理论力学哈工大第六版课件.ppt

约束 对非自由体的位移起限制作用的物体 约束力 约束对非自由体的作用力 约束力 大小 待定 方向 与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点 接触处 1 2约束和约束力 工程中常见的约束 1 具有光滑接触面 线 点 的约束 光滑接触约束 光滑接触面约束 光滑支承接触对非自由体的约束力 作用在接触处 方向沿接触处的公法线并指向受力物体 故称为法向约束力 用表示 2 由柔软的绳索 胶带或链条等构成的约束 柔索只能受拉力 又称张力 用表示 柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体 胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向 为拉力 3 光滑铰链约束 径向轴承 圆柱铰链 固定铰链支座等 1 径向轴承 向心轴承 约束特点 轴在轴承孔内 轴为非自由体 轴承孔为约束 约束力 当不计摩擦时 轴与孔在接触处为光滑接触约束 法向约束力 约束力作用在接触处 沿径向指向轴心 当外界载荷不同时 接触点会变 则约束力的大小与方向均有改变 可用二个通过轴心的正交分力表示 2 光滑圆柱铰链 约束特点 由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成 如剪刀 光滑圆柱铰链约束 约束力 光滑圆柱铰链 亦为孔与轴的配合问题 与轴承一样 可用两个正交分力表示 其中有作用反作用关系 一般不必分析销钉受力 当要分析时 必须把销钉单独取出 3 固定铰链支座 约束特点 由上面构件1或2之一与地面或机架固定而成 约束力 与圆柱铰链相同 以上三种约束 径向轴承 光滑圆柱铰链 固定铰链支座 其约束特性相同 均为轴与孔的配合问题 都可称作光滑圆柱铰链 4 其它类型约束 1 滚动支座 约束特点 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成 约束力 构件受到垂直于光滑面的约束力 2 球铰链 约束特点 通过球与球壳将构件连接 构件可以绕球心任意转动 但构件与球心不能有任何移动 约束力 当忽略摩擦时 球与球座亦是光滑约束问题 约束力通过接触点 并指向球心 是一个不能预先确定的空间力 可用三个正交分力表示 3 止推轴承 约束特点 止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制 约束力 比径向轴承多一个轴向的约束力 亦有三个正交分力 球铰链 空间三正交分力 止推轴承 空间三正交分力 总结 1 3物体的受力分析和受力图 在受力图上应画出所有力 主动力和约束力 被动力 画受力图步骤 3 按约束性质画出所有约束 被动 力 1 取所要研究物体为研究对象 分离体 画出其简图 2 画出所有主动力 例1 1 解 画出简图 画出主动力 画出约束力 例1 2 解 取屋架 画出主动力 画出约束力 画出简图 屋架受均布风力 N m 屋架重为 画出屋架的受力图 例1 3 解 取杆 其为二力构件 简称二力杆 其受力图如图 b 水平均质梁重为 电动机重为 不计杆的自重 画出杆和梁的受力图 取梁 其受力图如图 c 若这样画 梁的受力图又如何改动 杆的受力图能否画为图 d 所示 解 右拱为二力构件 其受力图如图 b 所示 系统整体受力图如图 d 所示 取左拱 其受力图如图 c 所示 考虑到左拱三个力作用下平衡 也可按三力平衡汇交定理画出左拱的受力图 如图 e 所示 此时整体受力图如图 f 所示 讨论 若左 右两拱都考虑自重 如何画出各受力图 如图 g h i 例1 5 不计自重的梯子放在光滑水平地面上 画出梯子 梯子左右两部分与整个系统受力图 解 绳子受力图如图 b 所示 梯子左边部分受力图如图 c 所示 梯子右边部分受力图如图 d 所示 整体受力图如图 e 所示 提问 左右两部分梯子在处 绳子对左右两部分梯子均有力作用 为什么在整体受力图没有画出 第二章平面汇交力系和平面力偶系 一 多个汇交力的合成 力多边形规则 2 1平面汇交力系合成与平衡的几何法 力多边形 力多边形规则 平衡条件 二 平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的力多边形自行封闭 一 力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 2 2平面汇交力系合成与平衡的解析法 由合矢量投影定理 得合力投影定理 合力的大小为 方向为 作用点为力的汇交点 二 平面汇交力系合成的解析法 三 平面汇交力系的平衡方程 平衡条件 平衡方程 2 3平面力对点之矩的概念和计算 一 平面力对点之矩 力矩 两个要素 力矩作用面 称为矩心 到力的作用线的垂直距离称为力臂 1 大小 力与力臂的乘积2 方向 转动方向 力对点之矩是一个代数量 它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积 它的正负 力使物体绕矩心逆时针转向时为正 反之为负 常用单位或 二 合力矩定理 平面汇交力系 该结论适用于任何合力存在的力系 三 力矩与合力矩的解析表达式 2 4平面力偶理论 一 力偶和力偶矩 1 力偶 由两个等值 反向 不共线的 平行 力组成的力系称为力偶 记作 两个要素 a 大小 力与力偶臂乘积 b 方向 转动方向 力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 2 力偶矩 二 力偶与力偶矩的性质 1 力偶在任意坐标轴上的投影等于零 2 力偶对任意点取矩都等于力偶矩 不因矩心的改变而改变 力偶矩的符号 3 只要保持力偶矩不变 力偶可在其作用面内任意移转 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短 对刚体的作用效果不变 4 力偶没有合力 力偶只能由力偶来平衡 已知 任选一段距离d 三 平面力偶系的合成和平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是 