余弦定理习题课(优秀课件).ppt

1 2余弦定理 一 余弦定理1 三角形任何一边的平方等于 即a2 b2 c2 2 余弦定理的推论 cosA cosB cosC 3 余弦定理与勾股定理 1 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中令A 90 则a2 b2 c2 令B 90 则b2 a2 c2 令C 90 则c2 a2 b2 2 在 ABC中 若a2b2 c2 则A为 角 反之亦成立 二 余弦定理的应用利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题 1 已知三边 求 2 已知两边和它们的夹角 求 和 友情提示 理解应用余弦定理应注意以下四点 1 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 是解三角形的重要工具 2 余弦定理是 的推广 勾股定理是 的特例 3 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以 4 运用余弦定理时 因为已知三边求 或已知两边及夹角求 由三角形全等的判定定理知 三角形是确定的 所以解也是唯一的 在解三角形时 选择正弦定理和余弦定理的标准是什么 在没有学习余弦定理之前 还会解三角形 但是学习了余弦定理后 就不会解三角形了 不知是用正弦定理还是用余弦定理 这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择 还要依靠经验的积累 根据解题经验 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时 通常选择正弦定理来解三角形 已知两边及夹角或已知三边时 通常选择余弦定理来解三角形 特别是求角时 尽量用余弦定理来求 其原因是三角形中角的范围是 0 在此范围内同一个正弦值一般对应两个角 一个锐角和一个钝角 用正弦定理求出角的正弦值后 还需要分类讨论这两个角是否都满足题意 但是在 0 内一个余弦值仅对应一个角 用余弦定理求出的是角的余弦值 可以避免分类讨论 先用余弦定理求出第三边长 进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角 例2 在 ABC中 已知a 2 b C 15 求角A B和边c的值 变式训练2 如图 已知AD为 ABC的内角 BAC的平分线 AB 3 AC 5 BAC 120 求AD的长 分析 由余弦定理可解三角形ABC 求出BC长度 由三角形内角平分线定理可求出BD长 再解 ABD即可求出AD长 解析 在 ABC中 由余弦定理 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 32 52 2 3 5 cos120 49 BC 7 设BD x 则DC 7 x 由内角平分线定理 在 ABD中 设AD y 由余弦定理 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD 例3 在 ABC中 a cosA b cosB 试确定此三角形的形状 当a b时 ABC为等腰三角形 当c2 a2 b2时 ABC为直角三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形 解法2 由a cosA b cosB以及正弦定理得2R sinA cosA 2R sinB cosB 即sin2A sin2B 又 A B 0 2A 2B 0 2 故有2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC为等腰三角形或直角三角形 变式训练3 2010 辽宁卷 在 ABC中 a b c分别是A B C的对边 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求A的大小 2 若sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 例4 数学与日常生活 如图 某市三个新兴工业小区A B C决定平均投资共同建一个中心医院O 使得医院到三个小区的距离相等 已知这三个小区之间的距离分别为AB 4 3km BC 3 7km AC 4 7km 问该医院应建在何处 精确到0 1km或1 分析 实际问题的解决 应首先根据题意转化为三角形模型 从而运用正 余弦定理解决 要注意题中给出的已知条件 本题实际上是在 ABC中 求 ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角 分