上海交大附中数学自招部分真题.pdf

1 2018 上海市上海交通大学附属中学自招真题 填空题填空题 1 已知 1 3x x 求 3 3 1 1000 x x 答案 982 解析 1 3x x 3 2 3 23 1331xx xx xxxx 3 3 11 273xx xx 3 3 1 279x x 故 3 3 1 1000100018982x x 2 1 1 1 xxxt xxx x 有增根 求所有可能的t之和 答案 3 解析 1 1 1 xxxt xxx x 有增根说明0或1 可能是方程的根 即 22 1 xxxt 代入0 x 有 1t 代入1x 2t 故所有可能t之和为3 3 ABCD 15AB 10CD 3AD 4CB 求 ABCD S 答案 解析 解 设AEx BCFD 则 5AFABCD 5GFAFAEx 新课标教育 2 2222 ADAEFDEF 即 22 916 5 xx 1 8x 22 12 5 DEADAB 1 30 2 SDEABCD 4 3 4yxxb 若axb 时 其中x的最小值为a 最大值为b 求ab 答案 5 解析 22 46 2 2yxxx 当2x 在 a b中时 min 2ya 则2a 故a b为 2 46xxx 的两根 即 2 560 xx 的两根 则5ab 5 2 2 2 yxm 若抛物线与x轴交点组成正三角形 求m的值 答案 3 2 解析 2 2 2 yxm 易知顶点为 2 m 则图中CD长为 0 m m 故 2 3 3 ABm 令 0y 2 2 2 022 22 mm xmxx 故2 2 m AB 则 2 3 2 32 m m 3 2 m FE A D B C y x 2 m A D B C 新课标教育 3 6 DE为 BC的切线 正方形ABCD边长为200 BC为以BC为直径的半圆 求DE的长 答案 250 解析 解 如图 由圆的性质可得 CDDG EGDE 设BEx 则 200AEx 200 DEx 故在ADE 中 222 200 200 200 xx 50 x 故250DE 7 在直角坐标系中 正ABC 2 0 B 9 0 2 C 过点O作直线OMN OMMN 求 M的横坐标 答案 17 8 解析 作MHAC MGBH 设BHx E D C B A y xO N M A B C D E G A B C D E 新课标教育 4 5 2 2 OHHCxx 1 4 x 故 1 4 BH BMH 为等边三角形 故 1 8 BG 故 117 2 88 m x 8 四圆相切 B与 C半径相同 A过 D圆心D A的半径为9 求 B半径 答案 8 解析 解 由对称性 BC rr 设 B rx 已知 9 A r 则 18 A d 设DE y DBE 中 222222 18 DBDEBExyx ABE 中 222222 9 9 ABAEBExyx 联立 得 2 1210806yyy 故8x 即 8 B r D C B A 9 2 0 2 0 HGCB A M N Ox y E A B C D 新课标教育 5 9 横纵坐标均为整数的点为整点 1 2 ma 1100 ymxax 不经过整点 求a 可取到的最大值 答案 51 101 解析 1100 ymxax 1 2 ma 不经过整点 11 22 maxayaxa 1 100 x 则 1 2 xa axa 中不含整数 故 151 1 2100 axaxaa 当x为奇数时 21xk 1 2 xa 在整数区间 1 2 kk 内 而ax a 须2k 即 2 1 2kak 211 0 49 2 1 22 1 k ak kk 故 1151 2100100 a 当x为偶数时 2xk 1 2 xa 在整数区间 1 k k 内 而ax a 须 1k 即 2 1 1kak 111 1 50 21242 k ak kk 故 51 101 a 故 151 2101 a 故 max 51 101 a 新课标教育 6 10 G为重心 DE过重心 求 maxADE S 以及 minADE S 并证明结论 答案 解析 假设ABC 面积为 1 S ADE 面积为 2 S 设ADmAB AEnAC 由于G为ABC 重心 易知 11 3 mn 故 21 11 sinsin 22 SAD AEAmAB nACAmnS 当 113 2mn 时 11 m n 有最大值 9 4 则 mn有最小值 4 9 而论D E任何移动 1 2 mn 故 121 41 92 SSS 最大 1 1 2 S 最小 1 4 9 S 附加题附加题 1 已知直角三角形三边长为整数 有一条边长为85 求另两边长 写出10组 解析 1 当85为斜边 51 68 85 13 84 85 36 77 85 40 75 85 E A D BC 新课标教育 7 2 当85为一条直角边 132 85 157 204 85 221 720 85 725 3612 85 3613 222 85ca 175 175ca ca 28925 1445 5 289 25 ca ca 21445 5 c ca 2 阅读材料 根据凸函数的定义和性质解三道小题 其中第 3 小题为 根据下凸函数的性质证明不等式 1212 1 1 f bxb xbf xb f x 1 1 4 b 2 1 3 b 注 选 1 做对得10分 选 2 做对得20分 解析 1212 1 1 f bxb xbf xb f x 泰勒公式 22