2011年高中数学 第一章 分段函数及映射课件 新人教A版必修1.ppt

函数的表示法 二 映射 实例分析 集合 全班同学 集合 全班同学的姓 对应关系是 集合 中的每一个同学在集合 中都有一个属于自己的姓 集合 中国 美国 英国 日本 北京 东京 华盛顿 伦敦 对应关系是 对于集合 中的每一个国家 在集合 中都有一个首都与它对应 设集合 集合 对应关系是 集合 中的每一个数 在集合 中都有一个其对应的平方数 探索研究 三个对应的共同特点 第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素 对于第一个集合中的每一个元素在第二个集合中的对应元素是唯一的 映射定义 设A B是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 那么就称对应f A 为从集合A到集合B的一个映射 mapping 记作 f A 1 映射的概念 中的元素x称为原象 中的对应元素y称为x的象 映射三要素 两个集合 一种对应关系 2 对映射的理解 1 映射具有方向性 2 对映射f A B来说 应满足 集合A中的每一个元素在集合B中都有象 并且是唯一的 集合A中的不同元素在集合B中的象可以是同一个 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象 从对应形式上来说可以是多对一 一对一 但不能是一对多 3 函数与映射的区别和联系 1 相同点 函数与映射分别都有三要素 对应关系都具有方向性 对应关系f A B中 A中元素都具有任意性 B中元素都具有唯一性 函数与映射中的两个集合都是非空的 2 区别 函数中两个集合是非空数集 而映射中两个集合的元素是任意的 3 联系 函数是一种特殊的映射 映射是函数的扩展 是一种特殊的映射 具备两个条件 1 中的不同元素的象也不同 2 中的每一个元素都有原象 一一映射 知识应用 1 已知集合A x x 0 x R B R 对应法则是 取负倒数 1 画图表示从集合A到集合B的对应 在集合A中任取四个元素 2 判断这个对应是否为从集合A到集合B的映射 是否为一一映射 3 元素 2的象是什么 3的原象是什么 4 能不能构成以集合B到集合A的映射 2 点 x y 在映射f下的象是 2x y 2x y 1 求点 在映射f下的像 求点 4 6 在映射f下的原象 知识应用 1 点 2 3 在映射f下的像是 1 7 2 点 4 6 在映射f下的原象是 5 2 1 问题探究 1 试建立一个由A到B的映射 2 由A到B的映射共有多少个 结论 若集合A中有m个元素 若集合B中有n个元素 那么由A到B的映射共有nm个 学点一 学点二 学点三 学点四 1 在定义域内 对于自变量x的不同取值区间 有不同的对应法则 这样的函数叫 2 分段函数的定义域是各段定义域的 其值域是各段值域的 分段函数 并集 并集 已知函数 1 画出函数的图象 2 根据已知条件分别求f 1 f 3 f f 3 f f f 3 的值 分析 给出的函数是分段函数 应注意在不同的范围上用不同的关系式 1 函数f x 在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系 因而可利用常见函数的图象作图 2 根据自变量的值所在的区间 选用相应的关系式求函数值 解析 1 分别画出y x2 x 0 y 1 x 0 y 0 x 0 的图象 即得所求函数的图象如图所示 2 f 1 12 1 f 3 0 f f 3 f 0 1 f f f 3 f f 0 f 1 12 1 评析 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的问题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个区间 从而选相应的对应关系 对于分段函数 各个分段的 端点 要注意处理好 已知函数f x 的解析式为 1 求的值 2 画出这个函数的图象 3 求f x 的最大值 2 如图 在函数y 3x 5图象上截取x 0的部分 在函数y x 5图象上截取01的部分 图中实线组成的图形就是函数f x 的图象 3 由函数图象可知 当x 1时 f x 的最大值为6 学点二分段函数的求值问题 分析 求分段函数的函数值时 一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间 然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值 已知求f f f 3 评析 解决此类问题应自内向外依次求值 解析 3 2 f 3 32 4 3 3 3 2 f f 3 f 3 3 2 2 f f f 3 f 已知函数 1 求 2 若f a 3 求a的值 3 求f x 的定义域与值域 1 2 f a 3 当a 1时 a 2 3 a 1 1 舍去 当 1 a 2时 2a 3 a 1 2 当a 2时 a2 3 a 2 综上知 当f a 3时 a 或a 3 f x 的定义域为 1 1 2 2 R 当x 1时 f x 1 当 1 x 2时 f x 2 4 当x 2时 f x 2 1 2 4 2 R f x 的值域为R 学点三分段函数的解析式 如图所示 等腰梯形ABCD的两底分别为AD 2 BC 1 BAD 45 直线MN AD交AD于M 交折线ABCD于N 记AM x 试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数 并写出函数的定义域和值域 分析 求函数解析式是解决其他问题的关键 根据题意 此题应对N分别在AB BC CD三段上分三种情况写出函数的解析式 评析 