数学必修2第四章圆与方程教案有三维目标.doc

第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）一、教学目标：1、知识与技能：（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。（2）会用待定系数法求圆的标准方程。2、过程与方法：进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。3、情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。二、教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。三、教学过程：（一）问题情境设置问题1：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？问题2：什么叫圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？问题3：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？（二）探索研究设圆的圆心坐标为A (a , b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r 0），求圆的方程。分析：设M (x , y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是P = M | |MA| = r，由两点间的距离公式可得出点M适合的条件化简可得：问题4：以上方程是否表示以为A (a , b)圆心，r为半径的圆？结论：以A (a , b)为圆心，半径长为r的圆的标准方程为：。（三）知识应用与解题研究例1：写出圆心为A（2， 3），半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。分析：可以从计算点到圆心的距离入手。圆的方程：；M1在圆上，M2不在圆上。拓展：点M2是在圆内还是在圆外？探究：点在圆内的条件是什么？在圆外呢？结论：点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外；（2）=，点在圆上；（3） 0，所以直线l与圆C相交，有两个公共点。解法二：圆心C（0，1），半径，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交。结论：判断直线l与圆C的位置关系的方法：1、判断直线l与圆C组成的方程组是否有解：（1）有两组实数解，则直线l与圆C相交；（2）有一组实数解，则直线l与圆C相切；（3）没有实数解，则直线l与圆C相离。2、判断圆C的圆心C到直线的距离与圆的半径的关系：（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆相交；拓展：如何求直线l被圆C所截得的弦AB的长？解法一：联立方程组，消去一个未知数，得关于的一元二次方程：思路一：求出交点的坐标，由两点间的距离公式求得弦长。思路二：设直线l的方程为y = kx + b，由根与系数的关系得，代入弦长公式即得。弦长公式：解法二：利用圆被截得弦的性质：如右图，。结论：对于圆内的弦长，利用圆心以直线的距离来求解较为简便。（三）知识迁移例2、已知过点M（ 3， 3）的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程。问题1：确定一条直线的条件是什么？（两点；一点及直线的斜率）设直线的方程为；（为什么要化为一般式？）问题2：已知条件是什么？如何转化更简便？圆心C（0， 2），半径r = 5，又，所以d = ；问题3：有什么好的解题思路？利用圆心到直线的距离，求斜率。或k = 2。（四）反馈练习：课本P128。（五）归纳：（六）作业：课本P132，习题4.2 A组 1，2，3。教学反思：4.2.2 圆与圆的位置关系授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）一、教学目标1、知识与技能：（1）能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；（2）掌握求圆的切线方程的方法。2、过程与方法：探索圆与圆的位置关系的判断方法；会求圆的切线的方程。3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。二、教学重点、难点：重点：圆与圆的位置关系的判断，圆的切线方程的求法。难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求圆的切线的方程。三、教学过程（一）实例引入例1、已知圆C1：，圆C2：，试判断圆C1与圆C2的关系。思考：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？（二）解决问题圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。判断方法：方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。方法二：依据圆心距= |C1C2|与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含。解法一：联立方程组，相减得：x + 2y 1 = 0，代入圆的方程，并整理得：，因为 0，所以两个圆有两个公共点。解法二：因为，所以，得，所以，两个圆相交。反馈练习：课本P130练习。（三）知识拓展1、如果两圆相交，其交线的方程是什么？探究：由例1求出两圆的交线方程（两点式），你有什么发现？为什么？结论：联立方程组，消去二次项即得两圆交线的方程。2、圆系：过两圆，的交点的圆系：。（四）知识迁移：求圆的切线方程例2、已知圆O：，分别求过点A（1，），B（2，3）的切线方程。分析：（1）因为，所以点A在圆O上，所以过点A的切线方程为，即。（2）因为，所以点B在圆外，设过点B的切线方程为y 3 = k (x 2)，即kx y 2k + 3 = 0，所以，又直线x = 2过点B且是圆的切线，所以过点B的切线方程为x = 2或5x 12y + 26 = 0。归纳：求过点向圆C：所引的切线方程的方法：（1）P在圆内，没有切线；（2）P在圆上，仅有一条切线，其斜率为；（3）P在圆外，有两条切线，设其斜率为k，根据圆心到直线的距离等于半径可得。反馈练习：求过点E（3，5）向圆C：所引的切线方程。（五）课堂小结（1）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（2）如何求两个圆的相交弦所在直线的方程？（3）如何求过点P的圆的切线方程？（六）作业：课本P132，习题4.2 A组4，7；圆的切线方程练习。教学反思：4.2.3 直线与圆的方程的应用授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）一、教学目标1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题2、过程与方法：经历用坐标法解决几何问题的过程，体会用“数”解决“形”的问题的具体应用。3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力。二、教学重点、难点：直线与圆的方程的应用。三、教学过程（一）实例引入问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？（二）解决问题（1）建立坐标系：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系（如图）；（2）将平面几何问题转化为代数问题：圆形区域所在圆O的方程为：；轮船航线所在直线l的方程为：；问题归结为判断圆O与直线l有无公共点。（3）解决代数问题：；（4）获得几何结论：这艘轮船不会受到台风的影响。总结：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。（三）应用举例例2、如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度。