所有各力偶矩的代数和等于零 平面力偶系平衡的充要条件 有如下平衡方程 例2 1 求 3 力沿什么方向拉动碾子最省力 及此时力多大 2 欲将碾子拉过障碍物 水平拉力至少多大 1 水平拉力时 碾子对地面及障碍物的压力 已知 解 1 取碾子 画受力图 用几何法 按比例画封闭力四边形 用几何法解得 已知 各杆自重不计 求 杆及铰链的受力 例2 2 按比例量得 用几何法 画封闭力三角形 解 为二力杆 取杆 画受力图 求 此力系的合力 解 用解析法 例2 3 已知 图示平面共点力系 解 直接按定义 按合力矩定理 由杠杆平衡条件 解得 由合力矩定理 得 解得 解 由力偶只能由力偶平衡的性质 其受力图为 解 取轮 由力偶只能由力偶平衡的性质 画受力图 解得 解得 取杆 画受力图 第三章平面任意力系 平面任意力系实例 3 1平面任意力系向作用面内一点简化 1 力的平移定理 可以把作用在刚体上点的力平行移到任一点 但必须同时附加一个力偶 这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩 2 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 主矢与简化中心无关 而主矩一般与简化中心有关 主矢 主矩 主矢大小 方向 作用点 作用于简化中心上 主矩 平面固定端约束 合力作用线过简化中心 3 平面任意力系的简化结果分析 合力矩定理 合力偶 与简化中心的位置无关 若为点 如何 平衡 与简化中心的位置无关 平面任意力系平衡的充要条件是 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零 3 2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 因为 1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的解析条件是 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零 以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零 平面任意力系的平衡方程 一般式 平面任意力系的平衡方程另两种形式 二矩式 两个取矩点连线 不得与投影轴垂直 三矩式 三个取矩点 不得共线 2 平面平行力系的平衡方程 两点连线不得与各力平行 各力不得与投影轴垂直 平面平行力系的方程为两个 有两种形式 3 3物体系的平衡 静定和超静定问题 3 4平面简单桁架的内力计算 桁架 一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构 它在受力后几何形状不变 节点 桁架中杆件的铰链接头 1 各杆件为直杆 各杆轴线位于同一平面内 2 杆件与杆件间均用光滑铰链连接 3 载荷作用在节点上 且位于桁架几何平面内 4 各杆件自重不计或平均分布在节点上 桁架中每根杆件均为二力杆 关于平面桁架的几点假设 理想桁架 总杆数 总节点数 平面复杂 超静定 桁架 平面简单 静定 桁架 非桁架 机构 节点法与截面法 1 节点法 2 截面法 例3 1 求 合力作用线方程 力系向点的简化结果 合力与的交点到点的距离 已知 解 1 主矢 主矩 2 求合力及其作用线位置 3 求合力作用线方程 例3 2 解得 已知 例3 3 解 取起重机 画受力图 解得 例3 4 已知 解 取梁 画受力图 其中 例3 5 已知 满载时 为不安全状况 解得 时 解得 取轮 画受力图 解 取CD梁 画受力图 FB 45 77kN 取整体 画受力图 例3 9 已知 P2 2P1 P 20P1 r R 2r 求 物C匀速上升时 作用于小轮上的力偶矩轴承A B处的约束力 由 取小轮 画受力图 例3 10 已知 P 60kN P1 20kN P2 10kN 风载F 10kN 尺寸如图 求 A B处的约束力 解 取整体 画受力图 取吊车梁 画受力图 取右边刚架 画受力图 例3 11 求 A E支座处约束力及BD杆受力 已知 DC CE CA CB 2l R 2r l 各构件自重不计 取整体 画受力图 解 取DCE杆 画受力图 拉 例3 12 已知 P 10kN 尺寸如图 求 桁架各杆件受力 解 取整体 画受力图 拉 压 取节点A 画受力图 取节点C 画受力图 压 拉 取节点D 画受力图 拉 例3 13 解 取整体 求支座约束力 用截面法 取桁架左边部分 压 拉 拉 例3 14 求 BC杆受力及铰链A受力 解 取AB梁 画受力图 又可否列下面的方程 2 可否列下面的方程 取整体 画受力图 解得 解得 取BDC杆 不带着轮 取ABE 带着轮 取ABE杆 不带着轮 取BDC杆 带着轮 解得 例3 16 已知 P a 各杆重不计 求 B铰处约束力 解 取整体 画受力图 解得 取DEF杆 画受力图 对ADB杆受力图 得 例3 17 已知 a b P 各杆重不计 C E处光滑 求证 AB杆始终受压 且大小为P 解 取整体 画受力图 得 取销钉A 画受力图 得 取ADC杆 画受力图 取BC 画受力图 得 得 解得 压 例3 18 已知 q a M P作用于销钉B上 求 固定端A处的约束力和销钉B对BC杆 AB杆的作用力 解 取CD杆 画受力图 得 解得 取BC杆 不含销钉B 画受力图 取销钉B 画受力图 解得 则 取AB杆 不含销钉B 画受力图 解得 解得 解得 例3 19 已知 荷载与尺寸如图 求 每根杆所受力 解 取整体 画受力图 得 得 求各杆内力 取节点A 取节点C 取节点D 取节点E 从1 2 3杆处截取左边部分 例3 20 已知 尺寸如图 取节点D 若再求 杆受力 第四章空间力系 直接投影法 1 力在直角坐标轴上的投影 4 1空间汇交力系 间接 二次 投影法 合矢量 力 投影定理 2 空间汇交力系的合力与平衡条件 方向余弦 空间汇交力系的合力 空间汇交力系平衡的充分必要条件是 称为空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和 合力的作用线通过汇交点 空间汇交力系平衡的充要条件 