三角形中考压轴题(带答案).pdf

中考专题 三角形 一 选择题 共3小题 1 2014 山西 如图 点E在正方形ABCD的对角线AC上 且 EC 2AE 直角三角形FEG的两直角边EF EG分别交BC DC于点M N 若正方形ABCD的边长为a 则重叠部分四边形EMCN的面积为 A a2 B a2 C a2 D a2 考 点 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 菁优网版权所有 专 题 几何图形问题 压轴题 分 析 过E作EP BC于点P EQ CD于点Q EPM EQN 利用四 边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解 解 答 解 过E作EP BC于点P EQ CD于点Q 四边形ABCD是正方形 BCD 90 又 EPM EQN 90 PEQ 90 PEM MEQ 90 三角形FEG是直角三角形 NEF NEQ MEQ 90 PEM NEQ AC是 BCD的角平分线 EPC EQC 90 EP EQ 四边形PCQE是正方形 在 EPM和 EQN中 EPM EQN ASA S EQN S EPM 四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积 正方形ABCD的边长为a AC a EC 2AE EC a EP PC a 正方形PCQE的面积 a a a2 四边形EMCN的面积 a2 故选 D 点 评 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质 解题 的关键是作出辅助线 证出 EPM EQN 2 2014 武汉模拟 如图 A ABC C 45 E F分别是AB BC的中点 则下列结论 EF BD EF BD ADC BEF BFE AD DC 其中正确的是 A B C D 考 点 三角形中位线定理 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 根据三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 同时利 用三角形的全等性质求解 解 答 解 如下图所示 连接AC 延长BD交AC于点M 延长AD交BC于 Q 延长CD交AB于P ABC C 45 CP AB ABC A 45 AQ BC 点D为两条高的交点 所以BM为AC边上的高 即 BM AC 由中位线定理可得EF AC EF AC BD EF 故 正确 DBQ DCA 45 DCA CAQ 45 DBQ CAQ A ABC AQ BQ BQD AQC 90 根据以上条件得 AQC BQD BD AC EF AC 故 正确 A ABC C 45 DAC DCA 180 A ABC C 45 ADC 180 DAC DCA 135 BEF BFE 180 ABC 故 ADC BEF BFE成立 无法证明AD CD 故 错误 故选B 点 评 本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用 3 2013 河北模拟 四边形ABCD中 AC和BD交于点E 若AC平分 DAB 且AB AE AC AD 有以下四个命题 AC BD BC DE DBC DAB AB BE AE 其中命题一定成立的是 A B C D 考 点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 根据等腰三角形的性质 等边三角形的判定 圆内接四边形的性 质 全等三角形的性质判断各选项是否正确即可 解 答 解 AB AE 一个三角形的直角边和斜边一定不相等 AC不 垂直于BD 错误 利用边角边定理可证得 ADE ABC 那么BC DE 正确 由 ADE ABC可得 ADE ACB 那么A B C D四点共 圆 DBC DAC DAB 正确 ABE不一定是等边三角形 那么 不一定正确 正确 故选B 点 评 此题主要考查了全等三角形的性质 以及直角三角形中斜边最 长 全等三角形的对应边相等 等边三角形的三边相等 二 填空题 共6小题 4 2015 泰安一模 如图 将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正 三角形 再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形 如 此继续下去 结果如下表 则an 3n 1 用含n的代数式表示 所剪次数 123 4 n 正三角形 个数 471013 an 考 点 等边三角形的性质 菁优网版权所有 专 题 压轴题 规律型 分 析 根据图跟表我们可以看出n代表所剪次数 an代表小正三角形的个 数 也可以根据图形找出规律加以求解 解解 由图可知没剪的时候 有一个三角形 以后每剪一次就多出 答 三个 所以总的个数3n 1 故答案为 3n 1 点 评 此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力 5 2013 宜兴市一模 如图 在 ABC中 AC BC AB 点P为 