直线与方程易错题(有非常详细的解答与分析).doc

直线与方程一选择题（共2小题）1（2007安徽）若圆x2+y22x4y=0的圆心到直线xy+a=0的距离为，则a的值为（）A2或2B或C2或0D2或02（2004黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A4x+2y=5B4x2y=5Cx+2y=5Dx2y=5二解答题（共21小题）3已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程4直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程5已知直线l过点P（1，2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程6求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程7已知两直线l1：axby+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值（1）直线l1过点（3，1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等8已知三角形ABC的顶点是A（1，1），B（3，1），C（1，6）直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的求直线L的方程9求过点P（5，2），且与直线xy+5=0相交成45角的直线l的方程10已知ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y27=0，B的平分线所在直线方程为x2y+5=0，求BC边所在直线的方程11已知三角形ABC的顶点坐标为A（1，5）、B（2，1）、C（4，3），M是BC边的中点（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求BC的垂直平分线方程12已知直线l：x+ay+1a=0（）若l与线段AB有交点，其中A（2，1），B（1，1），求实数a的取值范围；（）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求OMN的面积最小时直线l的方程13在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）将矩形折叠，使A点落在线段DC上（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当时，求折痕长的最大值；（）当2k1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|21），试求t的最大值14（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m1）x+y+n=0，l1经过（1，1），问l1l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由（理科做）ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x3y+1=0，求AC的长15已知点A（3，1），在直线xy=0和y=0上分别有点M和N使AMN的周长最短，求点M、N的坐标16求证：不论取什么实数时，直线（21）x+（+3）y（11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标17一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（1，6），求入射光线所在直线方程18已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大19实数x，y滿足x2+y2+2x4y+1=0，求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值20已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由21设xy+1=0，求的最小值22已知直线L：x+y1=0（1）求直线2x+2y+3=0与直线L之间的距离；（2）求L关于（1，0）的对称直线23如图，在直角坐标系中，射线OA：xy=0（x0），OB：x+3y=0（x0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于A、B点当AB的中点为P时，求直线AB的方程；当AB的中点在直线y=x上时，求直线AB的方程直线与方程参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2007安徽）若圆x2+y22x4y=0的圆心到直线xy+a=0的距离为，则a的值为（）A2或2B或C2或0D2或0考点：点到直线的距离公式2470054专题：计算题分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值解答：解：把圆x2+y22x4y=0化为标准方程为：（x1）2+（y2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），圆心（1，2）到直线xy+a=0的距离为，即|a1|=1，可化为a1=1或a1=1，解得a=2或0故选C点评：此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题2（2004黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A4x+2y=5B4x2y=5Cx+2y=5Dx2y=5考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式2470054专题：计算题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式解答：解：线段AB的中点为，垂直平分线的斜率 k=2，线段AB的垂直平分线的方程是 y=2（x2），4x2y5=0，故选 