该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零 该力系的合力等于零 即 1 力对点的矩以矢量表示 力矩矢 4 2力对点的矩和力对轴的矩 3 作用面 力矩作用面 2 方向 转动方向 三要素 1 大小 力与力臂的乘积 2 力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行 力与轴在同一平面内 力对该轴的矩为零 3 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 4 3空间力偶 1 力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 空间力偶的三要素 1 大小 力与力偶臂的乘积 3 作用面 力偶作用面 2 方向 转动方向 2 力偶的性质 2 力偶对任意点取矩都等于力偶矩 不因矩心的改变而改变 1 力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 3 只要保持力偶矩不变 力偶可在其作用面内任意移转 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短 对刚体的作用效果不变 4 只要保持力偶矩不变 力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面 对刚体的作用效果不变 5 力偶没有合力 力偶只能由力偶来平衡 定位矢量 力偶矩相等的力偶等效 力偶矩矢是自由矢量 自由矢量 滑移矢量 3 力偶系的合成与平衡条件 为合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和 合力偶矩矢的大小和方向余弦 称为空间力偶系的平衡方程 空间力偶系平衡的充分必要条件是 合力偶矩矢等于零 即 4 4空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩 1 空间任意力系向一点的简化 空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系 主矩 主矢 空间力偶系的合力偶矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系 有 空间汇交力系的合力 有效推进力 飞机向前飞行 有效升力 飞机上升 侧向力 飞机侧移 滚转力矩 飞机绕x轴滚转 偏航力矩 飞机转弯 俯仰力矩 飞机仰头 1 合力 合力 合力作用线距简化中心为 2 空间任意力系的简化结果分析 最后结果 过简化中心合力 合力矩定理 合力对某点 轴 之矩等于各分力对同一点 轴 之矩的矢量和 2 合力偶 一个合力偶 此时与简化中心无关 3 力螺旋 中心轴过简化中心的力螺旋 钻头钻孔时施加的力螺旋 既不平行也不垂直 力螺旋中心轴距简化中心为 4 平衡 平衡 4 5空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件 1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件 所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零 以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零 该力系的主矢 主矩分别为零 3 空间力系平衡问题举例 2 空间约束类型举例 空间平行力系的平衡方程 4 6重心 1 计算重心坐标的公式 计算重心坐标的公式为 对均质物体 均质板状物体 有 称为重心或形心公式 2 确定重心的悬挂法与称重法 1 悬挂法 2 称重法 则 有 例4 1 解 解 画受力图 列平衡方程 例4 3 解 各杆均为二力杆 取球铰O 画受力图 拉 例4 4 解 把力分解如图 解 把力偶用力偶矩矢表示 平行移到点A 求 轴承A B处的约束力 例4 6 已知 两圆盘半径均为200mm AB 800mm 圆盘面O1垂直于z轴 圆盘面O2垂直于x轴 两盘面上作用有力偶 F1 3N F2 5N 构件自重不计 解 取整体 受力图如图所示 例4 7 求 正方体平衡时 力的关系和两根杆受力 解 两杆为二力杆 取正方体 画受力图建坐标系如图b 以矢量表示力偶 如图c 设正方体边长为a 有 有 杆受拉 受压 解 研究对象 小车 列平衡方程 例4 9 解 研究对象 曲轴 列平衡方程 解 研究对象1 主轴及工件 受力图如图 又 例4 10 研究对象2 工件受力图如图 列平衡方程 解 研究对象 长方板 列平衡方程 则 由 由对称性 有 解 用负面积法 为三部分组成 得 第五章摩擦 摩擦 摩擦 摩擦学 静滑动摩擦力的特点 方向 沿接触处的公切线 与相对滑动趋势反向 大小 库仑摩擦定律 大小 对多数材料 通常情况下 动滑动摩擦力的特点 方向 沿接触处的公切线 与相对滑动趋势反向 1摩擦角 全约束力 物体处于临界平衡状态时 全约束力和法线间的夹角 摩擦角 全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数 摩擦锥 2自锁现象 3测定摩擦系数的一种简易方法 斜面与螺纹自锁条件 斜面自锁条件 螺纹自锁条件 仍为平衡问题 平衡方程照用 求解步骤与前面基本相同 2严格区分物体处于临界 非临界状态 3因 问题的解有时在一个范围内 1画受力图时 必须考虑摩擦力 静滚动摩阻 擦 最大滚动摩阻 擦 力偶 滚动摩阻 擦 系数 长度量纲 的物理意义 使圆轮滚动比滑动省力的原因 处于临界滚动状态 处于临界滑动状态 一般情况下 或 已知 例5 1 物块处于非静止状态 向上 而 向上 解 取物块 画受力图 设物块平衡 已知 例5 2 解 设物块有下滑趋势时 推力为 画物块受力图 解 物块有向上滑动趋势时 用几何法求解 利用三角公式与 物块有向下滑动趋势时 例5 3 解 用几何法求解 已知 物块重P 鼓轮重心位于处 闸杆重量不计 各尺寸如图所示 例5 4 解 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态 