三维空间磁场结构数学模型及磁场方式三维定位装置.pdf

文章编号 1000 2243 2003 02 0151 05 三维空间磁场结构数学模型及磁场方式三维定位装置 林 东 陈 新 福州大学信息科学与技术学院 福建 福州 350002 摘要 推导单圆环线圈三维空间磁场数学表达式并建立了磁场方式三维定位系统数学模型 在此基础上研制磁场 方式三维定位装置 实现三维磁传感器探头六自由度实时定位及一维磁传感器探头五自由度实时定位 该装置提 供了一种利用对人体无害的磁场来测定内窥镜探头等医疗器械在人体内的三维位置及姿态的新方法 关键词 三维定位 磁场 传感器 内窥镜 中图分类号 TM938 8文献标识码 A Mathematical models of 3D magnetic field and 3D positioning system by magnetic field LIN Dong CHEN Xin College of Information Science and Technology Fuzhou University Fuzhou Fujian 350002 China Abstract Developed a practical systemof 3D positioning based on the mathematical models of 3D posi2 tioning and the intension expression of magnetic induction produced by a single loop coil derived in de2 tail Realization real time 6 degrees of freedom measurement by attached a 3D magnetic sensor and 5 degrees of freedom measurement by single magnetic sensor This system develops a new approach to de2 termine the 3D position and pose of endoscope inside the patient s body by harmless magnetic field Keywords 3D positioning magnetic field sensor endoscope 利用磁场进行三维定位是一种新的定位方法 该方法的优点在于利用磁场对非磁屏蔽物体 人体 的穿透性 可以实现非可视状态下的三维定位 在医疗方面有广泛的应用 与X射线透视定位方法 超 声波定位相比较具有无损害 操作简便等特点 在进入人体内操作的医疗器械 如 内窥镜 上附加磁场 传感器来接收人体外磁场发射线圈产生的磁场 根据所感应的一组信号可以确定人体内磁场传感器的 位置 从而确定医疗器械的位置 1 三维空间磁场结构数学模型 产生磁场的手段以电流线圈的方法为最准确 1 因为用载流导体产生的磁场 其磁场强度可以根 据导体的几何尺寸和流过导体的电流 利用毕奥 沙伐 Biot Savart 定律准确地进行计算 因此 在电 磁测量中可以利用线圈产生的磁场作为磁场源 从磁场结构及易于实际加工制作考虑 选用具有轴对称性的圆线圈是最为理想的 理想化的圆线 圈磁场是由圆环线电流产生的 分析磁场时 忽略线圈的绕线螺旋性而引起的磁场强度计算误差不大 于5 10 6 2 这样的误差在大多数情况下都是允许的 可以大大减轻计算的工作量 1 1 电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度 根据毕奥 沙伐定律 电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度为 dB 0Idl r 4 r 3 1 收稿日期 2002 10 28 作者简介 林 东 1969 男 讲师 上海交通大学电子工程系在职博士生 基金项目 教育部高等学校骨干教师资助计划项目 第31卷 第2期福州大学学报 自然科学版 Vol 31 No 2 2003年4月Journal of Fuzhou University Natural Science Apr 2003 其中 r是电流元指向考察点方向的矢量 积分可得 B 0 4 Idl r A 2 其中 A 0 4 Idl r 3 A是磁场的矢势 矢量磁位 一般在已知场源分布的情况下 先求得A 然后通过式 2 计算B较为方便 1 2 单圆环线圈在空间任意一点的磁场 图1 圆环电流的磁场 Fig 1 Magnetic induction produced by a single loop coil 圆环线圈是以线电流分布的单匝圆形回路 其几何形 状最为简单 圆环线圈在其周围空间产生的磁场由线圈的 半径尺寸和线圈中的电流唯一确定 