ABC所在平面内一点 且点P与 ABC的任意两个顶点构成 PAB PBC PAC均是等腰三角形 则满足上述条件的所有点P的个数 为 6 个 考 点 等腰三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 作出AB的 垂直平分线 首先 ABC的外心满足 再根据圆的半径相等 以 点C为圆心 以AC长为半径画圆 AB的垂直平分线相交于两点 分别以点A B为圆心 以AC长为半径画圆 与AB的垂直平分线 相交于一点 再分别以点A B为圆心 以AB长为半径画圆 与 C相交于两点 即可得解 解 答 解 如图所示 作AB的垂直平分线 ABC的外心P1为满足条 件的一个点 以点C为圆心 以AC长为半径画圆 P2 P3为满足条件的点 分别以点A B为圆心 以AC长为半径画圆 P4为满足条件的 点 分别以点A B为圆心 以AB长为半径画圆 P5 P6为满足条 件的点 综上所述 满足条件的所有点P的个数为6 故答案为 6 点 评 本题考查了等腰三角形的判定与性质 主要利用了线段垂直平分 线上的点到线段两端点的距离相等的性质 三角形的外心到三个 顶点的距离相等 圆的半径相等的性质 作出图形更形象直观 6 2013 齐齐哈尔模拟 如图 ABC是边长为1的等边三角形 取 BC的中点E 作ED AB EF AC 得到四边形EDAF 它的面积记为 S1 取BE的中点E1 作E1D1 FB E1F1 EF 得到四边形 E1D1FF1 它的面积记作S2 照此规律 则S2012 考 点 等边三角形的性质 三角形中位线定理 菁优网版权所有 专 题 压轴题 规律型 分 析 求出 ABC的面积是 求出DE是三角形ABC的中位线 根据相似三角形的性质得出 求出S CDE S BEF 求出S1 同理S2 S BEF S3 S4 推出S2012 2011个 即可得出答案 解 答 解 BC的中点E ED AB E为BC中点 DE AB DE AB CDE CAB 2 ABC的面积是 1 S CDE 推理 S BEF S1 同理S2 S BEF S3 S4 S2012 2011个 故答案为 点 评 本题考查了相似三角形的性质和判定 等边三角形的性质的应 用 解此题的关键是总结出规律 题目比较好 但是有一定的难 度 7 2015 和平区模拟 如图 在正方形ABCD中 点E F分别在边 BC CD上 如果AE 4 EF 3 AF 5 那么正方形ABCD的面积等 于 考 点 勾股定理的逆定理 解分式方程 相似三角形的判定与性质 菁优网版 权所有 专 题 压轴题 分 析 根据 ABE ECF 可将AB与BE之间的关系式表示出来 在 Rt ABE中 根据勾股定理AB2 BE2 AC2 可将正方形ABCD的 边长AB求出 进而可将正方形ABCD的面积求出 解 答 解 设正方形的边长为x BE的长为a AEB BAE AEB CEF 90 BAE CEF B C ABE ECF 即 解得x 4a 在Rt ABE中 AB2 BE2 AE2 x2 a2 42 将 代入 可得 a 正方形ABCD的面积为 x2 16a2 点本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求 评 解的综合题 隐含了整体的数学思想和正确运算的能力 注意后 面可以直接这样x2 a2 42 x2 2 42 x2 x2 42 x2 16 x2 无需算出算出x 8 2015 湖州模拟 已知a b c是直角三角形的三条边 且a b c 斜边上的高为h 则下列说法中正确的是 只填序号 a2b2 h4 a2 b2 1 h2 b4 c2h2 b2c2 由 可以构成三角形 直角三角形的面积的最大值是 考 点 勾股定理的逆定理 勾股定理 菁优网版权所有 专 题 计算题 压轴题 分 析 根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简 等式成立者 即为正确答案 解 答 解 根据直角三角形的面积的不同算法 有 ab ch 解得h 将h 代入a2b2 h4 a2 b2 1 h2 得 a2b2 4 a2 b2 1 2 得 a2b2 4 c2 1 2 得 a2b2 4 a2b2 得 即 4 a2b2 c2 不一定成立 故本选项错误 将h 代入b4 c2h2 b2c2 得 b4 c2 2 b2c2 b4 b2a2 b2c2 整理得b4 b2a2 b2c2 0 b2 b2 a2 c2 0 b2 a2 c2 0 b2 b2 a2 c2 0成立 故本选项正确 b2 a2 c2 2 2 a b 2 c 不能说明 2 2 2 故本选项错误 直角三角形的面积为 ab 随ab的变化而变化 所以无最大值 故本选项错误 故答案为 点 评 此题不仅考查了勾股定理 还考查了面积法求直角三角形的高 等式变形计算较复杂 要仔细 9 2013 贺州 如图 A B C分别是线段A1B B1C C1A的中 点 若 ABC的面积是1 那么 A1B1C1的面积 7 考 点 三角形的面积 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 连接AB1 BC1 CA1 根据等底等高的三角形的面积相等求出 ABB1 A1AB1的面积 