对鼓轮 对闸杆 且 而 解得 2 能保持木箱平衡的最大拉力 例5 5 解 1 取木箱 设其处于平衡状态 而 木箱平衡 2 设木箱将要滑动时拉力为 又 设木箱有翻动趋势时拉力为 最大拉力为 求 作用于鼓轮上的制动力矩 例5 6 各构件自重不计 已知 a 解 分析O1AB 画受力图 分析DCE 画受力图 分析O2K 画受力图 分析O1D 画受力图 分析鼓轮 画受力图 已知 抽屉尺寸a b fs 抽屉与两壁间 不计抽屉底部摩擦 例5 7 求 抽拉抽屉不被卡住之e值 解 取抽屉 画受力图 设抽屉刚好被卡住 抽屉不被卡住 求 保持系统平衡的力偶矩 例5 8 a b 设时 系统即将逆时针方向转动 解 画两杆受力图 又 设时 系统有顺时针方向转动趋势 画两杆受力图 又 系统平衡时 d 例5 9 解 取整体分析 画受力图 取楔块分析 画受力图 取楔块分析 画受力图 例5 10 轮心处水平推力 解 两处有一处摩擦力达最大值 系统即将运动 先设处摩擦力达最大值 取杆与轮 处无滑动 处有滑动 处摩擦力达最大值 取杆与轮 不变 但 对轮 处无滑动 已知 例5 11 又 又 设圆柱有向上滚动趋势 取圆柱 系统平衡时 2 设圆柱有向下滚动趋势 则 圆柱匀速纯滚时 又 例5 12 1 2 3 能否用 作为补充方程 取前 后轮 七个方程联立解得 在水平路上行驶 牵引力为总重的1 第二篇运动学 运动学 研究物体运动几何性质 轨迹 运动方程 速度 加速度等 的科学 物体在不平衡力系作用下 运动 受力情况 初始状态 物体惯性 参考体 参考系 点的运动 点相对某一参考系的运动 点的三维变速曲线运动 点的运动 点的合成运动 车刀刀尖点P的运动分析 刚体的运动 刚体的简单运动 操作斗做三维曲线平移 刚体的运动 刚体平面运动 曲柄 滑块机构及其简图 第六章点的运动学 点的三维变速曲线运动 6 1矢量法 提问 如何确定速度和加速度的方向 矢端曲线 速度矢径矢端曲线切线 加速度速度矢端曲线切线 直角坐标与矢径坐标之间的关系 运动方程 6 2直角坐标法 速度 加速度 例6 1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动 其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接 而规尺A B两端分别在相互垂直的滑槽中运动 求 M点的运动方程 轨迹 速度 加速度 已知 解 点M作曲线运动 取坐标系Oxy如图所示 运动方程 消去t 得轨迹 速度 加速度 例6 2正弦机构如图所示 曲柄OM长为r 绕O轴匀速转动 它与水平线间的夹角为其中为t 0时的夹角 为一常数 已知动杆上A B两点间距离为b 求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度 解 A B点都作直线运动 取Ox轴如图所示 运动方程 B点的速度和加速度 周期运动 例6 3如图所示 当液压减振器工作时 它的活塞在套筒内作直线往复运动 设活塞的加速度 为活塞的速度 为比例常数 初速度为 求 活塞的运动规律 解 活塞作直线运动 取坐标轴Ox如图所示 分析齿轮上一点的运动 外啮合齿轮 6 3自然法 1 弧坐标 副法线单位矢量 切向单位矢量 主法线单位矢量 2 自然轴系 自然法 利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系 利用它们描述和分析点的运动的方法 曲线在P点的密切面形成 自然坐标轴的几何性质 因为 方向同 所以 3 速度 4 加速度 代入 则 切向加速度 法向加速度 曲线匀变速运动 曲线匀速运动 常数 常数 例6 4列车沿半径为R 800m的圆弧轨道作匀加速运动 如初速度为零 经过2min后 速度到达54km h 求列车起点和未点的加速度 解 列车作曲线加速运动 取弧坐标如上图 解 由点M的运动方程 得 例6 6半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 称为纯滚动 设轮子转角为常值 如图所示 求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程 并求该点的速度 切向加速度及法向加速度 解 M点作曲线运动 取直角坐标系如图所示 由纯滚动条件 从而 又点M的切向加速度为 第七章刚体的简单运动 刚体的平行移动 1 定义刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置 这种运动称为平行移动 简称平移 3 速度和加速度分布 刚体平移 点的运动 2 运动方程 因为 所以 7 2刚体绕定轴的转动 2 运动方程 转轴 两点连线 1 定义刚体上 或其扩展部分 两点保持不动 则这种运动称为刚体绕定轴转动 简称刚体的转动 3 角速度和角加速度 角速度 角加速度 匀速转动 匀变速转动 7 3转动刚体内各点的速度和加速度 2 速度 3 加速度 1 点的运动方程 4 速度与加速度分布图 7 轮系的传动比 齿轮传动 啮合条件 传动比 带轮传动 7 5以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度 1 角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量 角加速度矢量 2 绕定轴转动刚体上点的速度和加速度 加速度 M点切向加速度 M点法向加速度 例7 1刚体绕定轴转动 已知转轴通过坐标原点O 角速度矢为 求 t 1s时 刚体上点M 0 2 3 的速度矢及加速度矢 解 角速度矢量 M点相对于转轴上一点M0的矢径 求 刚体上点M 10 7 11 的速度矢 例7 2某定轴转动刚体通过点M0 2 1 3 其角速度矢的方向余弦为0 6 0 48 0 64 角速度的大小 25rad s 其中 第八章点的合成运动 相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动的组合而成 合成运动 车刀刀尖的运动 8 1相对运动 牵连运动 绝对运动 两个坐标系 定坐标系 定系 动坐标系 动系 三种运动 绝对运动 