（精确到0.01m）分析：（1）建立坐标系（如图）；（2）如何求圆拱所在圆的方程？思路一：设圆的标准方程：圆心在y轴上：，圆过两点（10，0），（0，4），所以。思路二：设圆的一般方程：，圆过三点（10，0），（0，4）（ 10，0），所以圆的方程为。（3）直线A2P2的方程：x = 2；（4）如何求点P2的坐标？联立方程组。（5）作答：支柱A2P2的高度为3.86 m。例3、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。已知：ABCD是圆O1的内接四边形，ACBD，O1EAD，垂足为E。求证：O1E =BC。分析：建立直角坐标系（如图），设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），如何求O1的坐标？，所以。（四）反馈练习：课本P132，练习1，2。（五）归纳小结：（1）利用“坐标法”解决问题需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）用“坐标法”解决几何问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响？（六）作业：课本P132，练习3，4。教学反思：4.3 空间直角坐标系授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）一、教学目标1、知识与技能：掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体顶点的有关坐标，掌握空间两点间的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。2、过程与方法：通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。3、情感态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与，大胆探索的精神。二、教学重点、难点重点：建立空间直角坐标系；难点：用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。三、教学过程（一）创设问题情景问题1：借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么空间的点如何表示呢？（二）知识探求1、空间直角坐标系：问题2：如何建立空间直角坐标系？（1）在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴，就成了空间直角坐标系。（2）如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。（3）空间直角坐标系的“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。（4）在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，一般使，且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半，即用斜二测的方法画。2、思考交流：为什么空间的点M能用有序实数对 (x，y，z) 表示？设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就有唯一确定的有序实数组 (x，y，z)；反过来，给定有序实数组 (x，y，z)，可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R点各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组 (x，y，z) 确定的点M。3、例题剖析：例1、如图，在长方体OABCD1A1B1C1中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD1| = 2，写出D1，C，A1，B1四点的坐标。分析：D1（0，0，2），C（0，4，0），A1（3，0，2），B1（3，4，2）。例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。如图建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。分析：下层钠原子的坐标：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0）（，0）；中层钠原子的坐标：（，0，），（1，），（，1，），（0，）；上层钠原子的坐标：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，1）。4、反馈练习：课本P136，练习1，2，3。（三）知识迁移：空间两点间的距离公式1、思考：类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点间的距离公式吗？解决问题：（1）设点P的坐标是 (x，y，z)，求点P到坐标原点O的距离。如图，设点P在xOy平面上的射影是B，则点B的坐标是 (x，y，0)，在平面xOy上，有，在RtOBP中，根据勾股定理，因为 | BP | = | z |，所以。（2）探究：如果 | OP | 是定长，那么表示什么图形？表示空间中以原点O为圆心，r为半径的球。（3）空间两点间的距离公式：设，在平面xOy上的射影分别为，所以，过点P1作P1HP2N于H，则|MP1| = |z1|，|MP2| = |z2|，所以|HP2| = |z2 z1|，在中，|P1H| = |MN|，所以；结论：空间两点，之间的距离公式：。思考：该公式与平面上两点间的距离公式有什么联系？3、反馈练习：课本P138，练习1，2，3，4。（四）归纳小结：我们学到了什么？1、空间直角坐标系：用空间直角坐标系刻画点的位置，根据点的位置表示出点的坐标。2、空间两点，之间的距离公式：。（五）作业：课本P138，习题4.3 A组 2，3。教学反思：第四章圆与方程小结与复习授课类型：复习课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）一、教学目标：1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。二、教学重点：各知识点间的网络关系。难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。三、教学过程（一）整合知识，发展思维1、圆的方程及其特点：（1）标准方程：（2）一般方程：（）x 2和y 2的系数相同，且不等于0；没有xy这样的二次项。（3）圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显；圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。（4）圆的标准方程与一般方程可以相互转化。2、位置关系：（1）点与圆的位置关系：，点在圆外；=，点在圆上；，点在圆内。（2）直线与圆的位置关系方法一：直线与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解，直线与圆就有几个公共点；方程组没有实数解，直线与圆就没有公共点。方法二：判断圆C的圆心C到直线的距离与圆的半径的关系：（1）当时，直线与圆相离；求圆上任意一点到直线的距离的最值；（2）当时，直线与圆相切；求圆的切线方程；（3）当时，直线与圆相交；求弦长。（2）圆与圆的位置关系方法一：圆与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解，圆与圆就有几个公共点；方程组没有实数解，圆与圆就没有公共点。方法二：依据圆心距= |C1C2|与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含。3、用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。4、空间直角坐标系的建立，空间两点间的距离公式。（二）应用举例，深化巩固例1、一圆与y轴相切，圆心在直线x 3