从而求出 A1BB1的面积 同理可 求 B1CC1的面积 A1AC1的面积 然后相加即可得解 解 答 解 如图 连接AB1 BC1 CA1 A B分别是线段A1B B1C的中点 S ABB1 S ABC 1 S A1AB1 S ABB1 1 S A1BB1 S A1AB1 S ABB1 1 1 2 同理 S B1CC1 2 S A1AC1 2 A1B1C1的面积 S A1BB1 S B1CC1 S A1AC1 S ABC 2 2 2 1 7 故答案为 7 点 评 本题考查了三角形的面积 主要利用了等底等高的三角形的面积 相等 作辅助线把三角形进行分割是解题的关键 三 解答题 共5小题 10 2013 昭通 已知 ABC为等边三角形 点D为直线BC上的一动 点 点D不与B C重合 以AD为边作菱形ADEF A D E F按逆 时针排列 使 DAF 60 连接CF 1 如图1 当点D在边BC上时 求证 BD CF AC CF CD 2 如图2 当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时 结论 AC CF CD是否成立 若不成立 请写出AC CF CD之间存在的数量 关系 并说明理由 3 如图3 当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时 补全图形 并直接写出AC CF CD之间存在的数量关系 考 点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 菱形的性质 菁优网版 权所有 专 题 几何综合题 压轴题 分 析 1 根据已知得出AF AD AB BC AC BAC DAF 60 求出 BAD CAF 证 BAD CAF 推出CF BD即可 2 求出 BAD CAF 根据SAS证 BAD CAF 推出 BD CF即可 3 画出图形后 根据SAS证 BAD CAF 推出CF BD即 可 解 答 1 证明 菱形AFED AF AD ABC是等边三角形 AB AC BC BAC 60 DAF BAC DAC DAF DAC 即 BAD CAF 在 BAD和 CAF中 BAD CAF CF BD CF CD BD CD BC AC 即 BD CF AC CF CD 2 解 AC CF CD不成立 AC CF CD之间存在的数量关系 是AC CF CD 理由是 由 1 知 AB AC BC AD AF BAC DAF 60 BAC DAC DAF DAC 即 BAD CAF 在 BAD和 CAF中 BAD CAF BD CF CF CD BD CD BC AC 即AC CF CD 3 AC CD CF 理由是 BAC DAF 60 DAB CAF 在 BAD和 CAF中 BAD CAF SAS CF BD CD CF CD BD BC AC 即AC CD CF 点 评 本题考查了全等三角形的性质和判定 等边三角形的性质 菱形 的性质的应用 主要考查学生的推理能力 注意 证明过程类 似 题目具有一定的代表性 难度适中 11 2013 青羊区一模 如图 ABC中AB AC BC 6 点P从点B出发沿射线BA移动 同时 点Q从点C出发沿线段AC的延 长线移动 已知点P Q移动的速度相同 PQ与直线BC相交于点D 1 如图 当点P为AB的中点时 求CD的长 2 如图 过点P作直线BC的垂线垂足为E 当点P Q在移动的过 程中 线段BE DE CD中是否存在长度保持不变的线段 请说明理 由 考 点 等腰三角形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 几何综合题 压轴题 分类讨论 分 析 1 过点P做PF平行与AQ 由平行我们得出一对同位角和一对内 错角的相等 再由AB AC 根据等边对等角得角B和角ACB的相 等 根据等量代换的角B和角PFB的相等 根据等角对等边得 BP PF 又因点P和点Q同时出发 且速度相同即BP CQ 等量代 换得PF CQ 在加上对等角的相等 证得三角形PFD和三角形 QCD的全等 根据全等三角形的对应边边相等得出DF CD CF 而又因P是AB的中点 PF AQ得出F是BC的中点 进而根据 已知的BC的长 求出CF 即可得出CD的长 2 分两种情况讨论 第一种情况点P在线段AB上 根据等腰三 角形的三线合一得BE EF 再又第一问的全等可知DF CD 所以 ED 得出线段DE的长为定值 第二种情况 P在BA的延长线上 作 PM平行于AC交BC的延长线于M 根据两直线平行 同位角相等 推出角PMB等于角ACB 而角ACB等于角ABC 根据等量代换得 到角ABC等于角PMB 根据等角对等边得到PM等于PB 根据三线 合一 得到BE等于EM 同理可得 PMD全等于 QCD 得到CD 等于DM 根据DE等于EM减DM 把EM换为BC加CM的一半 化 简后得到值为定值 解 答 解 1 如图 过P点作PF AC交BC于F 点P和点Q同时出发 且速度相同 BP CQ PF AQ PFB ACB DPF CQD 又 AB AC B ACB B PFB BP PF PF CQ 又 PDF QDC 证得 PFD QCD DF CD CF 又因P是AB的中点 