B点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法二解答题（共21小题）3已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程考点：直线的截距式方程2470054专题：计算题分析：通过直线过原点，求出直线的方程，利用直线的截距式方程，直接利用点在直线上求出直线的方程即可解答：解：若直线l过原点，方程为y=2x；若直线l不过原点，设直线方程为，将点P（1，2）代入方程，得a=1，直线l的方程为xy+1=0；所以直线l的方程为y=2x或xy+1=0点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意焦距式方程的应用，不可遗漏过原点的直线方程考查计算能力4直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程考点：直线的截距式方程2470054专题：计算题分析：设直线l的横截距为a，则纵截距为（6a），写出直线l的截距式方程，把（1，2）代入即可求出a的值，把a的值代入直线l的方程中，经过检验得到满足题意的直线l的方程解答：解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6a，直线l的方程为，点（1，2）在直线l上，解得：a1=2，a2=3，当a=2时，直线的方程为2x+y4=0，直线经过第一、二、四象限；当a=3时，直线的方程为x+y3=0，直线经过第一、二、四象限综上所述，所求直线方程为2x+y4=0或x+y3=0点评：此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程，是一道基础题学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意5已知直线l过点P（1，2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程考点：直线的截距式方程2470054专题：计算题分析：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为1，分别求出两种情况下直线l的方程，进而得到答案；（2）由已知中直线l过点P（1，2），与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，我们可以设直线l的方程为（a0，b0），进而根据，我们易根据基本不等式，得到AOB的面积的最小值，即a，b的值，进而得到直线l的方程解答：（12分）解：（1）当截距均为0时，直线l过P（1，2）及O（0，0）方程为：y=2x （2分）当截距不为0时，设l的方程为：由题意：a=3l的方程为：x+y+3=0综上，l的方程为：y=2x或x+y+3=0（6分）（2）设直线l的方程为（a0，b0）（7分）点P（1，2）在直线l上ab8，当且仅当即时，取“=”（10分）当a=2，b=4时，（SAOB）min=4（11分）此时直线l的方程为，即2x+y+4=0（12分）点评：本题考查的知识点是直线的截距式方程，其中（1）的关键是分析出直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为1，在解答时，易忽略直线l过原点这种情况，而错解为x+y+3=06求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程考点：直线的一般式方程；直线的倾斜角2470054专题：综合题分析：（1）要求直线方程，就要先求出直线的斜率，根据题意所出直线的倾斜角等于已知直线的倾斜角的2倍，利用二倍角的正切函数公式求出已知直线的倾斜角即可；（2）分两种情况：第一直线过原点，求出即可；第二不过原点，因为截距相等，设出截距式方程，把P坐标代入即可求出解答：解：（1）设已知直线的倾斜角为，由题可知，则所求直线的斜率，所以直线l的方程为，化简得：3x4y+6=0；（2）当直线过原点时设直线方程为y=kx，把（2，3）代入求出k=，所以直线l的方程为：当直线不过原点时，设直线方程为+=1，把（2，3）代入方程得：+=1，解得A=5，所以直线l的方程为：点评：此题是一道综合题，要求学生掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，会根据一点和斜率求直线的一般式方程学生在做第二问时注意直线过原点时截距也相等，不要掉了这种情况7已知两直线l1：axby+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值（1）直线l1过点（3，1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等考点：直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系2470054专题：计算题分析：（1）因为直线l1过点（3，1），把点（3，1）坐标代入直线方程，可得含a，b的等式，带着参数a，b求出直线l1：axby+4=0在x轴与y轴上的截距，根据直线l1在x轴和y轴上的截距相等又可得到含a，b的等式，两个等式联立，即可解出a，b的值（2）因为直线l1与l2平行，所以两直线斜率相等，即可得到含a，b的等式，再用点到直线的距离公式求出原点到直线l1、l2的距离，根据两个距离相等又可得到一个含amb的等式，两个等式联立，即可解出a，b的值解答：解：（1）令x=0得y=，令y=0得x=，依题得，解得；（2）l1l2，=2，a=2b，又由=，a2+b2=20，5b2=20，b=2，当b=2时，a=4，直线l1为4x+2y+4=0与l1重合，舍去，b=2，a=4点评：本题主要考查了点与直线，直线与直线位置关系的判断，以及点到直线距离公式的应用8已知三角形ABC的顶点是A（1，1），B（3，1），C（1，6）直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的求直线L的方程考点：直线的一般式方程2470054专题：数形结合分析：利用三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，得E是CA的中点，由EFAB，得直线EF的斜率，从而可求方程解答：解：由已知，直线AB的斜率K=，EFAB直线EF的斜率为K=三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，E是CA的中点又点E的坐标（0，），直线EF的方程是，即x2y+5=0点评：本题是一个已知三角形的面积求直线方程题目，条件给出的是点的坐标，利用代数方法来解决几何问题，这是解析几何的特点，这是一个典型的数形结合问题9求过点P（5，2），且与直线xy+5=0相交成45角的直线l的方程考点：直线的一般式方程2470054专题：计算题分析：如果斜率存在，由夹角公式求出直线l的斜率，即可求出方程，如果斜率不存在，可数形结合求出直线l的倾斜角，求出斜率，求出方程解答：解：若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