圆环电流在其轴线上 的磁场比较容易计算 若要计算其周围空间任意一点的磁 场 就要遇到椭圆积分 3 设半径为R的圆环线圈中通过电流I 圆环平面位于 直角坐标平面xoy上 o为圆心 P x y z 为空间任意 一点 如图1所示 l为圆环回路 dl是导线上任意点 Q x y z 处切线矢量的微分 其方向和该点处的电 流方向相同 r是点Q到点P的矢量 dl dx i dy j dz k 4 r x x 2 y y 2 z z 2 1 2 5 为计算方便 采用柱坐标系 由于圆环电流的磁场是轴对称的 不失一般性 可假定空间任一点P在座 标平面xoz上 P点坐标为 0 z 从圆环上任一点Q Rcos Rsin 0 到P点的矢径为 r Q P Rcos i 0 Rsin j z 0 k 6 矢径长度 r Q P Rcos 2 Rsin 2 z 2 2 R 2 z 2 2 Rcos 7 柱坐标系式 4 表示为 dl R sin e cos e d 8 式中 e 是点Q x y z 处的周向单位矢量 将式 7 和 8 代入式 3 得 A 0 z 0 4 2 0 IR sin e cos e d 2 R 2 z 2 2 Rcos 1 2 9 式中 被积函数项sin 是关于 的奇函数 积分结果等于零 被积函数项cos 是关于 的偶函数 设 2 则 cos d 2 2sin 2 1 d 10 代入式 9 化简得 A 0 z 0IR 2 0 2sin 2 1 d R 2 z 2 1 2 1 4 R R 2 z 2sin 2 1 2 e 11 记 k 4 R R 2 z 2 12 2 0 d 1 k 2sin2 K k 13 2 0 1 k 2sin2 d E k 14 式 11 简化为 A 0 z 0I k R 1 k 2 2 K k E k e 15 251 福州大学学报 自然科学版 第31卷 其中 K k E k 分别称为第一类和第二类完全椭圆积分 A就是圆环线圈的矢量磁位 根据式 2 只要对A求旋度就可得到B 求旋度时需利用第一类 第二类完全椭圆积分的导数公式 4 dK k dk E k k 1 k 2 K k k 16 dE k dk E k K k k 17 圆柱坐标系下的旋度公式 5 A 1 5Az 5 5A 5z e 5A 5z 5Az 5 e 1 5 5 A 5A 5 ez 18 将式 15 代入式 18 得 B 1 5Az 5 5A 5z 5A 5z 5A 5k 5k 5z 0I 2 z R 2 z 2 1 2 1 K k R 2 2 z 2 R 2 z 2 E k 19 B 5A 5z 5Az 5 0 20 Bz 1 5 A 5 5A 5 1 5 A 5 A 5A 5 0I 2 1 R 2 z 2 1 2 K k R 2 2 z 2 R 2 z 2 E k 21 实际使用中 直角座标系较为方便 因此对于给定的任意点P x y z 先转换坐标系为P z 代入式 19 式 20 式 21 计算 得到B在圆柱坐标系下的分量 再转换回直角坐标系 得到 直角坐标系下圆环线圈周围空间任意一点的磁感应强度B B包含 Bx By Bz 3 个分量 为叙述方 便 上述过程记为 B f P x y z 22 1 3 三个相互正交圆环线圈的磁场 图2 三个相互正交的发射线圈结构 Fig 2 Structure of three emitting coils 3个相互正交的圆环线圈结构如图2所示 X Y Z线 圈的轴线分别与x轴 y轴 z轴重合 线圈中心位于坐标 原点 线圈上的电流方向和坐标轴的正方向构成右手螺旋 关系 X Y Z3个线圈在时序电路控制下 按一定的次序 一定的周期轮流发射磁场 由于线圈以时分方式工作 所 以3个相互正交线圈中的任何一个所产生的磁场都和单圆 环线圈产生的磁场是一致的 只是轴线方向不同 文献 6 提出以Z线圈磁场模型为基础 采用旋转坐标系的方法计 算X Y线圈在任意给定的一点P位置的磁场BX BY 因 此可得 BX f P x y z Ty 90 Ty 90 23 BY f P x y z Tx 90 Tx 90 24 BZ f P x y z 25 其中 三维空间坐标变换矩阵Tx Ty分别表示绕x轴 y轴旋转 旋转方向按右手螺旋关系定义 BX包 含 BXx BXy BXz BY包含 BYx BYy BYz BZ包含 BZx BZy BZz 共有9个分量 2 三维磁传感器探头实现六自由度定位 为了数学模型分析的方便 接收探头也由3个相互正交的线圈构成 实际使用可选用MR磁传感 器等其它类型 探头的姿态由探头上的X Y Z线圈与发射线圈坐标系的相对位置决定 发射线圈坐 标系平移至探头所在的P点所形成的坐标系为姿态参照基准 探头由基准状态分别绕探头坐标系的x 351 第2期林 东 等 三维空间磁场结构数学模型及磁场方式三维定位装置 轴 y轴 z轴依次转过a角度 b角度 