动点相对于定系的运动 相对运动 动点相对于动系的运动 牵连运动 动系相对于定系的运动 实例 回转仪的运动分析 动点 点动系 框架 相对运动 圆周运动 牵连运动 定轴转动 绝对运动 空间曲线运动 在动参考系上与动点相重合的那一点 牵连点 的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度 相对轨迹相对速度相对加速度 绝对轨迹绝对速度绝对加速度 牵连速度和牵连加速度 练习 已知 小球的相对速度u OM l 求 牵连速度和牵连加速度 绝对运动运动方程 相对运动运动方程 动点 M动系 绝对 相对和牵连运动之间的关系 由坐标变换关系有 解 相对运动方程 代入 动点 点动系 绝对运动方程 例8 2用车刀切削工件的直径端面 车刀刀尖M沿水平轴x作往复运动 如图所示 设Oxy为定坐标系 刀尖的运动方程为 工件以等角速度逆时针转向转动 求 车刀在工件圆端面上切出的痕迹 相对运动轨迹 相对运动方程 解 动点 M动系 工件 8 2点的速度合成定理 例 小球在金属丝上的运动 速度合成定理的推导 定系 xyz 动系 动点 为牵连点 导数上加 表示相对导数 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和 点的速度合成定理 例8 3刨床的急回机构如图所示 曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 绕固定轴O转动时 滑块在摇杆O1B上滑动 并带动杆O1B绕定轴O1摆动 设曲柄长为OA r 两轴间距离OO1 l 求 曲柄在水平位置时摇杆的角速度 2 运动分析 绝对运动 绕O点的圆周运动 相对运动 沿O1B的直线运动 牵连运动 绕O1轴定轴转动 例8 4如图所示半径为R 偏心距为e的凸轮 以角速度 绕O轴转动 杆AB能在滑槽中上下平移 杆的端点A始终与凸轮接触 且OAB成一直线 求 在图示位置时 杆AB的速度 解 1 动点 AB杆上A动系 凸轮 求 矿砂相对于传送带B的速度 例8 5矿砂从传送带A落入到另一传送带B上 如图所示 站在地面上观察矿砂下落的速度为 方向与铅直线成300角 已知传送带B水平传动速度 解 1 动点 矿砂M动系 传送带B 例8 6圆盘半径为R 以角速度 1绕水平轴CD转动 支承CD的框架又以角速度 2绕铅直的AB轴转动 如图所示 圆盘垂直于CD 圆心在CD与AB的交点O处 求 当连线OM在水平位置时 圆盘边缘上的点M的绝对速度 解 1 动点 M点动系 框架BACD 点的加速度合成定理 因为 先分析对时间的导数 因为 得 有 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度 相对加速度与科氏加速度的矢量和 点的加速度合成定理 当牵连运动为平移时 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和 此时有 例8 8刨床的急回机构如图所示 曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 绕固定轴O转动时 滑块在摇杆O1B上滑动 并带动杆O1B绕定轴O1摆动 设曲柄长为OA r 两轴间距离OO1 l 求 摇杆O1B在如图所示位置时的角加速度 解 1 动点 滑块A动系 O1B杆 3 加速度 沿轴投影 例8 9如图所示平面机构中 曲柄OA r 以匀角速度 O转动 套筒A沿BC杆滑动 已知 BC DE 且BD CE l 求 图示位置时 杆BD的角速度和角加速度 解 1 动点 滑块A动系 BC杆 绝对运动 圆周运动 O点 相对运动 直线运动 BC 牵连运动 平移 3 加速度 沿y轴投影 求 该瞬时AB的速度及加速度 例8 10如图所示凸轮机构中 凸轮以匀角速度 绕水平O轴转动 带动直杆AB沿铅直线上 下运动 且O A B共线 凸轮上与点A接触的为 图示瞬时凸轮上点曲率半径为 A 点的法线与OA夹角为 OA l 绝对运动 直线运动 AB 相对运动 曲线运动 凸轮外边缘 牵连运动 定轴转动 O轴 解 1 动点 AB杆上A点 动系 凸轮O 2 速度 3 加速度 沿轴投影 例8 11圆盘半径R 50mm 以匀角速度 1绕水平轴CD转动 同时框架和CD轴一起以匀角速度 2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动 如图所示 如 1 5rad s 2 3rad s 求 圆盘上1和2两点的绝对加速度 解 1 动点 圆盘上点1 或2 动系 框架CAD 绝对运动 未知相对运动 圆周运动 O点 牵连运动 定轴转动 AB轴 2 速度 略 3 加速度 点1的牵连加速度与相对加速度在同一直线上 于是得 点 的牵连加速度 科氏加速度大小为 相对加速度大小为 与铅垂方向夹角 各方向如图 于是得 第九章刚体的平面运动 9 1刚体平面运动的概述和运动分解 刚体平面运动 行星齿轮 1 平面运动 刚体平面运动 车轮运动情况 平面图形的运动 在运动中 刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离 这种运动称为平面运动 平面运动 刚体平面运动的简化 2 运动方程 3 运动分析 平面运动 随的平移 绕点的转动 平移坐标系 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动 其中平移的速度和加速度与基点的选择有关 而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关 一般刚体平面运动的分解 9 2求平面图形内各点速度的基点法 1 基点法 动点 M 绝对运动 待求 牵连运动 平移 动系 平移坐标系 相对运动 绕点的圆周运动 任意A B两点 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和 例9 1椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动 如图所示 AB l 求 B端的速度以及尺AB的角速度 解 1 AB作平面运动基点 A 