分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集 值域也是y在各部分值的取值范围的并集 因此 函数的解析式 定义域 值域通常是逐段求解 最后综合求出 所求函数的关系式为 函数的定义域为 0 2 值域为 0 如图所示 在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P 沿着折线BCDA由点B 起点 向点A 终点 运动 设点P运动的路程为x ABP的面积为y 1 求y与x之间的函数关系式 2 画出y f x 的图象 1 当P点在BC上 即0 x 4时 S ABP 4 x 2x 当P点在CD上时 S ABP 4 4 8 当P点在AD上时 S ABP 4 12 x 2 画出y f x 的图象 如右图所示 所求的函数关系式为 A B两地相距150公里 某汽车以每小时50公里的速度从A地运行到B地 在B地停留2小时之后 又以每小时60公里的速度返回A地 写出该车离开A地的距离s 公里 与时间t 小时 的函数关系 解析 由50t1 150得t1 3 由60t2 150得t2 当0 t 3时 s 50t 当3 t 5时 s 150 当5 t 7 5时 s 150 60 t 5 450 60t 所求函数关系式为 学点四分段函数的应用问题 分析 因行驶速度不一样 故S与t的关系需用分段函数表示 评析 解决数学应用题的一般步骤 首先要在阅读材料 理解题意的基础上 把实际问题抽象成数学问题 经过去粗取精 利用数学知识建立相应的数学模型 再利用数学知识对数学模型进行分析 研究 得出数学结论 最后把数学结论 结果 返回到实际问题中 某汽车以52km h的速度从A地运行到260km远处的B地 在B地停留面1 5h后 再以65km h的速度返回A地 试将汽车离开A地后行走的路程S表示为时间t的函数 因为行驶速度不一样 可考虑分段表示 260 52 5 h 260 65 4 h 所以 1 怎样正确地理解分段函数 对于自变量x的不同取值区间 有着不同的对应法则的函数 称为分段函数 不能认为它是几个函数 它只是一个函数的表达式 只是在表达形式上同以前学过的函数不同 在表示时 用 表示出各段解析式关系 2 如何加强对分段函数的认识 首先对分段函数的定义要理解并掌握 其次从简单的分段函数入手多认识 多识记 教材中通过例题的形式给出了 分段函数 的概念 从而说明 对于一个函数来说 对应法则可以由一个解析式来表示 也可以由几个解析式来表示 用图象表示时 既可以是一条平滑的曲线 也可以是一些点 一段曲线 几条曲线等 1 分段函数的图象是一些线段或曲线段构成的 定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 2 各段不一定等长 分段函数及映射 1 所谓 分段函数 习惯上指在定义域的不同部分 有 不同的 的函数 解析式 0 4 由映射的定义可以看出 映射是 概念的推广 函数是一种特殊的映射 要注意构成函数的两个集合A B必须是 函数 非空集合 5 在映射f A B中 A B x y x y R 且f x y x y x y 则与A中的元素 1 2 对应的B中的元素为 3 1 3 设A B是两个非空集合 如果按照某种对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中 确定的元素y与之对应 那么就称对应f A B为从集合A到集合B 的 都有唯一 一一映射 重点 分段函数 1 分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式 所以它的图象是由几个部分组成的总体 有的可以是一些孤立的点 2 求分段函数的函数值时 关键是看自变量的取值属于哪一段 就用哪一段的解析式 3 分段函数是一个函数 而不是几个 各段定义域的并集即为分段函数的定义域 各段值域的并集 即为分段函数的值域 难点 理解映射概念时要注意的几点 1 映射是函数的一种推广 两个集合A B 它们可以是数集 也可以是点集或其他集合 2 集合A B及对应关系f是确定的 是一个系统 3 集合A中的每一个元素 在集合B中都有唯一的元素和它对应 4 集合A中的不同的元素 在集合B中对应的元素可以是同一个 即可以多个元素对应一个元素 但不能一个元素对应多个元素 5 集合B中的元素在集合A中可以没有对应的 即集合B中可以有 剩余 的元素 分段函数及其应用 例1 如图1 一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶 图1 点A出发 沿正方形的边界逆时针运动一周 再回到A点 若点P运动的路程为x 点P到顶点A的距离为y 求A P两点间的距离y与点P运动的路程x之间的函数关系式 思维突破 利用数学知识建立相应的数学模型 求目标函数解析式 本题需要对点P的位置分类讨论 确定y与x之间的函数关系 解决数学应用题的一般程序 首先要在阅读材料 理解题意的基础上 把实际问题抽象成数学问题 建立相应的数学模型 对其进行分析 研究 得出数学结论 最后把数学结论 结果 返回到实际问题中 1 1 如图2 根据函数f x 的图象写出它的解析式 图2 1 2 如图3 在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P 沿着折线BCDA由B点 起点 向A点 终点 移动 设P点移动的路程为x ABP的面积为 求 ABP的面积与P点移动的路程间的函数关系 图3 映射问题 例2 图4建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f 其中为映射的对应是哪几个 为什么 图4 思维突破 依映射定义判断 1 判断一个对应A B是否为映射 主要的依据是 集合A中的元素是否在集合B中都有元素