45=|，得k=0，所求l的直线方程为y=2若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线xy+5=0相交成45角综合可得，直线l的方程为x=5或y=2点评：本题考查直线方程的求法，注意斜率是否存在的讨论10已知ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y27=0，B的平分线所在直线方程为x2y+5=0，求BC边所在直线的方程考点：直线的一般式方程2470054专题：计算题分析：设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y27=0上，在直线方程为x2y+5=0，求出B的坐标，求出A关于x2y+5=0的对称点为A（x，y）的坐标，即可求出BC边所在直线的方程解答：解：设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y27=0上，可得联立x02y0+5=0解得B（3，1）（5分）设A点关于x2y+5=0的对称点为A（x，y），则有解得A（2，1）（10分）BC边所在的直线方程为y=1（12分）点评：本题是中档题，考查直线关于直线的对称点的坐标的求法，函数与方程的思想的应用，考查计算能力，常考题型11已知三角形ABC的顶点坐标为A（1，5）、B（2，1）、C（4，3），M是BC边的中点（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求BC的垂直平分线方程考点：直线的一般式方程；中点坐标公式2470054专题：计算题；转化思想分析：（1）利用直线方程的两点式求直线的方程，并化为一般式（2）由中点公式求得M的坐标，再利用两点间的距离公式求出两点间的距离（3）先利用垂直关系求出垂直平分线的斜率，用点斜式写出垂直平分线的方程，并化为一般式解答：解：（1）由两点式得AB所在直线方程为：，即6xy+11=0（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得，即点M的坐标为（1，1）故（5分）（3）M的坐标为（1，1）设BC的垂直平分线斜率为k，又BC的斜率是k1=，则k=BC的垂直平分线方程为即3x+2y5=0（8分）点评：本题考查直线方程的两点式、点斜式、中点公式、两点间的距离公式的应用，以及两直线垂直的性质12已知直线l：x+ay+1a=0（）若l与线段AB有交点，其中A（2，1），B（1，1），求实数a的取值范围；（）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求OMN的面积最小时直线l的方程考点：直线的一般式方程；直线的斜率2470054专题：计算题分析：（）结合图形，求出直线PA的斜率，直线PB的斜率，从而得到直线PA的倾斜角和直线PB的倾斜角，即可求求实数a的取值范围；（）先求直线与x轴、y轴的截距，再利用基本不等式求面积的最小值解答：解：（）直线l过定点P（1，1），KPA=2，KPB=0，要使l满足条件，必须当a=0时，满足条件；当a0时，l的斜率或即a0或，综上得；（），依题意有，而，a0，即，当a=1时，面积的最小值为2，此时直线的方程为xy+2=0点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的数学思想，考查学生会求直线与x轴、y轴的截距，会利用基本不等式求面积的最小值，会写出直线的一般式方程13在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）将矩形折叠，使A点落在线段DC上（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当时，求折痕长的最大值；（）当2k1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|21），试求t的最大值考点：直线的一般式方程；函数最值的应用2470054专题：创新题型；数形结合；分类讨论分析：（1）分情况讨论斜率表示直线的方程（2）表示出线段后，分类讨论求最值（3）表示线段，用均值不等式求最值解答：解：（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程当k0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk=1a=k故G点坐标为G（k，1），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为折痕所在的直线方程，即由得折痕所在的直线方程为：（2）当k=0时，折痕的长为2；当时，折痕直线交BC于点，交y轴于折痕长度的最大值为而故折痕长度的最大值为（3）当2k1时，折痕直线交DC于，交x轴于2k1（当且仅当时取“=”号）当时，t取最大值，t的最大值是点评：本题考察内容比较综合，考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数形结合和分类讨论思想，属难题14（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m1）x+y+n=0，l1经过（1，1），问l1l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由（理科做）ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x3y+1=0，求AC的长考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标2470054专题：计算题分析：（文科做）把点（1，1）代入l1得：nm+4=0，当n=0时，两直线不垂直所以n不等于0由此能求出m，n的值（理科做）直线CE：2x+3y16=0，则AB斜率k=，直线AB：y4=（x3）与直线AD：2x3y+1=0交点A（1，1）设C（m，n），C在直线CE：2x+3y16=0上，则2m+3n16=0，由此能得到C（5，2），从而求出AC的长解答：解：（文科做）把点（1，1）代入l1得：nm+4=0，当n=0时，两直线不垂直所以n不等于0（1m）=1，联立解得m=2或者m=2当m=2时，n=2，当m=2时，n=6（理科做）直线CE：2x+3y16=0，则AB斜率k=，直线AB：y4=（x3）3x2y1=0 