PF AQ F是BC的中点 即FC BC 3 CD CF 2 分两种情况讨论 得ED为定值 是不变的线段 如图 如果点P在线段AB上 过点P作PF AC交BC于F PBF为等腰三角形 PB PF BE EF PF CQ FD DC ED ED为定值 同理 如图 若P在BA的延长线上 作PM AC的延长线于M PMC ACB 又 AB AC B ACB B PMC PM PB 根据三线合一得BE EM 同理可得 PMD QCD 所以CD DM 综上所述 线段ED的长度保持不变 点 评 此题考查了等腰三角形的性质 全等三角形的判断与性质 考查 了分类讨论的数学思想 是一道综合题 12 2015 于洪区一模 如图1 在 ABC中 ACB为锐角 点D为 射线BC上一点 连接AD 以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF 1 如果AB AC BAC 90 当点D在线段BC上时 与点B不重合 如图2 线段CF BD所在直 线的位置关系为 垂直 线段CF BD的数量关系为 相等 当点D在线段BC的延长线上时 如图3 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如果AB AC BAC是锐角 点D在线段BC上 当 ACB满足什 么条件时 CF BC 点C F不重合 并说明理由 考 点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 压轴题 开放型 分 析 1 当点D在BC的延长线上时 的结论仍成立 由正方形ADEF 的性质可推出 DAB FAC 所以CF BD ACF ABD 结 合 BAC 90 AB AC 得到 BCF ACB ACF 90 即 CF BD 2 当 ACB 45 时 过点A作AG AC交CB的延长线于点G 则 GAC 90 可推出 ACB AGC 所以AC AG 由 1 可知CF BD 解 答 证明 1 正方形ADEF中 AD AF BAC DAF 90 BAD CAF 又 AB AC DAB FAC CF BD B ACF ACB ACF 90 即CF BD 当点D在BC的延长线上时 的结论仍成立 由正方形ADEF得AD AF DAF 90度 BAC 90 DAF BAC DAB FAC 又 AB AC DAB FAC CF BD ACF ABD BAC 90 AB AC ABC 45 ACF 45 BCF ACB ACF 90度 即CF BD 2 当 ACB 45 时 CF BD 如图 理由 过点A作AG AC交CB的延长线于点G 则 GAC 90 ACB 45 AGC 90 ACB AGC 90 45 45 ACB AGC 45 AC AG DAG FAC 同角的余角相等 AD AF GAD CAF ACF AGC 45 BCF ACB ACF 45 45 90 即CF BC 点 评 本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定 判定两个三角 形全等的一般方法有 SSS SAS ASA AAS HL 判定两个三 角形全等 先根据已知条件或求证的结论确定三角形 然后再根 据三角形全等的判定方法 看缺什么条件 再去证什么条件 13 2013 河南 如图1 将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重 合放置 其中 C 90 B E 30 1 操作发现 如图2 固定 ABC 使 DEC绕点C旋转 当点D恰好落在AB边上 时 填空 线段DE与AC的位置关系是 DE AC 设 BDC的面积为S1 AEC的面积为S2 则S1与S2的数量关系 是 S1 S2 2 猜想论证 当 DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时 小明猜想 1 中S1与S2的 数量关系仍然成立 并尝试分别作出了 BDC和 AEC中BC CE边上 的高 请你证明小明的猜想 3 拓展探究 已知 ABC 60 点D是角平分线上一点 BD CD 4 DE AB交BC于 点E 如图4 若在射线BA上存在点F 使S DCF S BDE 请直 接写出相应的BF的长 考 点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 几何综合题 压轴题 分 析 1 根据旋转的性质可得AC CD 然后求出 ACD是等边三 角形 根据等边三角形的性质可得 ACD 60 然后根据内错角 相等 两直线平行解答 根据等边三角形的性质可得AC AD 再根据直角三角形30 角所 对的直角边等于斜边的一半求出AC AB 然后求出AC BD 再根据等边三角形的性质求出点C到AB的 距离等于点D到AC的距离 然后根据等底等高的三角形的面积相 等解答 2 根据旋转的性质可得BC CE AC CD 再求出 ACN DCM 然后利用 角角边 证明 ACN和 DCM全等 根据全等三角形对应边相等可得AN DM 然后利用等底等高的三 角形的面积相等证明 3 过点D作DF1 BE 求出四边形BEDF1是菱形 根据菱形的 对边相等可得BE