石景山区2017届高三一模数学(理)试题及答案(官方版).doc

石景山区2017年高三统一练习数 学（理）试 卷考生须知1本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分考试时间120分钟 2在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，那么等于（ ）AB CD2已知实数满足则的最大值是（ ）A BCD3直线被圆所截得的弦长为（ ）A B CD4设,“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5我国南宋数学家秦九韶（约公元12021261年）给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”例如，可将3次多项式改写为：之后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值ABCD6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A B C D 7如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是（ ）A B C D8如图，将正三角形分割成个边长为的 小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以 分割成个边长为的小正三角形 若，则三角形的边长是（ ）A10 B11C12D13第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若复数是纯虚数，则实数 10在数列中，那么等于 11若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则 12如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 （用数字做答）14已知 当时，则 ；当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）已知分别是的三个内角的三条对边，且（）求角的大小；（）求的最大值16（本小题共13分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的个数据（数据均在区间内）中，按照的比例进行分层抽样，统计结果按，分组，整理如下图：图乙 （）写出频率分布直方图（图乙）中的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，试比较与的大小（只需写出结论）；（）从甲种酸奶日销售量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；（）估计个日销售量数据中，数据在区间中的个数17（本小题共14分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi no）如图，在阳马中，侧棱底面，且，为中点，点在上，且平面，连接，（）证明：平面；（）试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）已知，求二面角的余弦值18（本小题共13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）若对任意恒成立，求实数的最大值19（本小题共14分） 已知椭圆过点（0，1），且离心率为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由20（本小题共13分）已知集合对于 定义与之间的距离为（）写出中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（）若集合满足：，且任意两元素间的距离均为2，求集合中元素个数的最大值并写出此时的集合；（）设集合，中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明石景山区2017年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DCBAABCC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案1436三、解答题共6小题，共80分15（本小题共13分）解：（）因为，所以 3分又因为， 所以 6分（）由（）知， 又， 所以且，故又，所以当即时，的最大值为 13分16（本小题共13分）解：（）由图（乙）知，解得， 3分（）的所有可能取值， 则，其分布列如下： 8分（）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取个，其中有个数据在区间内又因为分层抽样共抽取了个数据，乙种酸奶的数据共抽取个，由（）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间内的频率为，故乙种酸奶的日销售量数据在区间内有个故抽取的个数据，共有个数据在区间内所以，在个数据中，在区间内的数据有个 13分17（本小题共14分）（）因为 面 ，面，所以.因为四边形为矩形，所以., 所以面. 面, , 在中，为中点 所以.,所以面. 4分（）四面体是鳖臑，其中， 9分（）以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设，则得解得所以 11分设平面的法向量， 令 得平面的法向量， 平面的法向量， 二面角 的余弦值为 14分18（本小题共13分）解：（）, ， 又，所以切线方程为; 3分（）由题意知，令 5分 令，解得 6分易知当时，易知当时，即在单调递减，在单调递增 7分所以， 即，即 8分（）设，依题意，对于任意恒成立 ， 9分 时，在上单调增， 当时，满足题意 11分 时，随变化，的变化情况如下表： 0极小值在上单调递减， 所以 即当 时，总存在，不合题意 12分 综上所述，实数的最大值为1 13分 19（本小题共14分）解：（）设椭圆的半焦距为.因为点（）在椭圆上，所以 故又因为，所以，所以椭圆的标准方程为： 5分（） 设，线段中点为 联立 ，得： 由，可得. 所以， 8分 所以中点为 9分 弦长， 10分又直线与轴的交点， 11分所以 12分所以 所以、两点间距离为定值 14分20（本小题共13分）解：（）， ， 3分（）中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合中的元素所对应的点，应该