例9 2如图所示平面机构中 AB BD DE l 300mm 在图示位置时 BD AE 杆AB的角速度为 5rad s 求 此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度 解 1 BD作平面运动基点 B 例9 3曲柄连杆机构如图所示 OA r AB 如曲柄OA以匀角速度 转动 求 当时点的速度 解 1 AB作平面运动基点 A 例9 4如图所示的行星轮系中 大齿轮 固定 半径为r1 行星齿轮 沿轮 只滚而不滑动 半径为r2 系杆OA角速度为 求 轮 的角速度 及其上B C两点的速度 解 1 轮 作平面运动基点 A 2 速度投影定理 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等 沿AB连线方向上投影 由 例9 5如图所示的平面机构中 曲柄OA长100mm 以角速度 2rad s转动 连杆AB带动摇杆CD 并拖动轮E沿水平面纯滚动 已知 CD 3CB 图示位置时A B E三点恰在一水平线上 且CD ED 求 此瞬时点E的速度 解 1 AB作平面运动 2 CD作定轴转动 转动轴 C 3 DE作平面运动 9 3求平面图形内各点的瞬心法 一般情况下 在每一瞬时 平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点 称为瞬时速度中心 简称速度瞬心 1 定理 基点 A 平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度 基点 C 2 平面图形内各点的速度分布 3 速度瞬心的确定方法 已知的方向 且不平行于 瞬时平移 瞬心在无穷远处 且不垂直于 纯滚动 只滚不滑 约束 运动方程 例9 6椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动 如图所示 AB l 求 用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度 解 AB作平面运动 速度瞬心为点C 例9 7矿石轧碎机的活动夹板长600mm 由曲柄OE借连杆组带动 使它绕A轴摆动 如图所示 曲柄OE长100mm 角速度为10rad s 连杆组由杆BG GD和GE组成 杆BG和GD各长500mm 求 当机构在图示位置时 夹板AB的角速度 解 1 杆GE作平面运动 瞬心为C1 2 杆BG作平面运动 瞬心为C 9 4用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 例9 8如图所示 在外啮合行星齿轮机构中 系杆以匀角速度 1绕O1转动 大齿轮固定 行星轮半径为r 在大轮上只滚不滑 设A和B是行星轮缘上的两点 点A在O1O的延长线上 而点B在垂直于O1O的半径上 求 点A和B的加速度 解 1 轮 作平面运动 瞬心为C 2 选基点为 例9 9如图所示 在椭圆规机构中 曲柄OD以匀角速度 绕O轴转动 OD AD BD l 求 当时 尺AB的角加速度和点A的加速度 解 1 AB作平面运动 瞬心为C 求 车轮上速度瞬心的加速度 例9 10车轮沿直线滚动 已知车轮半径为R 中心O的速度为 加速度为 车轮与地面接触无相对滑动 解 1 车轮作平面运动 瞬心为C 3 选 为基点 9 5运动学综合应用举例 1 运动学综合应用 机构运动学分析 2 已知运动机构未知运动机构 3 连接点运动学分析 求 该瞬时杆OA的角速度与角加速度 例9 11图示平面机构 滑块B可沿杆OA滑动 杆BE与BD分别与滑块B铰接 BD杆可沿水平轨道运动 滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动 杆BE长为 图示瞬时杆OA铅直 且与杆BE夹角为 解 1 杆BE作平面运动 瞬心在O点 取E为基点 沿BE方向投影 绝对运动 直线运动 BD 相对运动 直线运动 OA 牵连运动 定轴转动 轴O 2 动点 滑块B动系 OA杆 沿BD方向投影 沿BD方向投影 求 此瞬时杆AB的角速度及角加速度 例9 12在图所示平面机构中 杆AC在导轨中以匀速v平移 通过铰链A带动杆AB沿导套O运动 导套O与杆AC距离为l 图示瞬时杆AB与杆AC夹角为 解 1 动点 铰链A动系 套筒O 另解 1 取坐标系Oxy 2 A点的运动方程 3 速度 加速度 求 此瞬时AB杆的角速度及角加速度 例9 13如图所示平面机构 AB长为l 滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动 摇杆OC以匀角速度 绕轴O转动 滑块B以匀速沿水平导轨滑动 图示瞬时OC铅直 AB与水平线OB夹角为 2 动点 滑块A 动系 OC杆 1 杆AB作平面运动 基点为B 解 速度分析 加速度分析 例9 14如图所示平面机构中 杆AC铅直运动 杆BD水平运动 A为铰链 滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动 图示瞬时 求 该瞬时槽杆AE的角速度 角加速度及滑块B相对AE的加速度 解 动点 滑块B动系 杆AE 基点 A 沿方向投影 沿方向投影 动力学 动力学 研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学 空气动力学 超高速碰撞动力学 结构动力学 动力学的抽象模型 质点 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可忽略不计的物体 质点系 由几个或无限个相互有联系的质点组成的系统 质点动力学 质点系动力学 刚体 特殊质点系 其中任意两点之间的距离保持不变 本篇的基本内容 质点动力学的基本方程动量定理 质心运动定理动量矩定理 定轴转动刚体的转动微分方程刚体的平面运动微分方程动能定理 机械能守恒定律动静法 达朗贝尔原理虚位移原理 第十章质点动力学的基本方程 10 1动力学的基本定律 第一定律 惯性定律 不受力作用的质点 将保持静止或作匀速直线运动 第二定律 力与加速度之间关系定律 第三定律 作用与反作用定律 