与直线AD：2x3y+1=0交点A（1，1）设C（m，n），C在直线CE：2x+3y16=0上，则2m+3n16=0，BC中点D（，）在直线AD：2x3y+1=0上，3+m（4+n）+1=0，解方程组得C（5，2）AC=点评：本题考查两直线平行的关系和条件的应用，考查直线的交点坐标和两点间距离公式，解题时要认真审题，仔细解答15已知点A（3，1），在直线xy=0和y=0上分别有点M和N使AMN的周长最短，求点M、N的坐标考点：两条直线的交点坐标2470054专题：计算题分析：点A（3，1），在直线xy=0和y=0上分别有点M和N使AMN的周长最短，只需把A对称到两条直线的另一侧，A1A连线与两条直线的交点就是所求的点M、N的坐标，如图解答：解：如图，A（3，1）关于y=x的对称点A1（1，3），A（3，1）关于y=0的对称点A2（3，1），AMN的周长最小值为|A1A2|，|A1A2|=2，A1A2的方程：2x+y5=0A1A2与xy=0的交点为M，由M（，），A1A2与y=0的交点N，由N（，0）点评：本题考查两条直线的交点坐标，对称知识，考查计算能力，是基础题16求证：不论取什么实数时，直线（21）x+（+3）y（11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标考点：过两条直线交点的直线系方程2470054专题：计算题分析：直线方程即 （2x+y1）+（x+3y+11）=0，一定经过2x+y1=0和x+3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标解答：证明：直线（21）x+（+3）y（11）=0 即 （2x+y1）+（x+3y+11）=0，根据的任意性可得 ，解得 ，不论取什么实数时，直线（21）x+（+3）y（11）=0都经过一个定点（2，3）点评：本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条17一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（1，6），求入射光线所在直线方程考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程2470054专题：数形结合分析：设入射光线与x轴的交点为P（x，0），由kMP=kNP ，解出P的坐标，可求得直线MP的斜率，用点斜式写直线MP的方程解答：解：设入射光线与x轴的交点为P（x，0），则直线MP的倾斜角与直线NP的倾斜角互补，则kMP=kNP ，（3分），x=0，即P（1，0），（6分），直线MP的方程为y0=3（x1），即 3xy3=0（10分）点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，体现了数形结合的数学思想18已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程2470054专题：计算题；综合题分析：先判断A、B与直线l：x+2y2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y2，看符号相同在同侧，相反异侧（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可（2）使|PA|PB|最大如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P解答：解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）则有+22=0，（）=1解得x1=，y1=由两点式求得直线A1B的方程为y=（x4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，）由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小（2）由两点式求得直线AB的方程为y1=（x4），即x+y5=0直线AB与l的交点可求得为P（8，3），它使|PA|PB|最大点评：本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题19实数x，y滿足x2+y2+2x4y+1=0，求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值考点：两点间距离公式的应用；三角函数的最值；斜率的计算公式2470054专题：数形结合分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径， 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值，一个最大，另一个最小（3）= 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2，最小值是|CB|减去半径2解答：解：x2+y2+2x4y+1=0 即 （x+1）2+（y2）2=4，表示一个以C（1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图：（1） 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为 y0=k（x4），即 kxy4k=0，由 2=，k=0 或20，结合图形知， 的最大值为0，最小值为20（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t和圆相切时，有 2=，t=2，故 2x+y的最大值为 2，最小值为2（3）= 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，圆心C（1，2）到点B（1，0）的长度是 2， 的最大值2+2，最小值为 22点评：本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想20已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由考点：点到直线的距离公式2470054专题：计算题分析：求出AB的方程，AB的距离，设出C点的坐标，C在AB的垂线上，以及C到AB的距离和面积，求出C的坐标解答：解：AB=，直线AB的方程为，即2x+5y22=0，假设在直线x3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为（m，n），则一方面有m3n+3=0，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，|2m+5n22|=28，即2m+5n=50或2m+5n=6联立解得，；联立解得m=3，n=0综上，在直线x3y+3=0上存在点C或（3，0），使得三角形ABC的面积等于14点评：本题考查点到直线的