泛函中三大定理的认识.doc

泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。1、Hahn-Banach延拓定理定理：设为线性赋范空间的线性子空间，是上的任一线性有界泛函，则存在上的线性有界泛函，满足：(1) 当时，； (2) ；其中表示作为上的线性泛函时的范数；表示上的线性泛函的范数延拓定理被应用于Riesz定理、Liouville定理的证明及二次共轭空间等的研究中2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间定义1逆算子(广义上)：设和是同一数域上的线性赋范空间，算子：，的定义域为；值域为用表示从的逆映射(蕴含是单射)，则称为的逆算子(invertiable operator)定义2正则算子：设和是同一数域上的线性赋范空间，若算子：满足(1)是可逆算子； (2) 是满射，即； (3) 是线性有界算子，则称为正则算子(normal operator)注： 若是线性算子，是线性算子吗？若是线性有界算子，是线性有界算子吗？性质1 若：是线性算子，则是线性算子证明 ：，由线性性知：由于可逆，即不是零算子，于是，故是线性算子定理2逆算子定理：设是Banach空间到Banach空间上的双射(既单又满)、线性有界算子，则是线性有界算子例1 设线性赋范空间上有两个范数和，如果和均是Banach空间，而且比强，那么范数和等价(等价范数定理)证明：设是从由到上的恒等映射，由于范数比强，所以存在，使得有于是是线性有界算子，加之既是单射又满射，因此根据逆算子定理知是线性有界算子，即存在，使得有故范数和等价。3、一致有界原理定义1一致有界：设和是同一数域上的线性赋范空间，如果是有界集，则称算子族为一致有界定理1 共鸣定理：设是Banach空间，是线性赋范空间，算子族，那么：是有界集(一致有界)，为有界集证明：(1) 必要性 因为是有界集，所以存在，有，于是，不妨设，那么因此为有界集(2) 充分性，定义，显然是上的范数且比强，下面证明完备如果，由是Banach空间知存在，使得又因为，使得只要，便有从而有因此得，即，可见完备根据等价范数定理知范数和等价，从而存在，使得有于是可得有注： 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当不一致有界时，即，则存在，使得，称为算子族的共鸣点。例2 设无穷矩阵满足，并对任何有其中，证明算子是线性连续算子例3 (Fourier级数的发散问题) 存在一个周期为的实值连续函数，它的Fourier级数在点发散.证明 ： 记周期是的实值连续函数全体为，对于，导出的Fourier级数为：，其中 ()； ().当时，级数为，前项部分和为记，计算可得，于是下面证明存在，使得发散显然是线性泛函又因为