选修4-5__不等式选讲教师版.doc

【2013年高考会这样考】1考查含绝对值不等式的解法2考查有关不等式的证明3利用不等式的性质求最值【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质。基础梳理1含有绝对值的不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a或(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c；|axb|或(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解2含有绝对值的不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则|ab|，当且仅当同号，等号成立定理2：如果a，b是实数，那么，当且仅当异号，等号成立3基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均值不等式)如果a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立注意掌握利用基本不等式求最值的方法：对两个正实数x、y如果它们的和S是定值，则当且仅当时，它们的积P取得最大值； 如果它们的积P是定值，则当且仅当时，它们的和S取得最小值4柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.(2)三维形式的柯西不等式：当且仅当或时，等号成立(3)一般形式的柯西不等式：当且仅当或时，等号成立(4)向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立。(5)二维形式的平面三角不等式：变式：。5不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等其它方法有：换元法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)舍去或加上一些项，如，n等。(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如；(4)利用常用结论，如， ；(程度大)；() (程度小)；等.6. 几个重要不等式（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.（当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） 其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）.变形公式： 幂平均不等式：贝努利不等式：若xR，且x1，x0，n1，nN，则(1x)n17排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.双基自测1不等式1|x1|3的解集为_答案(4，2)(0,2)2不等式|x8|x4|2的解集为_解析令：f(x)|x8|x4|当x4时，f(x)42；当4x8时，f(x)2x122，得x5，4x5；当x8时，f(x)42不成立故原不等式的解集为：x|x5答案x|x53已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.答案k14若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_解析由|3xb|4，得x，即解得5b7.答案(5,7)5(2011南京模拟)如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是_解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a5或a3.答案(，53，) 6已知均为实数.若，求的最大值。答案：， 7已知函数f(x)|x1|x2|，若不等式|ab|ab|a|f(x)对a0，a、bR恒成立，求实数x的范围.答案：由|ab|ab|a|f(x)且a0得f(x).又因为2，则有2f(x).解不等式|x1|x2|2得得x.考向一含绝对值不等式的解法【例1】设函数f(x)|2x1|x4|。(1)解不等式f(x)2；(2)若关于的不等式恒成立，求参数的取值范围。(3)若关于不等式有解，求参数的取值范围。【审题视点】第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：属于不等式恒成立问题，必须先求出的最小值，画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值第（3）问：属于不等式有解问题，只需求出的最小值，再转化为解绝对值不等式。解(1)f(x)|2x1|x4|当x时，由f(x)x52得，x7.x7；当x4时，由f(x)3x32，得x，x4；当x4时，由f(x)x52，得x3，x4.故原不等式的解集为。(2)画出f(x)的图象如图：f(x)min. 故。(3) 由（2）知，f(x)的最小值为，则不等式f(x)|2t3|0有解必须且只需|2t3|0，解得。所以t的取值范围是。 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法(3)应熟练掌握不等式有解及恒成立两类问题的相关解法。【训练1】设函数f(x)|x1|xa|。(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围(3)若的取值满足（2）的取值范围，且设的定义域为，求实数的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函数f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(x)f(x)的最小值为1a.若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.对于xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，a的取值范围是(，13，)（3）因为的定义域为，所以在上无解。又f(x)2，所以，即。考向二不等式的证明【例2】证明下列不等式：(1)设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)a68b6c62a2b2c2.(4)设为正实数，求证：.(5)已知a、b、cR，且abc1.求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).(6)数学归纳法证明不等式：【审题视点】 (1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式；（4）利用；(5)分析法；（6）利用数学归纳法。证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b20.(ab)(3a22b2)0.3a22b33a2b2ab2.(2)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.(3)a68b6c63 3a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2.(4)证明： 为正实数，由均值不等式得 又 。 .(5)证明：因为a、b、cR，且abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因为(ab)(bc)20，(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得证.(6)用学归纳法证明：（i）当时，成立.（ii）假设当时，命题成立.即，则当时，）+由（i）（ii）可知命题对一切大于1的自然数成立 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤是：作差；分解因式；与0比较；得出结论关键是代数式的变形能力。其理论依据为：ab0；a0，1；b1(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明(3)使用综合法证明不等式应注意对基本不等式或已证不等式的使用，常用的不等式有：a20；|a|0；a2b22ab；(a，b0)等(4)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法。其理论依据ab，bcac。(5)分析法就是从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【训练2】（1）（2010年辽宁高考）已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明法一因为a，b，c均为正数，由基本不等式得，a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc)，故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c22abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立（2）设函数f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).