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等 方向相反 沿着同一直线 且同时分别作用在这两个物体上 惯性参考系 10 2质点的运动微分方程 1 在直角坐标轴上的投影 或 质点动力学第二定律 矢量形式的质点运动微分方程 3 质点动力学的两类基本问题 第一类问题 已知运动求力 第二类问题 已知力求运动 混合问题 第一类与第二类问题的混合 2 在自然轴上的投影 由 有 例10 1曲柄连杆机构如图所示 曲柄OA以匀角速度转动 OA r AB l 当比较小时 以O为坐标原点 滑块B的运动方程可近似写为 如滑块的质量为m 忽略摩擦及连杆AB的质量 试求当和时 连杆AB所受的力 解 研究滑块 其中 当 属于动力学第一类问题 例10 2质量为m的质点带有电荷e 以速度v0进入强度按E Acoskt变化的均匀电场中 初速度方向与电场强度垂直 如图所示 质点在电场中受力作用 已知常数A k 忽略质点的重力 试求质点的运动轨迹 解 由时 积分 由时 积分 属于第二类基本问题 例10 3一圆锥摆 如图所示 质量m 0 1kg的小球系于长l 0 3m的绳上 绳的另一端系在固定点O 并与铅直线成角 如小球在水平面内作匀速圆周运动 求小球的速度v与绳的张力 属于混合问题 其中 解 研究小球 例10 4粉碎机滚筒半径为 绕通过中心的水平轴匀速转动 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升 为了使小球获得粉碎矿石的能量 铁球应在时才掉下来 求滚筒每分钟的转数n 解 研究铁球 其中 当时 解得 当时 球不脱离筒壁 汽车碰撞 火箭穿越大气层 第十一章动量定理 即 11 1动量与冲量 1 动量 质点系的动量 质心 质点的动量 问题 如何用简便方法计算刚体或刚体系的动量 2 冲量 常力的冲量 变力的元冲量 在 内的冲量 例11 1 已知 均质圆盘在OA杆上纯滚动 m 20kg R 100mm OA杆的角速度为 圆盘相对于OA杆转动的角速度为 求 此时圆盘的动量 解 已知 为常量 均质杆OA AB 两杆质量皆为 滑块B质量 求 质心运动方程 轨迹及系统动量 例11 2 解 设 质心运动方程为 消去t得轨迹方程 系统动量沿x y轴的投影为 系统动量的大小为 11 2动量定理 1 质点的动量定理 或 即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量 在 内 速度由 有 即在某一时间间隔内 质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量 质点动量定理的微分形式 质点动量定理的积分形式 2 质点系的动量定理 外力 内力 内力性质 质点 质点系 或 质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和 即在某一时间间隔内 质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和 质点系动量定理微分形式的投影式 质点系动量定理积分形式的投影式 质点系动量定理的积分形式 3 质点系动量守恒定律 若 恒矢量 若 恒量 电动机外壳固定在水平基础上 定子和外壳的质量为 转子质量为 定子和机壳质心 转子质心 角速度为常量 求基础的水平及铅直约束力 例11 3 得 解 由 动约束力 附加动约束力 dt内流过截面的质量及动量变化为 流体在变截面弯管中流动 设流体不可压缩 且是定常流动 求管壁的附加动约束力 流体受外力如图 由动量定理 有 例11 4 解 为静约束力 为附加动约束力 由于 得 即 设 11 3质心运动定理 问题 内力是否影响质心的运动 由 得 或 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和 质心运动定理 质心运动守恒定律 在直角坐标轴上的投影式为 在自然轴上的投影式为 均质曲柄AB长为r 质量为m1 假设受力偶作用以不变的角速度 转动 并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D 如图所示 滑槽 连杆 活塞总质量为m2 质心在点C 在活塞上作用一恒力F 不计摩擦及滑块B的质量 求 作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx 例11 5 显然 最大水平约束力为 应用质心运动定理 解得 如图所示 解 求 电机外壳的运动 设 由 得 解 问题的引出 如何描述绕转轴的转动 卫星姿态控制 动量矩守恒定律实例 航天器中反作用轮姿态控制系统示意简图 第十二章动量矩定理 12 1质点和质点系的动量矩 1 质点的动量矩 对点O的动量矩 对z轴的动量矩 代数量 从z轴正向看 逆时针为正 顺时针为负 2 质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 即 1 刚体平移 二者关系 2 刚体绕定轴转动 转动惯量 12 2动量矩定理 1 质点的动量矩定理 设O为定点 有 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用力对同一点的矩 质点的动量矩定理 投影式 质点系对某定点O的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和 2 质点系的动量矩定理 质点系的动量矩定理 投影式 问题 内力能否改变质点系的动量矩 3 动量矩守恒定律 若则常量 有心力 力作用线始终通过某固定点 该点称力心 常矢量 面积速度定理 质点在有心力作用下其面积速度守恒 1 与必在一固定平面内 即点M的运动轨迹是平面曲线 即常量 因此 常量 面积速度 思考 谁先到达顶部 解 由 得 由 得 2 由质心运动定理 3 研究 4 研究 时 时 解 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 主动力 即 或 或 转动微分方程 约束力 思考 花样滑冰运动员如何加速 减速 已知 物理摆 复摆 求 微小摆动的周期 例12 5 解 