c角度后所形成的姿态表示为姿态 a b c 发射线圈在探头所处的P x y z 点产生的BX BY BZ 不因探头的姿态 a b c 而改变 但不同 的 a b c 改变BX BY BZ在探头坐标系下的投影 探头实际感应的信号BX BY BZ 表示为 BX BX Tx a Ty b Tz c f P x y z Ty 90 Ty 90 Tx a Ty b Tz c 26 BY BY Tx a Ty b Tz c f P x y z Tx 90 Tx 90 Tx a Ty b Tz c 27 BZ BZ Tx a Ty b Tz c f P x y z Tx a Ty b Tz c 28 由于旋转对象是探头坐标系 所以旋转角度取负值 在实际电路测量时 首先分别得到BX BX x BX y BX z BY BY x BY y BY z BZ BZ x BZ y BZ z 的3个分量 共9个值 建立以 x y z a b c 为未知数的9个方程 采用最优化 非线性规划 方法搜索求得该六元非线性方程组的最优 解 从而确定探头位置 x y z 及姿态 a b c 实现六自由度定位 3 一维磁传感器探头实现五自由度定位 图3 两组发射线圈位置结构 Fig 3 Structure of two group emitting coils 由于探头安装及体积等原因 某些场合要求 采用一维磁传感器探头 但是一维传感器只能检 测到某个方向的分量 为建立足够的独立的定位 方程 必须增加一组三维磁场发射线圈 两组线圈 配置在正六面体工作区域的对角上 如图3所示 第二组磁场发射线圈的坐标系由第一组磁场发射 线圈平移至 nR nR nR 得到 R为圆环线圈的 半径 n根据需要的工作范围选择 一般为5 10 一维传感器探头的姿态用探头上的线圈轴线 方向来表示 第一组发射线圈坐标系平移至探头 所在的P点所形成的坐标系为姿态参照基准 探头线圈轴线与z轴重合设为初始状态 相当于三维探 头上的Z线圈 分别绕探头坐标系的x轴 y轴依次转过a角度 b角度后所形成姿态表示为姿态 a b 探头在P x y z 点按时分方式感应两组发射线圈产生的磁场 P点处磁场不因探头的姿态 a b 而改变 但不同的姿态 a b 感应得到的磁场强度不同 探头实际感应得到的信号与三维探头上Z 线圈的值相同 表示为 BX1 z f P x y z Ty 90 Ty 90 Tx a Ty b 0 0 1 T 29 BY1 z f P x y z Tx 90 Tx 90 Tx a Ty b 0 0 1 T 30 BZ1 z f P x y z Tx a Ty b 0 0 1 T 31 BX2 z f P x nR y nR z nR Ty 90 Ty 90 Tx a Ty b 0 0 1 T 32 BY2 z f P x nR y nR z nR Tx 90 Tx 90 Tx a Ty b 0 0 1 T 33 BZ2 z f P x nR y nR z nR Tx a Ty b 0 0 1 T 34 其中 矩阵 0 0 1 T 的作用是取出一维探头方向 相当于三维探头上的Z线圈 的分量 探头感应第 一组发射线圈分别得到BX1 z BY1 z BZ1 z 感应第二组发射线圈分别得到BX2 z BY2 z BZ2 z 共6 个值 联立以上6个方程 搜索五元非线性方程组的最优解 确定探头位置 x y z 及姿态 a b 实现五自由度定位 451 福州大学学报 自然科学版 第31卷 4 磁场方式三维定位装置 图4 系统基本结构 Fig 4 System configuration 系统基本结构组成如图4所示 磁场定位系 统由发射控制单元 发射线圈 接收线圈 探头 接收放大及控制单元 A D采集卡 微机等部分组 成 控制电路产生载波及时序控制信号 载波经时 分控制 分别产生X Y Z磁场发射线圈所需的 载波 经功放电路后 由线圈发射磁场 在发射线 圈附近工作的接收探头感应交变磁场 产生的电 压输入接收放大及控制单元 经运算放大器放大 模拟开关切换 把时分多路信号合成为一路 经窄带滤波 同步检波 低通滤波 采样保持后 由A D 采集卡采集 量化成数字信号 采集一组完整的数据后代入多元非线性方程组求解 得到位置与姿态信 息 完成探头的一次定位 六自由度定位时 只需使用一组发射线圈和三维磁传感器探头 五自由度定位时 使用两组发射线 圈和一维磁传感器探头 如图4中虚线所示 2种定位方法的电路结构基本相同 区别仅在于时分控制 部分稍有区别 5 实验结果 实际制作的定位装置中使用的发射线圈半径R为17 5 cm 探头上接收线圈半径为2 5 mm 位置及 姿态定位精度实测数据列于表1 磁场方程的求解采用具有全局收敛特性的牛顿 拉夫森算法 方程求 解的正确性是通过对于任意给定位置和姿态计算得到的理论值进行求解的方法得到验证 6 因实验条 件限制 其数据为粗略测量值 近区测量值与理论值相差不大