求f(x)的单调区间；求证：当mn0时，(1m)n(1n)m.解析：(1)f(x)1aln(x1)a，a0时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0时，f(x)在(1，1上单调递增，在1，)单调递减.(2)证明：要证(1m)n(1n)m，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证.设g(x)(x0)，则g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】（1）已知a，b，cR，且abc1，求的最大值【审题视点】先将()平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解解法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2，()233(abc)3又abc1，()218，3.当且仅当时，等号成立()max3.（2）求函数的最大值.解：函数的定义域为，且由柯西不等式得 ，当且仅当时，取，即时函数取最大值. 利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，通过“配”、“凑”构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立【训练3】（1）已知abc1，ma2b2c2，求m的最小值解法一abc1，a2b2c22ab2bc2ac1，又a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，2(a2b2c2)2ab2ac2bc，1a2b2c22ab2bc2ac3(a2b2c2)a2b2c2.当且仅当abc时，取等号，mmin.法二利用柯西不等式(121212)(a2b2c2)(1a1b1c)abc1.a2b2c2，当且仅当abc时，等号成立mmin （2）设，求的最小值.解：由柯西不等式可知：，且仅当，且，即时，M有最小值为.考向四 排序不等式【例4】设是互不相等的正数，其中且.求证：。证明：不妨设，则， 故由排序不等式知，乱序和不小于反序和，又等号均不成立，故，即 （1）顺序和、乱序和、反序和的概念:设a1a2a3an，b1b2b3bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则称ai与bi(i1，2，n)按相同顺序相乘所得积的和n为顺序和，和为乱序和，按相反顺序相乘所得积的和为反序和 (2)排序不等式(排序原理)设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则，当且仅当 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和乱序和顺序和(3)根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.构造当的两组数将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，这时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理，有难度的逐步调整去构造. 排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2b22ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究猜想证明应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用. 对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.【训练4】设都为正实数，证明：证明：不妨设a1a2an，则aaa，.由排序不等式有aaaaaaaa1a2an，故不等式成立.另外由均值不等式可以证明其成立：a22a1，a32a2，a12an，将这n个不等式相加得a2a3ana12(a1a2an)，整理即得所证不等式.或者由柯西不等式可以证明()(a2a3ana1)()2(a1a2an)2.不等式两边约去正数因式a1a2an即得所证不等式.如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对不等式选讲的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题【示例】 (本题满分10分)(2011新课标全国)设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值 第(2)问解不等式|xa|3x0的解集，结果用a表示，再由x|x1求a.【解答示范】(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.。(3分)故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1。(5分)(2)由f(x)0得，|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或。(8分)。因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.(10分) 本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便【试一试】 (2011辽宁)已知函数f(x)|x2|x5|。(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集【尝试解答】(1)f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x5；当x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x6。【2012年高考真题链接】1（2012年高考（陕西理）若存在实数使成立,则实数的取值范围是_。答案：因为，所以。2.（2012年高考（山东理）若不等式的解集为,则实数_。答案：由可得,所以,所以,故. 3.（2012年高考（江西理）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集为_。答案：4（2012年高考（湖南理）不等式|2x+1|-2|x-1|0的解集为_。答案： 5.（2012年高考（广东理）不等式的解集为_答案:.的几何意义是到的距离与到0的距离的差,画出数轴,先找出临界“的解为”,然后可得解集为.6（2012天津理）已知集合，集合,且，则 , .答案：=,又，画数轴可知，.7（2012年高考（新课标理）已知函数=.()当时,求不等式 3的解集；() 若的解集包含,求的取值范围.【解析】(1)当时, 或或 或。(2)原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立。8（2012年高考（江苏）已知实数x,y满足:求证: .证明:, 由题设. 9（2012福建理）已知函数，且的解集为。（）求的值；（）若，且，求证：。解：(1)，的解集是。故。(2)由（1）知,由柯西不等式得。 10（2012年高考（辽宁理）已知,不等式的解集为()求a的值；()若恒成立,求k的取值范围.课外巩固1(中原六校联谊2012年高三第一次联考理) 设对于任意实数x，不等式恒成立（1）求m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：2. (2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)已知函数()若不等式的解集为，求实数a的值；()在()的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围【解析】（）由得，即， （）由（）知,令，则的最小值为4，故实数的取值范围是3(河北唐山市2012届高三第三次模拟理) 已知。（1）解不等式；（2）若存在实数x满足，试求实数a的取值范围。（）函数yax1的图象是过点(0，1)的直线当且仅当函数yf(x)与直线yax1有公共点时，存在题设的x由图象知，a取值范围为(，2)，)4.(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)已知函数。（I）当a=0时，解不等式；（II）若存在xR，使得，f（x）g（x）成立，求实数a的取值范围故，从而所求实数的范围为。5.已知实数、满足，.证明：（I）；（II）. 由（）知：.，化简得，解得.， .6设二次函数，已知，并且对任意，均有。（I）求函数的解析式；（II）设，解不等式。【解析】7. (2011年高考全国新课标卷理科)设函数。(1)当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。【分析】解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值