微小摆动时 即 通解为 称角振幅 称初相位 由初始条件确定 周期 例12 7 解 已知 求 解 因 得 例12 8 12 4刚体对轴的转动惯量 1 简单形状物体的转动惯量计算 1 均质细直杆对一端的转动惯量 由 得 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中 或 2 回转半径 惯性半径 或 3 平行轴定理 即 刚体对于任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积 证明 4 组合法 求 已知 杆长为质量为 圆盘半径为 质量为 解 解 其中 由 得 5 实验法 思考 如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量 将曲柄悬挂在轴O上 作微幅摆动 由 其中已知 可测得 从而求得 6 查表法 均质物体的转动惯量 薄壁圆筒 细直杆 体积 惯性半径 转动惯量 简图 物体的形状 薄壁空心球 空心圆柱 圆柱 圆环 圆锥体 实心球 矩形薄板 长方体 椭圆形薄板 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 1 对质心的动量矩 0 2相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 思考 如何实现卫星姿态控制 动量矩守恒定律实例 航天器中反作用轮姿态控制系统示意简图 12 6刚体的平面运动微分方程 平面运动 随质心平移 绕质心转动 投影式 以上各组均称为刚体平面运动微分方程 已知 半径为r 质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动 如图所示 设轮的惯性半径为 作用于轮的力偶矩为M 求轮心的加速度 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f 问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动 例12 12 解 纯滚动的条件 即 已知 均质圆轮半径为r质量为m 受到轻微扰动后 在半径为R的圆弧上往复滚动 如图所示 设表面足够粗糙 使圆轮在滚动时无滑动 求 质心C的运动规律 例12 13 解 初始条件 运动方程为 思考 均质圆轮作纯滚动 如在圆轮面上作用一水平力 问力作用在什么位置 地面摩擦力为0 在什么情况下 地面摩擦力与同向 第十三章动能定理 13 1力的功 一 常力在直线运动中的功 二 变力在曲线运动中的功 元功 记 1 重力的功 质点系 由 重力的功只与始 末位置有关 与路径无关 得 三 几种常见力的功 质点 2 弹性力的功 弹簧刚度系数k N m 弹性力的功为 得 即 弹性力的功也与路径无关 3 定轴转动刚物体上作用力的功 则 若常量 由 从角转动到角过程中力的功为 作用在点的力的元功为 力系全部力的元功之和为 4 平面运动刚体上力系的功 主矢 主矩 当质心由 转角由时 力系的功为 说明 1 对任何运动的刚体 上述结论都适用 2 C点不是质心 而是刚体上任意一点时 上述结论也成立 3 计算力系的主矢 主矩时 可以不包含不作功的力 思考 已知 均质圆盘R m F 常量 且很大 使O向右运动 f 初静止 求 O走过S路程时力的功 1 摩擦力Fd的功s是力在空间的位移 不是受力作用点的位移 解 不作功的力可不考虑 因此亦可如下计算 2 可将力系向点O简化 即 13 2质点和质点系的动能 2 质点系的动能 1 质点的动能 1 平移刚体的动能 即 2 定轴转动刚体的动能 即 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和 得 速度瞬心为P 3 平面运动刚体的动能 上面结论也适用于刚体的任意运动 将两端点乘 13 3动能定理 1 质点的动能定理 因此 得 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功 质点动能定理的微分形式 质点动能定理的积分形式 在质点运动的某个过程中 质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功 2 质点系的动能定理 质点系动能的增量 等于作用于质点系全部力所作的元功的和 由 得 质点系动能定理的微分形式 质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段运动过程中 起点和终点的动能改变量 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和 3 理想约束 光滑固定面 固定铰支座 光滑铰链 不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零 称约束力作功等于零的约束为理想约束 对理想约束 在动能定理中只计入主动力的功即可 内力作功之和不一定等于零 当轮子在固定面只滚不滑时 接触处是否为理想约束 思考 为什么 已知 m h k 其它质量不计 求 例13 1 解 已知 轮O R1 m1 质量分布在轮缘上 均质轮C R2 m2 纯滚动 初始静止 M为常力偶 求 轮心C走过路程s时的速度和加速度 例13 2 轮C与轮O共同作为一个质点系 解 式 a 是函数关系式 两端对t求导 得 求 冲断试件需用的能量 已知 冲击试验机m 18kg l 840mm 杆重不计 在时静止释放 冲断试件后摆至 例13 3 得冲断试件需要的能量为 解 冲击韧度 衡量材料抵抗冲击能力的指标 例13 4 圆盘速度瞬心为C 解 将式 a 两端对t求导 并利用 得 已知 均质 杆m均质 l M 常量 纯滚动 处于水平面内 初始静止 例13 5 求 转过 角的 研究整个系统 解 求导得 注意 轮 接触点C是理想约束 其摩擦力Fs尽管在空间是移动的 但作用于速度瞬心 故不作功 已知 均质杆OB AB l m 在铅垂面内 M 常量 初始静止 不计摩擦 求 当A运动到O点时 例13 6 解 提问 是否可以利用求导求此瞬时的角加速度 13 4功率 功率方程 机械效率 1