的焦点为8,0,离心率为,求双曲线的方程。错解:由,于是可求得双曲线的方程为。点评:看起来问题已经解决,然而离心率这个条件似乎多余,而根据求得的方程又得不到离心率为。错误是显然的,那么问题在哪里呢?其实问题就在于此方程并不是标准方程,而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程(下略)。由此看来,判断准方程的类型是个关键。28、过点0,1作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有A.1条 B.2条 C. 3条D. 0条错解:设直线的方程为,联立,得,即:,再由=0,得k1,得答案A.剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一解。29、已知曲线C:与直线L:仅有一个公共点,求m的范围。错解:曲线C:可化为(1),联立,得:,由=0,得。分析:方程(1)与原方程并不等价,应加上。故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。(如图),结合图形易求得m的范围为。解题回顾:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错。30、设双曲线的渐近线为:,求其离心率。错解:由双曲线的渐近线为:,可得:,从而剖析:由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的,当焦点的位置在y轴上时,故本题应有两解,即:或。31、已知双曲线,过P1,1能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点,且P为AB中点。错解:(1)过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求。(2)设过P的直线方程为,代入并整理得:,又解之得:k2,故直线方程为:y2x-1,即直线是存在的。剖析:本题的问题在于没有考虑隐含条件“0”,当k2时代入方程可知0,故这样的直线不存在。解题反思:使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式是否成立。32、直线L:与圆O:相交于A、B两点,当k变动时,弦AB的中点M的轨迹方程。错解:易知直线恒过定点P(5,0),再由,得:,整理得:剖析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内,故易求得轨迹为圆内的部分,此时。33、设点Px,y在椭圆上,求的最大、最小值。错解:因 ,得:,同理得:,故 最大、最小值分别为3,-3.剖析:本题中x、y除了分别满足以上条件外,还受制约条件的约束。当x1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3。其实本题只需令,则,故其最大值为,最小值为。高中数学系列1-1综合测试题学校:中山市龙山中学 命题:曹 毓一、选择题1.下列语句中是假命题的是 ( )A.二次函数的图象是一条抛物线 B.对数函数是增函数吗? C.两个内角等于45的三角形是等腰直角三角形 D.若整数a是素数,则a是奇数2.已知,则下列判断中,错误的是 ( )A.B. C.D.3.命题“”的一个必要不充分条件是 ( )A.B.C.D.4.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是( )A.B. C. D.5.已知双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线是,则双曲线方程为 ( )A.B. C. D. 6.已知顶点在原点,对称轴是y轴的抛物线上一点到它的焦点的距离为4,则m的值是 ( )A. B.或C. D.或7.函数在0,3上的最值是 ( )A.最大值是4,最小值是 B.最大值是2,最小值是C.最大值是4,最小值是 D.最大值是2,最小值是8.已知有相同的两焦点F1,F2的椭圆和双曲线,P是它们的一个交点,则等于 ( ) A.1 B.C.0D.随m,n的变化而变化9.设在和处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是( )A. B.C. D.10.已知点M是椭圆上的一点,两焦点分别为F1,F2, 点I是的内心,连接MI并延长交F1F2于N点,则的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题11.经过点,的椭圆的标准方程是 _.12.已知P:;则 _.13.一抛物线型拱桥,当水面离桥顶2米时,水面宽4米;若水面下降1米,则此时水面宽为_米.14.已知双曲线,M为其右支上一动点,F为其右焦点,点,则|MA|+|MF|的最小值为三、解答题15.已知椭圆方程为,求它的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、离心率和准线方程16.已知曲线上一点,求:(1)点P处的切线方程;(2)点P处的切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积17.已知 , , 若的必要不充分条件,求实数的取值范围 18.设P:关于x的不等式的解集是 Q:函数的定义域为R如果P和Q有且仅有一个正确,求的取值范围19.设是一个常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A, B, 以线段AB为直径作圆H H为圆心. 1试证抛物线顶点在圆H的圆周上; 2求圆H的面积最小时直线AB的方程.20. 设椭圆方程为,过点的直线t交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为().当t绕点M旋转时,求: (1)动点P的轨迹方程; (2)|的最小值与最大值高中数学系列1-1综合测试题参考答案一、选择题 BCBCC DACAA二、填空题 11 1213 14三、解答题15. 解:椭圆方程可化为,所以焦点在y轴上,且,长轴长所以焦点坐标为F1(0,), 顶点为 离心率 准线方程为16. 解:1 切线方程为即 2切线在x轴、y轴上的截距都是,故切线与x轴、y轴所围成的平面图形为直角三角形,其面积为.17. 解: 的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件故有解得m 因此, 所求实数m的取值范围是18. 解:P正确 Q正确对一切实数x恒大于0 当时, 不能对一切实数x恒大于0 故Q正确 若P正确而Q不正确,则0; 若Q正确而P不正确,则 故所求的a的取值范围是19. 解:1 设直线设, 则O在以AB为直径的圆上 2 当时, 最小,此时直线AB的方程为.20. 解(1)设直线t的方程为 , 又设、于是设点P的坐标为则消去参数得 (*)当不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足(*)式,故点P的轨迹方程为(2)由点P的轨迹方程知 故 故当时,取得最小值,最小值为; 当时,取得最大值,最大值为.高中数学解析几何题型 本文档主要包含高中数学解析几何常见的10类题型与基本方法和专题训练与高考预测:考点1.求参数的值考点2. 求线段的长考点3. 曲线的离心率考点4. 求最大小值考点5 圆锥曲线的基本概念和性质考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题专题训练与高考预测考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为() A.B. C.D.考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程:椭圆的右焦点为2,0,所以抛物线的焦点为2,0,则,故选D.考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2.已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y0对称的相异两点A、B,则|AB|等于 A.3B.4 C.3 D.4考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解:设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,由弦长公式可求出.故选C例3.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则_.考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程:由椭圆的方程知故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:1椭圆的离心率e=0,1 e越大则椭圆越扁;2 双曲线的离心率e=1, + e越大则双曲线开口越大.结合有关知识来解题.例4.已知双曲线的离心率为2,焦点是,则双曲线方程为 A. B. C. D.考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程: 所以故选A.小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5.已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于() A B C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e=1, + 的有关知识的应用能力.解答过程:依题意可知 . 考点4.求最大小值求最大小值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大小值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6.已知抛物线y24x,过点P4,0的直线与抛物线相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则y12+y22的最小值是考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大小值的方法.解:设过点P4,0的直线为故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心.例7. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程;(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程 1 设圆C 的圆心为 m, n则 解得所求的圆的方程为2 由已知可得, .椭圆的方程为, 右焦点为 F 4, 0 ;假设存在Q点使,.整理得, 代入 .得: ,.因此不存在符合题意的Q点.例8.如图,曲线G的方程为.以原点为圆心,以 为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于 A 与点B直线AB 与 x 轴相交于点C.()求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式;()设曲线G上点D的横坐标为,求证:直线CD的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力解答过程(I)由题意知,因为由于(1)由点B(0,t),C(c,0)的坐标知,直线BC的方程为又因点A在直线BC上,故有将(1)代入上式,得解得(II)因为,所以直线CD的斜率为,所以直线CD的斜率为定值.例9.已知椭圆,AB是它的一条弦,是弦AB的中点,若以点为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足,求:(1)椭圆E的离心率;(2)双曲线C的方程