DF1 然后根据等底等高的三角形的面积相等可 知点F1为所求的点 过点D作DF2 BD 求出 F1DF2 60 从 而得到 DF1F2是等边三角形 然后求出DF1 DF2 再求出 CDF1 CDF2 利用 边角边 证明 CDF1和 CDF2全等 根 据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点 然后在等腰 BDE中求出BE的长 即可得解 解 答 解 1 DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上 AC CD BAC 90 B 90 30 60 ACD是等边三角形 ACD 60 又 CDE BAC 60 ACD CDE DE AC B 30 C 90 CD AC AB BD AD AC 根据等边三角形的性质 ACD的边AC AD上的高相等 BDC的面积和 AEC的面积相等 等底等高的三角形的面积 相等 即S1 S2 故答案为 DE AC S1 S2 2 如图 DEC是由 ABC绕点C旋转得到 BC CE AC CD ACN BCN 90 DCM BCN 180 90 90 ACN DCM 在 ACN和 DCM中 ACN DCM AAS AN DM BDC的面积和 AEC的面积相等 等底等高的三角形的面积 相等 即S1 S2 3 如图 过点D作DF1 BE 易求四边形BEDF1是菱形 所以BE DF1 且BE DF1上的高相等 此时S DCF1 S BDE 过点D作DF2 BD ABC 60 F1D BE F2F1D ABC 60 BF1 DF1 F1BD ABC 30 F2DB 90 F1DF2 ABC 60 DF1F2是等边三角形 DF1 DF2 BD CD ABC 60 点D是角平分线上一点 DBC DCB 60 30 CDF1 180 BCD 180 30 150 CDF2 360 150 60 150 CDF1 CDF2 在 CDF1和 CDF2中 CDF1 CDF2 SAS 点F2也是所求的点 ABC 60 点D是角平分线上一点 DE AB DBC BDE ABD 60 30 又 BD 4 BE 4 cos30 2 BF1 BF2 BF1 F1F2 故BF的长为 或 点 评 本题考查了全等三角形的判定与性质 三角形的面积 等边三角 形的判定与性质 直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半 的性质 熟练掌握等底等高的三角形的面积相等 以及全等三角 形的面积相等是解题的关键 3 要注意符合条件的点F有两 个 14 2013 常德 已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC Rt CEF ABC CEF 90 连接AF M是AF的中点 连接MB ME 1 如图1 当CB与CE在同一直线上时 求证 MB CF 2 如图1 若CB a CE 2a 求BM ME的长 3 如图2 当 BCE 45 时 求证 BM ME 考 点 三角形中位线定理 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角 形 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 1 证法一 如答图1a所示 延长AB交CF于点D 证明BM为 ADF的中位线即可 证法二 如答图1b所示 延长BM交EF于D 根据在同一平面内 垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB EF 再根据两直线平 行 内错角相等可得 BAM DFM 根据中点定义可得 AM MF 然后利用 角边角 证明 ABM和 FDM全等 再根据 全等三角形对应边相等可得AB DF 然后求出BE DE 从而得到 BDE是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形的性质求出 EBM 45 从而得到 EBM ECF 再根据同位角相等 两直 线平行证明MB CF即可 2 解法一 如答图2a所示 作辅助线 推出BM ME是两条中 位线 解法二 先求出BE的长 再根据全等三角形对应边相等可得 BM DM 根据等腰三角形三线合一的性质可得EM BD 求出 BEM是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形的性质求解即 可 3 证法一 如答图3a所示 作辅助线 推出BM ME是两条中 位线 BM DF ME AG 然后证明 ACG DCF 得到DF AG 从而证明 BM ME 证法二 如答图3b所示 延长BM交CF于D 连接BE DE 利用 同旁内角互补 两直线平行求出AB CF 再根据两直线平行 内 错角相等求出 BAM DFM 根据中点定义可得AM MF 然后 利用 角边角 证明 ABM和 FDM全等 再根据全等三角形对应 边相等可得AB DF BM DM 再根据 边角边 证明 BCE和 DFE全等 根据全等三角形对应边相等可得BE DE 全等三角 形对应角相等可得 BEC DEF 然后求出 BED CE